Функции комплексного переменного и теория вычетов

Размещено на http://www.allbest.ru/

1 Метрические пространства. Примеры. Сходимость в метрическом пространстве. Свойства

Метрическим пространством называется множество Х, любым двум элементам (точкам) х,у которого сопоставлено число (х,у), удовлетворяющее следующим условиям:

1) Неотрицательность: (х,у) 0, причем условие (х,у) = 0 равносильно тому, что х = у. Это означает, что расстояние между различными точками положительное. 2) Симметричность: (х,у) = (у,х). 3) Неравенство треугольника: (х,у) (х,z)+(z,у). Это неравенство обобщает известное правило: сумма длин двух сторон треугольника не меньше третьей. Функция называется метрикой или расстоянием.

Любое множество Y X можно считать наделенным метрикой . Оно называется подпространством X.

Точка х0 называется пределом последовательности {хn}, если числовая последовательность (хn,х0) является бесконечно малой (стремится к 0). Или точка х0 называется пределом последовательности {хn}, если > 0 N n > N выполняется неравенство (хn,х0) < . Обозначения: хnх0, lim хn = х0. Последовательность, у которой существует предел, называется сходящейся. Мы будем пользоваться понятием подпоследовательности. Если {хn} - последовательность в метрическом пространстве и n1<n2<…<nk<…натуральные числа, то последовательность называется подпоследовательностью {хn}.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1. Для сходимости последовательности необходима и достаточна сходимость всех ее подпоследовательностей. При этом все они имеют один и тот же предел.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2. Если последовательность в метрическом пространстве сходится, то ее предел единственный.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3. Если последовательность {хn} в метрическом пространстве Х сходится, то для любой точки аХ числовое множество {(а,хn)} ограничено.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Пусть a Х, r > 0. Шаром B радиуса r с центром в точке a называется множество точек, удаленных от a меньше, чем на r, т.е. B(a,r) = {xХ:(a, x) < r}. Аналогично определяется замкнутый шар (a,r) = {xХ:(a,x) r}. Шары с центром a мы будем называть также окрестностями точки a. Далее мы будем использовать то обстоятельство, что в любой окрестности точки a помещаются шары B(a,1/n) при достаточно больших n.Утверждение хnх0 равносильно тому, что в любую окрестность точки х0 попадают все члены последовательности, начиная с некоторого.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Множество в метрическом пространстве Х называется ограниченным, если оно расположено в некотором шаре.

Неравенство Минковского для конечных сумм.при p > 1.

Неравенство Минковского для рядов. Пусть p>1. Если сходятся ряды , то сходится ряд , причем .

Примеры метрических пространств. Множество вещественных чисел R. (х,у) =ху. 1 и 2 свойства расстояния очевидны, неравенство треугольника следует из известного неравенстваа+b a+b при заменах a: = хz, b: = zy. Сходимость, естественно, совпадает с известным понятием сходимости числовой последовательности. Пространство непрерывных функций С. Рассмотрим множество непрерывных функций, определенных на отрезке [0,1]. Тем самым, здесь точкой является функция. Определим расстояние следующим образом: (х,у) =. Поскольку функция непрерывна на отрезке [0,1], то по теореме Вейерштрасса (см. мат. анал!) она достигает максимального значения, так что определение корректно. Опишем сходимость в этом пространстве. Если хnx0 в пространстве С[0,1], то , т.е. >0 N n>N t[0,1] . В математическом анализе такая сходимость функций назывался равномерной в отличие от поточечной, которая состоит в том, что хn(t)x0(t) при любом t[0,1], т.е. в формальном виде t[0,1] >0 N n> N . омерная покомпонентная сходимость. Пространство сходящихся последовательностей с. Элементами этого пространства являются сходящиеся последовательности х = (х1,х2,…,хn,…) с расстоянием (х,у) = . Поскольку сходящиеся последовательности ограничены, пространство с является подпространством пространства.

