Размещено на http://www.allbest.ru/

Стационарное уравнение теплопроводности в случае неоднородной среды

Введение

В учении о теплообмене рассматриваются процессы распространения теплоты в твердых, жидких и газообразных телах. Эти процессы по своей физико-механической природе весьма многообразны, отличаются большой сложностью и обычно развиваются в виде целого комплекса разнородных явлений.

Перенос теплоты может осуществляться тремя способами: теплопроводностью, конвекцией и излучением, или радиацией. Эти формы глубоко различны по своей природе и характеризуются различными законами.

Процесс переноса теплоты теплопроводностью происходит между непосредственно соприкасающимися телами или частицами тел с различной температурой. Учение о теплопроводности однородных и изотропных тел опирается на весьма прочный теоретический фундамент. Оно основано на простых количественных законах и располагает хорошо разработанным математическим аппаратом. Теплопроводность представляет собой, согласно взглядам современной физики, молекулярный процесс передачи теплоты.

Известно, что при нагревании тела кинетическая энергия его молекул возрастает. Частицы более нагретой части тела, сталкиваясь при своем беспорядочном движении с соседними частицами, сообщают им часть своей кинетической энергии. Этот процесс постепенно распространяется по всему телу. Перенос теплоты теплопроводностью зависит от физических свойств тела, от его геометрических размерах, а также от разности температур между различными частями тела. При определении переноса теплоты теплопроводностью в реальных телах встречаются известные трудности, которые на практике до сих пор удовлетворительно не решены. Эти трудности состоят в том, что тепловые процессы развиваются в неоднородной среде, свойства которой зависят от температуры и изменяются по объему; кроме того, трудности возникают с увеличением сложности конфигурации системы.

1. Теоретическая часть

Слева суммарный поток через , справа - количество тепла, выделяющегося в объеме Т.

Применяя это уравнение к цилиндру , получим:

где - левое, а - правое основание цилиндра, - его боковая поверхность. При предельном переходе интегралы исчезают, так как и F ограничены всюду. Предполагая существование левого и правого предельных значений на , получаем:

Выбирая одно направление нормали можно написать:

1.2 Аналитические методы решения уравнения теплопроводности

В настоящее время аналитическим путем решено очень большое количество одномерных задач теплопроводности. Такие задачи решаются следующими методами: метод разделения переменных, метод источников, операционный метод, метод конечных интегральных преобразований.

Метод разделения переменных - метод отыскания частных решений математической физики уравнений путём разложения решения, зависящего от полного набора независимых переменных, в произведение сомножителей, зависящих от непересекающихся поднаборов независимых переменных

Физическая сущность метода источников состоит в том, что любой процесс распространения тепла в теле теплопроводностью можно представить как совокупность процессов выравнивания температуры от множества элементарных источников тепла, распределенных как в пространстве, так и во времени. Решение задач теплопроводности по этому методу в основном сводится к правильному выбору источников и их распределению.

Идея решения дифференциального уравнения операционным методом состоит в том, что от дифференциального уравнения относительно искомой функции-оригинала f(t) переходят к уравнению относительно другой функции F(p), называемой изображением f(t). Полученное (операционное) уравнение обычно уже алгебраическое (значит более простое по сравнению с исходным). Решая его относительно изображения F(p) и переходя затем к соответствующему оригиналу, находят искомое решение данного дифференциального уравнения.

Одним из наиболее мощных средств решения дифференциальных уравнений, как обыкновенных, так, особенно, в частных производных, является метод интегральных преобразований. Преобразования Фурье, Лапласа, Ганкеля и другие применяются для решения задач теории упругости, теплопроводности, электродинамики и других разделов математической физики. Использование интегральных преобразований позволяет свести дифференциальное, интегральное или интегро-дифференциальное уравнение к алгебраическому, а также, в случае дифференциального уравнения в частных производных, уменьшить размерность.

1.3 Задача стационарного распределения температуры в неоднородной среде (частный случай)

Рассмотрим частный случай решения задачи для стационарного распределения температуры в случае неоднородной среды.

Тонкий стержень с теплоизолированной боковой поверхностью составлен из двух однородных стержней со следующими физическими параметрами:

0

на концах стержня поддерживается постоянная температура

Нужно найти распределение температуры в составленном стержне, если удельная теплоемкость, плотность массы и коэффициент теплопроводности левого стержня равны: , а правого - соответственно

.

1.4 Краевая задача соответствующая данной физической задаче

В данном случае функция . При функция , при функция . В неоднородном теле нет источников тепла, т.е., следовательно, уравнение теплопроводности принимает следующий вид:

Чтобы найти температуру внутри тела недостаточно одного уравнения (3). Необходимо, как это следует из физических соображений, знать еще тепловой режим на границе тела (граничное условие).

Граничные условия: (на границе выполняются условия сопряжения)

Решим соответствующую модельную задачу для составного стержня со следующими физическими параметрами:.

