Применение линейной алгебры в экономике

Размещено на http://www.allbest.ru/

Применение линейной алгебры в экономике

Вариант 2

Задание 1. Предприятие состоит из двух основных цехов и одного вспомогательного, каждый из которых выпускает один вид продукции. Известны расходные коэффициенты (прямые затраты) единиц продукции -го цеха, используемые как промежуточный продукт для выпуска единицы продукции -го цеха, а также количество единиц продукции -го цеха, предназначенных для реализации (конечный продукт).

Матрица коэффициентов прямых затрат	Конечный продукт

Определить:

1. коэффициенты полных затрат;

2. валовой выпуск (план) для каждого цеха;

3. производственную программу цехов;

4. объем валового выпуска, если конечное потребление продукции каждого цеха увеличится на 50, 25, 40 единиц соответственно.

Задание 1.

А - матрица коэффициентов прямых затрат

Х - конечный продукт

1) S=А*Х - коэффициент полных затрат

2) Валовый выпуск=А+ S

3) Этот пункт я не понял

4) Изменить конечный продукт и переделать пункт 2

Но надо перепроверить.

Применение линейной алгебры в экономике

Межотраслевой баланс производства

Пусть производственная сфера хозяйства представляет n отраслей, выпускающих однородный продукт. Процесс производства рассматривается за некоторый период времени, чаще такой единицей служит год. Продукция каждой отрасли частично предназначается на производственное потребление других отраслей, частично перерабатывается внутри отрасли. Обозначим через х_i общий (валовой) объем продукции i-й отрасли ; х_ij - объем продукции i-й отрасли, израсходованный на производственные нужды j-й отрасли ; у_i - объем продукции i-й отрасли, потребленный в той же самой отрасли , или так называемый продукт конечного потребления.

Распределение продукции каждой отрасли описывается с помощью таблицы межотраслевых связей (межотраслевого баланса):

Отрасль материального производства	Межотраслевые потоки в отрасли	Валовой выпуск отрасли	Конечный продукт n
	1	2	…	n
1	x11	x12	...	x1n	x1	у1
2	x21	x22	…	x2n	х2	у2
…	…	…	…	…	…	…
n	xn1	xn2	…	xnn	xn	уn

Балансовый принцип связи различных отраслей промышленности состоит в равенстве валового выпуска i-й отрасли и суммарного объема продукции, потребляемой n отраслями, и конечного продукта, т.е.

.

Полученные уравнения называются соотношениями баланса.

Заметим, что продукция разных отраслей имеет разные единицы измерения, поэтому будем рассматривать стоимостный межотраслевой баланс, т.е. все величины имеют стоимостное выражение.

Производство некоторого количества продукта при определенном техническом уровне требует расходования разных предметов труда. Если для производства х_j объема продукции j-й отрасли необходимо израсходовать х_ij объема продукции i-й отрасли, то на единицу продукции j-й отрасли потребуется израсходовать

единиц продукции i-й отрасли. В. Леонтьевым на основании экономики США в 1936 г. было установлено, что технология производства в течение длительного времени остается на одном и том же уровне. Величины

меняются очень незначительно и могут рассматриваться как технологические константы.

Определение. Технологическим коэффициентом производства (технологической константой) называется величина , которая определяет объем продукции i-й отрасли, необходимый для производства продукции j-й отрасли.

При таком допущении технология производства принимается линейной, а само допущение называется гипотезой линейности. При этом числа называются коэффициентами прямых затрат.

В соответствии с гипотезой линейности .

Следовательно, балансовые соотношения можно записать в виде системы уравнений:



или в матричной форме

,

где Х - объем произведенной продукции (вектор валового выпуска), Y - объем продукции конечного потребления (вектор конечного потребления), А - матрица коэффициентов прямых затрат.

Определение. Соотношение

называется уравнением линейного межотраслевого баланса. Вместе с описанием матричного представления это уравнение называется моделью Леонтьева.

Уравнение межотраслевого баланса позволяет решить следующие задачи:

1) найти вектор конечного продукта Y при известной матрице прямых затрат и заданном векторе валового продукта Х: ;

2) найти вектор валового выпуска Х при известной матрице прямых затрат, который обеспечивает заданный вектор конечного продукта Y: или , откуда .

Умножив обе части уравнения слева на , получим

.

Матрица

называется матрицей полных затрат.

