Размещено на http://www.allbest.ru/

Вступ

У кінці XVII ст. різні практичні і наукові проблеми привели до появи диференціальних рівнянь. Насамперед це були диференціальні рівняння першого порядку, інтегрування яких намагалися здійснити за допомогою функцій, що виражають скінченне число алгебраїчних дій або таких, що включають елементарні неалгебраїчні дії, наприклад оперування тригонометричними функціями.

В працях І. Ньютона (1643--1727) і Г. Лейбніца (1646--1716) з'являються перші найпростіші диференціальні рівняння. Термін «диференціальне рівняння» належить саме Лейбніцу.

Теорія диференціальних рівнянь відокремилася з математичного аналізу в самостійну математичну дисципліну у XVIII ст.; її успіхи пов'язані з іменами швейцарського вченого Іоганна Бернуллі (1667--1748), французького математика Жозефа Лагранжа (1736--1813) і особливо Леонарда Ейлера.

З плином часу виникає розділ математики в якому вивчають теорію і методи розв'язання рівнянь, які містять шукану функцію та її похідні різних порядків одного чи декількох аргументів - це нелінійні диференціальні рівняння. Цими рівняннями описується зв'язок між невідомою функцією та її похідними. Такі зв'язки відшукуються у різних областях знань: у механіці, фізиці, хімії, біології, економіці та ін.

В останні роки вони приваблюють все більшу увагу. Справа в тому, що фізичні рівняння зазвичай лінійні лише в першому наближенні; подальше і більш точне дослідження, як правило, вимагає використання нелінійних рівнянь. Крім того, багато завдань нелінійні за своєю суттю.

Так як рішення нелінійних рівнянь найчастіше дуже складні і їх важко уявити простими формулами, значна частина сучасної теорії присвячена якісному аналізу їх поведінки, тобто розробці методів, що дозволяють, не вирішуючи рівняння, сказати щось суттєве про характер рішень в цілому: наприклад, що всі вони обмежені, або мають періодичний характер, або певним чином залежать від коефіцієнтів.

нелінійний диференціальний рівняння



Розділ 1. Поява диференціальних рівнянь

1. Поява диференціальних рівнянь

Під час розв'язування багатьох практичних задач доводиться знаходити невідому функцію з рівняння, яке містить поряд з цією невідомою функцією її похідні.

Означення. Рівняння, яке містить невідому функцію та її похідні, називається диференціальним.

Означення. Порядок найвищої похідної, яка входить до диференціального рівняння, називається його порядком.

Наприклад, рівняння y''+ 4у = 0 є диференціальним рівнянням другого порядку.

Якщо до рівняння входить незалежна змінна, невідома функція і її похідна, то це рівняння називається диференціальним рівнянням першого порядку. Якщо, крім того, в рівняння входить похідна другого порядку від шуканої функції, то рівняння називається диференціальним рівнянням другого порядку і т. д.

Будь-яку функцію, що задовольняє диференціальне рівняння, називають розв'язком, або інтегралом цього рівняння, а розв'язування диференціального рівняння - інтегруванням.

Наприклад, функція у = e^x є розв'язком диференціального рівняння у -- у' = 0, бо (е^x)' = e^x. Функція у = cos x є розв'язком диференціального рівняння у" + у == 0. Справді, для функції у = cos x, маємо: у" = - cos x. Підставляючи значення у" в рівняння y" + у = 0, дістанемо - cos x + cos x = 0.

Аналогічно можна переконатися, що функція

у = A sin x + В cos x

де А і В -- довільні сталі, також є розв'язком даного рівняння.

Означення. Загальним розв'язком даного диференціального рівняння називається розв'язок (якщо він існує), у якого число довільних сталих дорівнює порядкові рівняння.

Розв'язок диференціального рівняння при певних, значеннях довільних сталих називається окремим розв'язком цього диференціального рівняння.

Так, у розглянутому вище прикладі у" + у = 0 розв'язок у = A sin x + В cos x є загальним, а розв'язок у = cos x - окремим.