2. Разностная схема для решения уравнения теплопроводности

2.1 Разностная схема

тепловой неоднородный теплопроводность среда

Перейдем к изучению разностной схемы для численного решения уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами:

где  - заданные функции .

Если, например, коэффициент теплопроводности зависит от температуры , то уравнение (3) называется квазилинейным. Квазилинейные уравнения допускают аналитические решения только в исключительных случаях. Развитие вычислительной техники и применение конечных разностей сделали возможным решение линейных и квазилинейных уравнений с переменными коэффициентами. При этом выявилась необходимость развивать методы, пригодные для решения по одним и тем же программам уравнений как с непрерывными, так и с разрывными коэффициентами. [2, c. 578]

Задачи с разрывными коэффициентами встречаются очень часто в физике и технике. Достаточно, например, указать задачи о диффузии нейтронов и о термическом режиме в гетерогенном реакторе, состоящем из большого числа зон с разными физическими свойствами, задачи о движении границ фазовых переходов и т.д. Для решения задач с разрывными коэффициентами используют схемы «сквозного» счета, не использующие информации о положении точек разрыва. При этом во всех узлах сетки и для любых коэффициентов пишутся одни и те же формулы (без какого-либо изменения формул в окрестности разрывов).

Требования сходимости и точности схем сквозного счета накладывают ограничения на вид этих схем. Схемы, сходящиеся в случае разрывных коэффициентов. Можно получить при помощи метода баланса или интегро - интерполяционного метода.

2.2 Метод баланса

Естественно при написании разностных уравнений, приближенно описывающих тот или иной процесс, исходить из уравнения баланса. [2, c. 579]

Пусть дана сетка Для каждой элементарной ячейки (прямоугольника) этой сетки пишется уравнение баланса, которое содержит интегралы от функции и ее производных (потоки в случае уравнения баланса тепла) вдоль границы ячейки. Для их вычисления необходимы предположения в профиле функций. В зависимости от выбора локальной интерполяции как по так и по мы получим различные схемы. Вопрос о выборе интерполяции подчинен требованиям устойчивости, точности и простоты реализации (в частности, требованию минимума арифметических операций, которые надо произвести для получения решения).

Рассмотрим стационарное уравнение теплопроводности

здесь - мощность стоков тепла (при -источников), пропорциональная температуре . [2, c. 579]

Выберем на отрезке сетку с шагом .

Напишем уравнение баланса тепла на отрезке

:

где - поток тепла. Чтобы получить схему, заменим первый интеграл и разностными выражениями. Возьмем простейшую аппроксимацию ():

Проинтегрируем равенство на отрезке

или

Отметим, что есть тепловое сопротивление отрезка . Заменяя интеграл (7) по одной из формул

получим и т.д. Все эти коэффициенты отличаются друг от друга на величину. Подставляя в (4') уравнения (5) и (6) и обозначая искомую функцию , получим разностную схему, выражающую закон сохранения тепла в сетке (консервативную схему):

которую можно написать в виде

где

(9)

Метод баланса, таким образом, позволяет получать схемы, коэффициенты которых во всех узлах сетки вычисляются по одним и тем же формулам как средние значения коэффициентов дифференциального уравнения в окрестности узла сетки. [2, c. 581]

Сами схемы (8) пишутся одинаково во всех узлах сетки и для любых . Такие схемы называются однородными. Для практических целей целесообразно находить коэффициенты схемы в отдельных точках. При этом определяются как средние значения в одной или нескольких точках

и аналогично для . Совокупность точек называется коэффициентным шаблоном.

Обычно используют шаблоны из одной или двух точек, полагая, например,

если непрерывны. Если разрывны, то в этих формулах следует брать полусумму предельных значений слева и справа.

Схема (8) имеет второй порядок аппроксимации, если

В самом деле, погрешность аппроксимации для схемы (8) на решении уравнения (4) равна

Подставляя сюда

и учитывая, что , получим

Отсюда видно, что если выполнены условия (10). Не трудно убедиться в том, что коэффициенты написанные выше, удовлетворяют этим условиям. [2, c. 582]

Таким образом, метод баланса приводит к однородным схемам 2-го порядка аппроксимации. Эти схемы сходятся в классе кусочно-непрерывных коэффициентов и имеют по крайней мере 1-й порядок точности (схема (8) с коэффициентами (7), (9) - 2-й порядок).

Разностные схемы для уравнения (4) можно написать, исходя из требования 2-го порядка аппроксимации. Однако при этом может оказаться, что схема расходится в классе разрывных коэффициентов. Примером может служить схема

соответствующая уравнению .

Если вопрос ходимости схемы выяснить путем сгущения сеток (что часто делается на практике), то можно сделать ошибочный вывод о ее сходимости (она «сходится», но не к решению исходной задачи).

Список литературы

1) Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М.: Уравнения в частных производных математической физики, 2003.

2) Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики: Наука, 2004.

3) Самарский А.А. Теория разностных схем. - М.: Наука, 1994.

4) Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений.-М.: Наука, 1988.

Размещено на Allbest.ru