Определение. Коэффициентами полных затрат называются величины s_ij валового выпуска продукции i-й отрасли, необходимого для обеспечения выпуска единицы конечного продукта j-й отрасли .

Заметим, что при известной матрице полных затрат А можно найти матрицу полных затрат

.

Определение. Матрица называется продуктивной, если для любого вектора существует решение уравнения . В этом случае модель Леонтьева называется продуктивной.

Заметим, что матрица А продуктивна, если для любых и

и существует номер j такой, что

.

Определение. Чистой продукцией отрасли называется разность между валовой продукцией этой отрасли и затратами продукции всех отраслей на производство данной отрасли.

Пример 1. Данные об исполнении баланса за отчетный период (усл. ден. ед.) приведены в таблице:

Отрасль производства	Потребление	Конечный продукт	Валовой продукт
	Энергетика	Машиностроение
Энергетика	7	21	72	100
Машиностроение	12	15	123	150

Вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечное потребление энергетической отрасли увеличится вдвое, а у машиностроения сохранится на прежнем уровне.

Решение. Согласно данным таблицы имеем следующие показатели:

- валовой выпуск отрасли;

- объем продукции, израсходованный на производственные нужды;

- продукт конечного потребления.

Найдем по формуле

коэффициенты прямых затрат:

а₁₁=7/100=0,07, а₁₂=21/150=0,14,

а₂₁=12/100=0,12, а₂₂=15/150=0,10,

т.е.

- матрица прямых затрат, которая имеет неотрицательные элементы и удовлетворяет критерию продуктивности:

.

Поэтому для любого вектора конечного продукта Y можно найти необходимый объем валового выпуска X по формуле

X=(E-A)^-1Y.

Найдем матрицу полных затрат S=(E-A)^-1:

.

Так как ¦E-A¦=0,93•0,90-0,12•0,14=0,8202 ? 0, тогда, согласно формуле

,

.

По условию задачи, конечное потребление энергетической отрасли увеличилось вдвое, т.е. вектор конечного продукта

.

Согласно формуле получим вектор валового выпуска после изменений:

,

т.е. валовой выпуск в энергетической отрасли надо увеличить до 179,0 усл. ед., а в машиностроительной - до 160,5 усл. ед.

Пример 2. Обувная фабрика выпускает три вида изделий: сапоги, кроссовки и ботинки; при этом используется сырье трех типов: S₁, S₂, S₃. Нормы расхода каждого из них на одну пару и объем расхода сырья на 1 дн. заданы в таблице:

Вид сырья	Нормы расхода сырья на одну пару, усл. ед.	Расход сырья на 1 дн., усл. ед.
	сапоги	кроссовки	ботинки
S1	5	3	4	2700
S2	2	1	1	900
S3	3	2	2	1600

Найти ежедневный объем выпуска каждого вида обуви.

Решение. Обозначим ежедневный выпуск пар сапог - х₁, пар кроссовок - х₂, пар ботинок - х₃. Тогда в соответствии с расходом сырья каждого вида имеем систему:

Решим систему по формулам Крамера

.

; ;

; ,

откуда

, ,

Фабрика выпускает 200 пар сапог, 300 пар кроссовок, 200 пар ботинок.

Задание 2.

Постоянные издержки производства некоторой продукции составляют 125 тыс. руб. в месяц, а переменные - 700 руб. за единицу продукции. Функция издержек линейная. Продукция продается по цене 1200 руб. за единицу. Составить функцию прибыли. Сколько единиц продукции нужно произвести и продать, чтобы получить прибыль, равную 10% дохода на деньги, вложенные в фиксированные затраты.

Задание 2.

Х - количество продукта в месяц

0,7х - переменные издержки в месяц, тыс. руб.

(125 +0,7х) - затраты в месяц, тыс. руб.

1,2х - доход в месяц, тыс. руб.

С(х) - прибыль

С(х)=1,2х-(125+0,7х)

С(х)=1,2х-125-0,7х

Х=(С(х)+125)/0,5

Задание 3.

Найти максимальное значение прибыли, если дана функция издержек

и уравнение спроса

.

При какой цене прибыль принимает своё максимальное значение?

Задание 3.

Р=100-10х - цена

Прибыль вычисляем

Р(х)=Д(х)-С(х)

С(х)=50+3х - функция издержек

Д(х)=р*х=(100-10х)х=100х-10х²

Р(х)=(100х-10х²)-(50+3х)

Р(х)=-10х²+97х-50

Берем производную

Р'(х)=-20х+97 -20х+97=0 х=97/20

Р=100-10*97/20=100-48,5=51,5

Задание 4.