На практиці здебільшого окремий розв'язок конкретного диференціального рівняння знаходять із загального розв'язку, виходячи з деяких умов, яким має задовольняти шуканий окремий розв'язок. Умови, яким має задовольняти окремий розв'язок даного диференціального рівняння, називають початковими умовами.

Означення. Задача відшукання конкретного окремого розв'язку даного диференціального рівняння за початковими умовами називається задачею Коші.

Приклади. Знайти окремий розв'язок диференціального рівняння

уy'+2х=0 (1)

яке задовольняє початковим умовам: у = 4, х = 3, якщо загальний розв'язок даного рівняння задано у вигляді

х² + у² =a² (2)

Розв'язання. Підставивши в загальний розв'язок (2) початкові умови, дістанемо значення довільної сталої 3² + 4² = a², звідси а = ±5. Отже, шуканий окремий розв'язок диференціального рівняння (1) для заданих початкових умов є функція у, задана рівнянням х² + у² =25.

Геометрична інтерпритація розв'язку рівняння (1).

Оскільки кожний окремий розв'язок даного рівняння е деякою функцією однієї змінної, то в прямокутній системі координат на площині цьому розв'язку відповідає деяка лінія. Ця лінія називається інтегральною кривою даного диференціального рівняння. Загальному розв'язку диференціального рівняння відповідає множина всіх інтегральних кривих цього рівняння, яка називається сім'єю інтегральних кривих диференціального рівняння.

Ми встановили, що окремим розв'язком рівняння уу' + 2х=0 при початкових умовах х=3 і у =4 є крива х² + у² = 25, а загальним розв'язком

x² + y² = а².

У системі координат на площині загальний розв'язок задає множину концентричних кіл з центром у початку координат. Початкові умови означають, що серед цієї множини кіл треба взяти те, яке проходить через точку з координатами х = 3, у = 4. Це коло радіуса 5, тобто x² + у² = 25.

Багато фізичних законів мають вигляд диференціальних рівнянь. Інтегрування цих рівнянь - складна справа. Одні диференціальні рівняння вдається розв'язати в явному вигляді, тобто записати шукану функцію у вигляді формули. Для інших ще й досі не знайдено зручних формул. У цих випадках знаходять наближені розв'язки за допомогою ЕОМ. Диференціальні рівняння досить просто і повно описують виробничі процеси. Тому важливо не лише вміти їх розв'язувати, а й складати.

2. Історична довідка

У кінці XVII -- на початку XVIII ст. різноманітні практичні і наукові проблеми привели до появи диференціальних рівнянь. Насамперед це були диференціальні рівняння першого порядку, інтегрування яких намагалися здійснити за допомогою функцій, що виражають скінченне число алгебраїчних дій або таких, що включають елементарні неалгебраїчні дії, наприклад оперування тригонометричними функціями.

Найпростіші диференціальні рівняння з'явилися вже в працях Ісаака Ньютона (1643--1727) і Готфріда Лейбніца (1646--1716). Саме Лейбніцу і належить термін «диференціальне рівняння». Диференціальні рівняння мають велике прикладне значення, вони є знаряддям дослідження багатьох задач природознавства і техніки. Їх широко використовують в механіці, астрономії, фізиці, у багатьох задачах хімії, біології. Це пояснюється тим, що-досить часто об'єктивні закони, яким підпорядковуються певні явища (процеси), записують у формі диференціальних рівнянь, а самі ці рівняння є засобом для кількісного вираження цих законів.

Наприклад, фізичні закони описують деякі співвідношення між величинами, що характеризують певний процес, і швидкістю зміни цих величин. Іншими словами, ці закони виражаються рівностями, в яких е невідомі функції та їх похідні.