2. Линейные нормированные пространства. Банаховы пространства. Простейшие свойства нормы

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Множество Х называется линейным нормированным пространством, если 1 X является линейным пространством, т.е. для него определены операции сложения x+y и умножения векторов на числа x, обладающие следующими свойствами: x+y = y+x; (x+y)+z = y+(x+z); существует такой элемент (нулевой) 0 X, что x+0 = x для любого x; для всякого xX существует обратный (x), т.е. такой, что x+(x) = 0;

()x = (x); (+)x = x+x; (x+y) = x+y 1x = x.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ На Х определена вещественнозначная функция ||х|| (норма), которая обладает следующими свойствами:-

||х|| 0, причем ||х|| = 0 только при х = 0, ||х|| = ||х||, ||х+y|| ||х||+||y||.

Наличие нормы позволяет ввести метрику на Х: (x,y) = ||хy||.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ Величина (x,y) обладает свойствами метрики. Очевидно, что так определенная метрика сохраняется при сдвигах, т.е. выполняется свойство (x,y) = (x+z,y+z). Следует иметь в виду, что не всякая метрика в линейном пространстве, обладающая этим свойством, порождается некоторой нормой. Так, на линейном пространстве можно определить дискретную метрику, расстояние сохраняется при сдвигах, но никакой нормой она не порождается. Почти все примеры метрических пространств, рассмотренные ранее, в действительности являются линейными нормированными пространствами.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Полные линейные нормированные пространства называются банаховыми.

Конечномерные пространства .Множество векторов является линейным пространством. Если определить норму вектора по формуле ||х||р= (свойства нормы можно проверить с использованием неравенств Гельдера и Минковского), то расстояние, введенное ранее, порождается этой нормой. Аналогично для случая р=: соответствующая норма имеет вид ||х||=maxxi. Все эти пространства полные, т.е. банаховы. Пространство С. Множество непрерывных функций на отрезке [0,1] является линейным пространством, поскольку функции можно складывать и умножать на скаляры (поточечно) c сохранением непрерывности и при этом справедливы аксиомы 1-8. Если ввести норму по формуле ||х y|| = max(х(t)), где максимум берется по всем значениям t, то метрика, порождаемая этой нормой, совпадает с метрикой из раннего. Тем самым, пространство С является линейным нормированным пространством. Поскольку это пространство полное, оно банахово. Пространство m. Сумма ограниченных последовательностей ограниченная последовательность, ограниченность сохраняется и при умножении последовательности на число. Аксиомы линейного пространства легко проверяются. Тем самым, множество ограниченных последовательностей является линейным пространством. Если определить норму вектора ||х y|| = max(хi), то метрика в пространстве m порождается этой нормой. Пространство является банаховым. Пространство lp. Это пространство является линейным. Для этого сначала надо проверить, что сумма последовательностей из lp также является элементом lp. Норма в lp определяется формулой ||х||=. Пространство lp банахово.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Если хnх, yny в пространстве Х и n в пространстве R, то хn+ynх+y; nхnх; ||хn|| ||х||.

Ограниченность множества в нашем случае согласно замечанию равносильна тому, что множество содержится в некотором шаре с центром 0, т.е. ограниченности норм элементов множества. Шары в линейных нормированных пространствах обладают некоторыми дополнительными свойствами по сравнению с общими метрическими пространствами. Шары (замкнутые шары) в линейном нормированном пространстве являются выпуклыми множествами. Замыканием шара B(a,r) (r>0) является замкнутый шар (a,r). Заметим, что в общем случае метрических пространств это неверно. Замкнутое линейное многообразие в линейном нормированном пространстве называется линейным подпространством.

Позднее будет установлено, что конечномерные многообразия непременно являются подпространствами.

Например, в пространстве l1 подпространством является множество S={xl1:}.

Рассмотрим линейное многообразие в пространстве С, состоящее из непрерывно дифференцируемых функций. Линейность этого многообразия следует из правил дифференцирования. Многообразие не является подпространством, поскольку по теореме Вейерштрасса любую непрерывную функцию можно сколь угодно точно приблизить многочленом (это равносильно малости расстояния в метрике С), т.е. замыкание многообразия совпадает со всем пространством С. При этом в С существуют недифференцируемые функции (например, х1/2 ).