Данные о предложении некоторого товара на рынке в зависимости от его цены приведены в таблице.

Цена (тыс. руб)	0,5	0,8	1,2	1,3	4,0
Предложение (тыс. шт)	6,3	7,0	9,0	9,3	13,8

Сделать предположение о количестве предлагаемого товара при дальнейшем увеличении его цены еще на 200 рублей, считая закон предложения:

А) линейным

В) квадратичным

Метод наименьших квадратов

В экономической практике часто требуется представить наблюдаемые данные в виде функциональной зависимости.

Пусть произведено n наблюдений, результаты которых представлены в таблице:



Цена (тыс. руб) (x)	0,5	0,8	1,2	1,3	4,0
Предложение (тыс. шт) (y)	6,3	7,0	9,0	9,3	13,8

Определить функциональную зависимость по указанным табличным данным.

Для оценки вида функциональной зависимости представим данные таблицы в виде точек на плоскости (рис. 1).

Рис. 1	Основываясь на графическом изображении, можно предположить, что функциональная зависимость либо линейная , либо квадратичная . Метод наименьших квадратов предполагает нахождение параметров a, b (a,b,c) этих зависимостей при условии минимума суммы квадратов отклонений (невязок):

. (1)

Для линейной зависимости, т.е. :

,

а неизвестные параметры a, b определяются из системы нормальных уравнений:

 (2)

математический межотраслевой линейная алгебра

Для квадратичной зависимости, т.е. :

,

а неизвестные параметры a, b, с определяются из системы нормальных уравнений:

(3)

Задание 5.

Найти функцию потребления, если потребление равно 6 млрд. руб., когда доход равен 0, а функция предельной склонности к потреблению имеет вид

Методы интегрирования

Непосредственное интегрирование: вычисление интеграла выполняется с использованием эквивалентных преобразований подынтегральной функции, основных свойств интеграла и таблицы простейших интегралов.

Интегрирование методом подстановки (замены переменной): если обозначить , откуда , то выполняется формула

. (1)

Заметим, что новую переменную можно не выписывать в случае введения постоянных и переменных под знак дифференциала, т.е.

. (2)

Интегрирование по частям: если в интеграле обозначить , , то , , где функции u и v определены и дифференцируемы на промежутке Х, и тогда справедлива формула

. (3)

Применение понятия

неопределенного интеграла в экономике

Предельные функции могут быть получены из соответствующих экономических функций с помощью дифференцирования. Интегрирование позволяет найти исходную экономическую функцию по известной предельной функции.

,

Решение. Предельная склонность к потреблению

,

где - искомая функция потребления. Тогда

,

где С - постоянная.

При и получим , откуда .

Функция потребления примет вид

.

Задание 6.

Известна равновесная цена на некоторый товар в данный начальный момент времени . Известны также функции спроса и

предложения на этот товар: .

Найдя зависимость равновесной цены от времени, определить значение равновесной цены через полгода ().

Определить, имеет ли место инфляция или равновесная цена устойчива?

Понятие дифференциального уравнения

Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную х с искомой функцией и ее производными различных порядков:

. (1)

Определение. Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной, входящей в уравнение.

Определение. Решением (или интегралом) дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в верное равенство.

Определение. Процесс нахождения решения (интеграла) дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения. График решения называют интегральной кривой.

Определение. Интеграл дифференциального уравнения n-го порядка называется общим, если он содержит n независимых произвольных постоянных. Графически каждому общему интегралу дифференциального уравнения соответствует семейство всех интегральных кривых.

Определение. Частным интегралом дифференциального уравнения называется функция, получаемая из общего интеграла при различных числовых значениях произвольных постоянных. Графически каждому частному интегралу дифференциального уравнения соответствует интегральная кривая.

Решение. Найдем равновесную цену из равенства

,

тогда

,

откуда

.

Интегрируя, получим

, ,

откуда

.

Найдем С, используя начальное условие р= 10 при t = 0:

,

тогда

.

Рис. 1	Заметим, что , т.е. равновесная цена не растет и обладает устойчивостью (рис. 1). При равновесная цена растет и имеет место инфляция.

Размещено на Allbest.ru