У XVIII ст. теорія диференціальних рівнянь відокремилася з математичного аналізу в самостійну математичну дисципліну, її успіхи пов'язані з іменами швейцарського вченого Іоганна Бернуллі (1667--1748), французького математика Жозефа Лагранжа (1736--1813) і особливо Леонарда Ейлера. Перший період розвитку диференціальних рівнянь був пов'язаний з успішним розв'язуванням деяких важливих прикладних задач, що приводять до диференціальних рівнянь, розробкою методів інтегрування різних типів диференціальних рівнянь і пошуком класів рівнянь, розв'язки яких можна подати у вигляді елементарних функцій або їх первісних. Проте дуже швидко виявилося, що інтегрованих диференціальних рівнянь зовсім небагато. Це привело до розвитку власне теорії диференціальних рівнянь, яка займається розробкою методів, що дають змогу за властивостями диференціального рівняння визначити властивості і характер його розв'язку. У зв'язку з потребами практики поступово розроблялися і способи наближеного інтегрування диференціальних рівнянь. Ці методи дають зручні алгоритми обчислень з ефективними оцінками точності, а сучасна обчислювальна техніка дає змогу економічно і швидко звести розв'язування кожної такої задачі до числового результату.



Розділ 2. Нелінійні диференціальні рівняння другого порядку

1. Вид загального розв'язку. Задача Коші

1.1 Рівняння, розв'язані відносно похідної. Загальний розв'язок

Звичайне диференціальне рівняння другого порядку, розв'язане відносно старшої похідної, має вигляд

(1)

Загальний розв'язок цього рівняння залежить від двох довільних констант . В деяких випадках розв'язок вдається записати у явному вигляді

у =

1.2 Задача Коші. Теорема існування та єдності

Задача Коші вимагає знайти розв'язок рівняння (1),який задовольняє початкові умови

у() = , () = (2)

Теорема існування та єдності. Нехай є неперервною функцією усіх аргументів в деякому околі точки () і у цьому околі має обмежені часткові похідні . Тоді існує єдиний розв'язок рівняння (1), який задовольняє початкові умови (2)

2. Рівняння, які допускають пониження порядку

2.1 Рівняння, які не містять у явно

В загальному випадку рівняння, яке не містить у явно, має вигляд

F() = 0 (1)

Ці рівняння не змінюються придовільному зсуві залежної змінної: у>у+const. Заміна з врахуванням формули приводить (1) до рівняння першого порядку: F(x,z,)

2.2 Рівняння, які не містять x явно

В загальному випадку рівняння, яке не містить х явно, має вигляд

F() = 0 (2)

Ці рівняння не змінюються при довільному зсуві залежної змінної: х>х+const. Підстановка з врахуванням рівності = приводить рівняння (2) до рівняння першого порядку: F() = 0

2.3 Однорідні рівняння

Однорідні рівняння відносно незалежної змінної не змінюються при розтягу (стиску) незалежної змінної за правилом: х>де довільна константа не рівна 0. В загальному випадку вони мають вигляд

F() = 0 (3)

Однорідні рівняння відносно залежної змінної не змінюються при розтягу(стиску) шуканої величини за правилом у>де довільна константа не рівна 0. В загальному випадку вони мають вигляд

F() = 0 (4)

Однорідні рівняння відносно двох змінних не змінюються при одночасному розтягу (стиску) незалежної і залежної змінних за правилом: х> у>де довільна константа не рівна 0. В загальному випадку вони мають вигляд

F() = 0 (5)

2.4 Узагальнено - однорідні рівняння

Узагальнено-однорідні рівняння не змінюються при одночасному розтягу (стиску) незалежної і залежної змінних за правилом х> у>де довільна константа не рівна 0. Вони мають вигляд

F( = 0 (6)

Перетворення t = lnx, приводить до рівняння, яке не містить х явно.

Найбільш загальний вигляд цих рівнянь має вигляд

F( = 0 (7)

2.5 Зведення квазілінійних рівнянь до нормального вигляду

Розглянемо рівняння

(8)

з лінійною лівою і нелінійною правою частиною. Нехай фундаментальна система розв'язків лінійного рівняння при Перетворення

(9)

зводить рівняння (8) до нормальної форми

3. Рівняння не розв'язні відносно старшої похідної

3.1 Рівняння у повних диференціалах

Диференціальне рівняння

F(x,y,) = (1)

називається рівняння у повних диференціалах, якщо існує така функція Ф(х,), що

F(x,) =

Тотожно по змінних х,. Так як деяка n разів диференційована функція є розв'язком рівняння (1) тоді і тільки тоді, якщо

Ф(х, =

то рівняння у повних диференціалах може бути завжди зведене до рівняння більш низького порядку.

