Вычисление вероятности события

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача 1

В коробке 25 одинаковых по форме шоколадных конфет. Известно, что 15 штук из них сорта «Мишка на Севере», а остальные - сорта «Красная Шапочка». Случайным образом выбирают 3 конфеты. Вычислите вероятность того, что среди них:

а) все конфеты сорта «Мишка на севере»;

б) только одна конфета этого сорта.

Решение. Общее число возможных элементарных исходов для данных испытаний равно числу способов, которыми можно извлечь 3 конфеты из 25 конфет, то есть:

число сочетаний из 25 элементов по 3.

а) подсчитаем число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию (все конфеты сорта «Мишка на севере»). Это число исходов ровно числу способов, которыми можно извлечь 3 конфеты из 15 конфет (столько конфет сорта «Мишка на севере»),то есть:

искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов:

б) подсчитаем число исходов, благоприятствующих данному событию (среди трех только одна конфета сорта «Мишка на севере»): одну конфету можно выбрать из 15 конфет:

способами,

при этом две конфеты нужно выбирать из десяти:

способами

Следовательно, число благоприятствующих исходов равно:

Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих данному событию, к числу всех элементарных исходов:

.

Ответ: а) б)

Задача 2

В магазин поступил одноименный товар, изготовленный двумя предприятиями. С первого предприятия поступило 150 единиц, из них 30 единиц первого сорта, а со второго предприятия 200 единиц, из них 50 первого сорта. Из общей массы товара наугад извлекается одна единица. Какова вероятность того, что она изготовлена на первом предприятии?

Решение: Обозначим через А событие - «единица товара первого сорта». Возможны следующие гипотезы о происхождении этой единицы товара: «единица товара поступила с первого предприятия», «единица товара со второго предприятия».

Доля первого предприятия составляет:

Доля второго предприятия:

100 - 43 = 57 %

Вероятности этих гипотез равны соответственно:

Условная вероятность того, что единица товара первого сорта изготовлена первым предприятием:

вторым предприятием:

Искомую вероятность того, что извлечена единица первого сорта, находим по формуле полной вероятности:

Искомая вероятность того, что взятая деталь отличного качества, изготовленная первым автоматом, по формуле Бейеса равна:

Ответ: Р = 0,57.

Задача 3

Задан закон распределения дискретной случайной величины X:

X	- 2	-1	0	1	2	3	4
p	0, 2	0, 31	0, 24	p	0, 07	0, 04	0, 01

Найдите:

а) неизвестную вероятность p;

б) математическое ожидание M, дисперсию D и среднее квадратическое отклонение данной случайной величины;

в) функцию распределения F(x) и построить её график;

г) закон распределения случайной величины Y, если её значения заданы функциональной зависимостью y = 2x + 3

а) так как сумма всех вероятностей должна равняться единице, то получим уравнение:

Отсюда ;

б) математическое ожидание М это сумма всех произведений значений случайной величины на их вероятности:

Дисперсия

D=

Среднее квадратическое отклонение

;

в) если

если - 2

если - 1

если 0 0,2 + 0,31 + 0,24 = 0,51 + 0,24 = 0,75

если 1 0,75 + 0,13 = 0,88;

если 2 0,88 + 0,07 = 0,95;

если 30,95 + 0,04 = 0,99;

если х 4, то F(x)=Р( Х х ) = 0,99 + 0,01 = 1.

Итак, функция распределения может быть записана так:

F (x) =

График этой функции приведен на рисунке:

г) сначала найдем значения случайной величины Y.

По условиям задачи

Поэтому:

Составим таблицу вида:

Y	-1	1	3	5	7	9	11
P	0,2	0,31	0,24	0,13	0,07	0,04	0,01

Чтобы получить закон распределения случайной величины Y, необходимо: дискретный математическое ожидание дисперсия

1) рассмотреть ее значение в порядке возрастания;

2) сложить вероятности, соответствующие совпадающим значениям данной таблицы.

Итак, закон распределения случайной величины Y :

Y	-1	1	3	5	7	9	11
P	0,2	0,31	0,24	0,13	0,07	0, 04	0,01

Задача 4

Известно, что в среднем 14% стаканов, изготовляемых на данном предприятии, имеет дефект. Какова вероятность того, что из 300 стаканов данной партии:

а) имеют дефект 45;

б) не имеют дефекта от 230 до 250.

Решение:

а) Вероятность того, что из 300 стаканов данной партии 45 имеют дефект, найдем, используя локальную теорему Лапласа:

где

q = 1 - p = 1 - 0,14 = 0,86;

n = 300;

k = 45.