3.2 Узагальнено однорідні рівняння

Припустимо, що Р(х,у,) - ціла раціональна функція або сума членів вигляду a

Диференціальне рівняння виду

Р(х,у,) = 0

називається узагальнено-однорідним, якщо при відповідному виборі чисел r i k, не рівних нулю одночасно, усі доданки у виразі

Р()

мають одну й ту ж степінь.

(а) r ? 0; тоді можна вважати r = 1. Підстановка

у(х) = |x|^k ln|x|

приводить до рівняння, яке не містить явно і допускає зниження порядку.

(б) r = 0. Підстановка u(x) = приводить до рівняння більш низького порядку.

3.3 Рівняння, які не містять х чи у явно

(а) F(y,) = 0

Розв'язки у = у(х), для яких обернені функції х = х(у), так що р(у) = є деяка функція від у і далі

Таким чином, це рівняння зводиться до рівняння (n-1) - го порядка относительно р(у). Якщо р = є розв'язком цього нового рівняння, то із рівності

х =

отримуємо і розв'язок вихідного рівняння.

(б) F(x,) = 0.

Вважаючи р(х) = , отримуємо рівняння (n-1) - го порядка

F(x,p,) = 0.



4. Методи розв'язання деяких типів нелінійних рівнянь

Використовуються ті ж методи, що й у пункті 3 (для випадку рівнянь n-го порядку). Вони відносяться,таким чином, до рівнянь у повних диференціалах, узагальнено - однорідних і рівнянь виду

F(y^??,y^?,у) = 0 або F(y^??,y^?,х) = 0.

Якщо, зокрема, дано рівняння

y^??= f(y),

де функція f неперервна, то з нього отримуємо

= 2f (y)y?

і, відповідно,

= + 2

якщо розв'язок і його похідна в точці будуть рівні відповідно. Звідси знаходимо рівняння для .

Розглянемо ще один спосіб. Якщо дано рівняння

F(y^??,y^?,у,х) = 0

то, вважаючи іу, вводимо комплексні координати. Нехай Ф() = 0 - отримане при цьому новее рівняння, і нехай з нього можна отримати рівняння ) = 0 з довільною комплексною постійною С. В цьому рівнянні знову переходимо до змінних х та у; розділяючу дійсну і уявну частину, отримаємо два рівняння:

Виключаючи із них , отримуємо при відомих умовах без подальших квадратур рівняння

g(y, x ,) = 0

з якого знаходимо розв'язок для рівняння F = 0.

Приклад. 2х

Дане рівняння зводиться до рівняння виду [

]

Маємо

()+

Звідси отримуємо

()

І нарешті

(у + = 2.

Додаткові зауваження:

(а) Якщо права частина рівняння

(1)

визначена в деякій області при всіх значеннях то навіть для досить простих рівнянь (наприклад, =2) може трапитися так, що інтегральна крива рівняння (1) не досягає краю області , а закінчується у деякій її внутрішній точці. Кожна інтегральна крива рівняння (1) може бути продовжена до границі області якщо виконуються наступні умови: для кожної точки (х,у) з та любого z функція f(х,у,z) неперервна і

?

де при - деяка неперервна позитивна функція, така, що

(б) Нехай - розв'язки рівнянь

відповідно, причому

і нехай функції f, g визначені при a ? x ? b, і при любих у та . Тоді

на всьому відрізку a ? x ? b, якщо виконується одна з наступних трьох умов:

1) f < g і f або g - неспадна функція від у;

2) f g I f або g - строго зростаюча функція від у;

3) f ? g і f або g - неспадна функція від у і монотонна функція від

При fg звідси отримують теореми єдності для крайових задач.