Так как:

То

Значение функции находим в таблице значений интегральной функции Лапласа:

б) Вероятность того, что из 300 стаканов данной партии не имеют дефекта от 230 до 250 стаканов, найдем, используя интегральную теорему Лапласа:

Стаканов, не имеющих дефекта: 100 - 14 = 86 %

k₁ = 230;

k₂ = 250;

n = 300;

p = 0,86;

q = 1 - p = 1 - 0,86 = 0,14.

Так как:

то:

Значение функции также находим в специальной таблице.

Для отрицательных значений х используют эту же таблицу, учитывая, что является нечетной функцией, то есть В таблице Ф(-1,33) = -0,4082; Ф(-4,66) = -0,5.Отсюда

Ответ:

Задача 5

Дана выборка количества сделок, совершенных фирмой по работе с недвижимостью за 20 дней.

1	3	1	0	2	5	3	3	1	0	3	0	2	2	1	3	2	3	5	0

1) Построить вариационный ряд.

2) Построить статистический ряд частот

3) Построить эмпирическую функцию распределения и изобразить ее график

4) Найти выборочные характеристики: среднее, дисперсию, среднее квадратичное отклонение.

5) Найти 95% доверительный интервал для математического ожидания генеральной совокупности, если генеральная совокупность распределена по нормальному закону.

1) Записывая исходные данные в порядке возрастания, составим вариационный ряд. Вариационным (статистическим) рядом называется таблица, первая строка которой содержит в порядке возрастания элементы х', а вторая - их частоты m'

2) Статистический ряд

x	0	1	2	3	5
m	4	4	4	6	2
р	0,2	0,2	0,2	0,3	0,1

Формула для расчета относительных частот:

n = 20 - объем выборки

3) Эмпирической функцией распределения называется функция, вычисляемая для любого значения х по формуле:

где n - объем выборки, n_x - количество вариант, значения которых меньше, чем х.

Функция распределения :

F (x) =

График функции распределения:



4) Среднее арифметическое:

Дисперсия:

Среднее квадратичное отклонение:

5) Доверительный интервал для математического ожидания генеральной совокупности по Стьюденту имеет вид:

истинное значение x_B с вероятностью 100 (1 - P)% лежит в границах

и .

Значения для стандартных значений (0,05, 0,01 и 0,001) и различных значений параметра v t-распределения (v = n - 1) приведены в специальных таблицах.

v = 20 - 1 = 19;

t = 2,09 (при Р = 0,95; б = 0,05)

Задача 6

Изучается зависимость количества продаж от расходов на рекламу Расходы на рекламу хi , млн. р.

	0	0,5	1	1,5	2	2,5	3	3,5	4	4,5

Количества продаж yi , тыс. ед.

13,3	12,2	13,1	11,5	15,7	13,7	16,8	13,9	16,9	16,8

1. Оценить тесноту линейной связи между признаками по данным выборки с помощью выборочного коэффициента линейной корреляции

2. Найти уравнение линейной регрессии

, где ,

3. Изобразить на координатной плоскости точки с координатами () и прямую регрессии

1) Коэффициент корреляции Пирсона характеризует существование линейной зависимости между двумя величинами. Для вычисления необходимо найти средние значения признаков Х и Y, а также отклонения каждого статистического данного от его среднего:

.

Зная эти значения, находятся суммы:

Коэффициент корреляции рассчитывается по формуле:

Качественная оценка тесноты связи может быть выявлена на основе шкалы Чеддока (табл. 2). При r = 0,75 теснота связи - высокая.

Таблица 1 Параметры для вычисления коэффициента корреляции

	x	y	х - хср	у - уср	(x - xcp)2	(у - уср)2	(х - хср) • (у - уср)
1	0	13,3	-2,3	-1,1	5,1	1,2	2,45
2	0,5	12,2	-1,8	-2,2	3,1	4,8	3,83
3	1	13,1	-1,3	-1,3	1,6	1,7	1,61
4	1,5	11,5	-0,8	-2,9	0,6	8,4	2,17
5	2	15,7	-0,3	1,3	0,1	1,7	-0,33
6	2,5	13,7	0,3	-0,7	0,1	0,5	-0,17
7	3	16,8	0,8	2,4	0,6	5,8	1,81
8	3,5	13,9	1,3	-0,5	1,6	0,2	-0,61
9	4	16,9	1,8	2,5	3,1	6,3	4,39
10	4,5	16,8	2,3	2,4	5,1	5,8	5,42
Сумма	22,5	143,9			20,6	36,3	20,58



Таблица 2 Шкала Чеддока

2) Уравнение линейной регрессии:

у = ах + b

Отсюда уравнение линейной регрессии:

y = 0,997 • x + 12,14

Размещено на Allbest.ru