5. Методи регулярних розкладів по незалежній змінній і малому параметру

5.1 Метод розкладу в ряд Тейлора по незалежній змінній

Розв'язок задачі Коші

(1)

у() = , () = (2)

можна шукати у вигляді ряду Тейлора за степенями різниці (х-):

у(х) = у() + ()( х - ) + (х-² + … (3)

Перші два коефіцієнти у() і () у (3) задаються початковими умовами(2). Наступні значення похідних шуканої величини визначаються з (1) і його наслідків з врахуванням (2). Кладучи в рівнянні (1) х = х₀ та підставляючи значення (2), знаходимо значення другої похідної

() = (4)

Диференціюючи далі рівняння (1), маємо третю похідну. Підставляючи значення х = х₀, початкові умови та значення другої похідної, знаходимо значення третьої похідної. Аналогічно і наступні похідні.

5.2 Метод прямого розкладу по малому параметру

Розглянемо рівняння загального вигляду з параметром

(5)

Нехай функція може бути представлена у вигляді степеневого ряду

(6)

Розв?язок задачі Коші для рівняння (5) при шукають у вигляді регулярного розкладу за степенем малого параметра

у = ) (7)

Вираз (7) підставляють у рівняння (5) з врахуванням (6). Потім функцію розкладають в ряд по малому параметру і об'єднують члени при однакових степенях Прирівнюючи отримані вирази до нуля, приходимо до системи рівнянь для функцій

(8)

(9)

Тут виписані тільки перші два рівняння. Успіх застосування даного методу, в першу чергу, визначається можливістю побудови розв'язку рівняння (8) для головного члена розкладу.

6. Методи збурень, які використовуються в механіці та фізиці

Методи збурень широко використовуються для розв'язання задач нелінійної механіки та теоретичної фізики, які описуються диференціальними рівняннями з малим параметром. Головне завдання даних методів полягає в отримання наближеного розв'язку, рівномірно придатних при для всіх(в тому числі для великих і малих) значень незалежної змінної.

Рівняння з малим параметром можна розділити на два типи:

1) Якщо порядок рівняння зберігається при

2) Якщо порядок становиться меншим при

Для рівнянь першого типу розв'язки відповідних задач будуть достатньо гладкими. Про рівняння другого типу говорять, що вони вироджуються при .

Усі методи збурень мають обмежену область застосувань; можливість використання конкретного методу залежить від типу рівняння або задачі.

6.1 Метод усереднення (схема Ван-дер-Поля - Крилова - Боголюбова)

Метод усереднення складається з двох етапів. На першому етапі нелінійне рівняння другого порядку

(1)

за допомогою перетворень

у = a,

де a = a(t), (t) зводиться до еквівалентної системи диференціальних рівнянь першого порядку

)cos (2)

На другому етапі праві частини (2) усереднюють по . В результаті отримуємо систему

(3)

Система (3) значно простіше (2). Даний метод є узагальненням описаної схеми метода усереднення і дозволяє отримати наступні члени асимптотичного розкладу при

Загальна схема методу усереднення.

Розглянемо нелінійне рівняння другого порядку

(4)

Спочатку перетворимо його до еквівалентної системи рівнянь

(5)

Нехай відомо загальний розв'язок (5)

(6)

де постійні інтегрування. Використовуючи ідею метода варіації довільних констант, перетворимо систему (5) . Це дозволяє перетворити систему (5) до стандартної форми

Система (6) еквівалентна рівнянню (4)

В результаті усереднення система (6) замінюється на більш просту систему рівнянь

(7)

До цієї групи методів відносяться також: метод розтягнутих параметрів, метод двомаштабних розкладів.

7. Метод послідовних наближень і чисельні методи

7.1 Метод послідовних наближень

Метод послідовних наближень складається з двох етапів. На першому етапі задача Коші

(1)

у((2)

за допомогою введення нової змінної u(x)=зводиться до еквівалентної системи інтегральних рівнянь

u(x) = y(x) = (3)

Потім розв'язок системи (3) шукаємо за допомогою послідовних наближень за формулами

7.2 Метод Рунге - Кутта

Нехай - деяке достатньо мале число. Введемо позначення

,

Шукані значення обчислюються за формулами

=



7.3 Метод пристрілки

Для розв'язання крайової задачі, описаної рівнянням (1) з граничними умовами

у(у((4)

розв'язують допоміжну задачу Коші для (1) з початковими умовами

у(((5)

Величину параметра а підбирають із умови збігу отриманого розв'язку

у = у(х,а) у точці х =зі значенням, яке задається другою граничною умовою (4):

у(

Аналогічним чином будується розв'язок крайової задачі із змішаними граничними умовами

у((

В цьому випадку також розв'язується допоміжна задача Коші.

8. Теореми про граничні значення

(а) Розглянемо розв'язок рівняння

при (1)

Нехай Y(х) при 0 ? х ? h є деяке двічі неперервно диференційований розв'язок рівняння

F(x,Y,) = 0

Нехай, далі, при деяких додатніх неперервних функціях а(х) i b(x) i

функції f(x,y,z,) i F(x,y,z) неперервна в області

0 ? х ? h, |y-Y(x)| a(x), |z-Y^?(x)| ? b(x);

нарешті, при деяких додатніх постійних нехай

|f (x,y,z) - F(x,y,z)| ? ,

|F(x,) - F(x,z)| ? K||,

? L.

Тоді, якщо у(х) = у(х,) є деяким розв'язком рівняння (1), таким, що

у(0) = У(0), а довільна, то у(х) існує для всіх досить малих та р = || на всьому відрізку 0 ? х ? h і виконується нерівність

|y(x,) - Y(x)| < {},

де

Якщо f(x,y,z,) залежить від неперервно і якщо

F(x,y,z) = f(x,y,z,0), то при маємо у(х,)У(х) рівномірно на всьому відрізку 0 ? х ? h і незалежно від початкового значення , якщо воно достатньо близьке до

(б)

Нехай тут при х . Тоді розв'язок цього рівняння можна при деяких додаткових умовах порівняти з розв'язком рівняння



Ці додаткові умови полягають у тому, що

і збіжність до граничних значень повинна бути досить хорошою.

(в) Осциляційна теорема

Нехай в рівнянні

Функція при х неперервна, обмежена і монотонно зростає, f(y) неперервна, монотонно зростає та непарна і, крім того, при |y| задовольняє умову Ліпшиця.

Якщо , то для всіх х існує розв'язок, визначений початковими умовами у(a) = , = 0 і маючий безкінечно багато нулів, причому амплітуда коливань монотонно зменшується, хоч і не обов'язково прямують до нуля.

9. Умови існування періодичних розв'язків

Періодичним розв'язкам (ми, звісно, не зараховуємо до них тривіальне рішення х = 0) відповідають на фазовій площині ху так звані граничні цикли, в околі кожного із яких не міститься інших замкнутих траєкторій. Якщо точка () лежить на деякому граничному циклі, то відповідаючий йому періодичний розв'язок х(t) можна визначити задаючи початкові умови

х() = , =

де - довільний момент часу. Таким чином, отримуємо нескінченно багато періодичних розв'язків, які відрізняються один від одного лише зсувом часової шкали. Всі ці розв'язки розглядаються як один розв'язок, який називається єдиним.

Загальним методом знаходження граничних циклів є побудова кільцевої області, яка задовольняє умови теореми Пуанкаре-Бендиксона.

Розглянемо рівняння Л'єнара, зокрема частковий випадок, коли g(х) = х, тобто

(1)

і відповідно

(2)

або

(3)

Для вивчення фазової картини на площині будують сімейство концентричних окружностей . Вздовж фазових траекторій

= -2xF(x)

Звідси слідує, що ніякого циклу не існує, якщо для всіх значень х маємо

xF(x) ? 0 чи xF(x) ? 0

причому в околі точки х = 0.

Ця умова особливо важлива, якщо має певний знак, так що описує додатнє чи від'ємне затухання. Таким чином, існування граничного циклу можливо лише тоді, коли функція приймає значення різних знаків.



9.1 Теореми Сансоне

Теорема 1. Рівняння (1) має по меншій мірі один періодичний розв'язок, якщо

а) на (причому

()

б) 4 для деякого

Теорема 2. Диференціальне рівняння (1) має єдиний періодичний розв'язок, якщо

а) ( де

();

б)

в) F(-) = F( хоча б для одного значення

На основі іншої властивості функції грунтуєтся наступна теорема.

Теорема 3. Диференціальні рівняння (1) має єдиний періодичний розв'язок , якщо

а) для |x| < , для |x| > ;

б)

Теорема 4. Рівняння (№) має єдиний періодичний розв'язок , якщо

а) ( де

();

б) на від'ємній півосі х зменшується, а на додатній зростає;

в) || < 2

9.2 Теорема Барбалата

Теорема. На фазовій картині в площині xv існує стійкий граничний цикл, до якого прямують усі фазові траєкторії, якщо

а) хF(x) ? 0 для 0 |x| ? але F(x) ? 0 в деякому околі точки х = 0;

F(

б) відношення F(x)/х при зростанні |x| зростає та становиться додатнім для

|x| > при цьому

9.3 Теорема Фігуейредо

Теорема. На фазовій картині системи (?) існує стійкий граничний цикл, якщокусково-неперервна функція підпорядкована наступним умовам

а)

б) inf для x ? -

в) inf для x ? , де 0 ?



Висновки

Під час розв'язування багатьох практичних задач доводиться знаходити невідому функцію з рівняння, яке містить поряд з цією невідомою функцією її похідні. Такі рівняння називаються диференціальними.

Нелінійне диференціальне рівняння - це рівняння, в якому невідомою величиною є деяка функція. В самому диференціальному рівнянні бере участь не тільки невідома функція, але й різні її похідні в нелінійному виді.

Нелінійним диференціальним рівнянням описується зв'язок між невідомою функцією та її похідними. Такі зв'язки відшукуються у різних областях знань: у механіці, фізиці, хімії, біології, економіці та ін.

Останнім часом нелінійним диференціальним рівнянням приділяють все більшу увагу. Справа в тому, що фізичні рівняння зазвичай лінійні лише в першому наближенні; подальше і більш точне дослідження, як правило, вимагає використання нелінійних рівнянь.

Успішне застосування нелінійних диференціальних рівнянь при дослідженні різноманітних процесів неможливе без розробки і застосування методів, що дозволяють, не вирішуючи рівняння, сказати щось суттєве про характер рішень в цілому, оскільки рішення нелінійних рівнянь найчастіше дуже складні і їх важко уявити простими формулами.

Розглянуті в роботі методи, а саме: методи регулярних розкладів по незалежній змінній і малому параметру, методи збурень, які використовуються в механіці і фізиці та метод послідовних наближень і чисельні методи свідчать про те, що вони досить ефективні для розв'язання не тільки нелінійних диференціальних рівнянь другого порядку, а й вищих порядків.



Список використаних джерел

1. Зайцев В.Ф. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / В. Зайцев, А. Полянин. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. - 576с.

2. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям Э. Камке. - М.: Наука, 1971. - 589с.

3. Куфнер А. Нелинейный дифференциальные уравнения /А. Куфнер,

С. Фучик.; пер. с англ. А.Ф. Жукова. - М.: Наука, 1988. - 304с.

4. Рейссиг Р. Качественная теория нелинейных дифференциальных уравнений / Р. Рейссиг, Г. Сансоне, Р. Конти.; пер. с немец. И.П. Макарова. - М.: Наука, 1974. - 319с.

5. Тихонов А. Дифференциальные уравнения: учебник для вузов / А. Тихонов, А. Васильева, А. Свешников. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 256с.

Размещено на Allbest.ru