ТЕОРЕМА Пусть L подпространство линейного нормированного пространства Х, не совпадающее со всем пространством. Для любого >0 существует вектор y такой, что 1 для всех хL.

Следует иметь в виду, что вектор со свойством может и не существовать. В важном частном случае гильбертова пространства такой вектор существует.

3. Линейные операторы. Непрерывные операторы. Свойства линейных операторов

Пусть X,Y - линейные нормированные пространства. Понятие линейного оператора А: XY означает справедливость тождеств А(x1+x2) = А(x1) + А(x2)(аддитивность), А(x) = А(x)(однородность).

Пусть , - нормированные пространства Определение1 Оператор А: Е Е1 называется непрерывным в точке , если какова бы не была последовательность xn x0, А(xn) сходится к А(x0). То есть, при p (xn, x0) 0, p (А(xn), А(x0)) 0.

Определение 2. Отображение А называется непрерывным в точке x0, если какова бы не была окрестность U точки y0 = А (x0) можно указать окрестность V точки x0 такую, что А(V) U. Иначе >0 >0, что как только p (x, x0) < , p (f(x), f(x0)) < .

Теорема 1. Если линейный оператор непрерывен в точке х0 = 0, то он непрерывен и в любой другой точке этого пространства.

Доказательство. Линейный оператор А непрерывен в точке х0=0 тогда и только тогда, когда . Пусть оператор А непрерывен в точке х0=0. Возьмем последовательность точек пространства хnх1, тогда хn-х10, отсюда А(хn-х1)А(0)=0, т. е. А(хn-х1)0. Так как А - это линейный оператор, то А(хn-х1)Ахn-Ах0, а тогда Ахn-Ах0 0, или АхnАх0. Таким образом, из того, что линейный оператор А непрерывен в точке х0=0, следует непрерывность в любой другой точке пространства.

Нас будут интересовать непрерывные линейные операторы. Их множество будем обозначать символом L(X,Y). В этом пункте в частности будет установлено, что L(X,Y) можно наделить структурой линейного нормированного пространства.

Приведем пример. Пусть K(t,s) функция, непрерывная на квадрате 0 t 1, 0 s 1. Сопоставим функции х(t) C функцию y(s) = Функция y(s) непрерывная, т.е. y(s) C. Тем самым определен оператор A: CC.Его линейность следует из свойств интеграла. Далее, если (х1,х2) = maxх1(t) х2(t)<, то

y1(t)y2(t)

Это неравенство означает, что рассматриваемый оператор непрерывный. Такой оператор называется интегральным с ядром K(t,s).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Линейный оператор А: X Y называется ограниченным, если существует такое положительное число Р, что ||Аx|| Р||x||. Здесь ||Аx|| норма элемента в пространстве Y, ||x|| норма элемента в пространстве X.

ТЕОРЕМА. Ограниченность линейного оператора равносильна его непрерывности. Удивительно, что множество линейных непрерывных операторов L(X,Y) можно наделить структурой линейного нормированного пространства.

Если А,B L(X,Y), то суммой А+B линейных операторов называется оператор, действующий по правилу (А+B)(х) = Ах +Bх.

Если АL(X,Y), R, то произведением оператора на число называется оператор (А)(х) = (Ах). Поскольку в пространстве Y выполняются аксиомы линейного пространства, то множество L(X,Y) с введенными операциями является линейным пространством. Нулевым является оператор 0(х) = 0 для всех х.

Определим норму оператора как . Поскольку оператор ограниченный, то ||Аx|| Р||x|| при некотором Р, откуда число Р является верхней гранью множества {||Аx||: ||x|| 1}, т.е. по теореме о точной верхней грани норма определена.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ Определенная функция действительно является нормой. Поскольку множество линейных непрерывных отображений имеет структуру линейного нормированного пространства, к нему применимы все результаты предыдущего раздела. Пример:

ТЕОРЕМА. Если Y - банахово пространства, то и пространство L(X,Y) банахово.

2. Полные метрические пространства Примеры Принцип сжатых отображени Последовательность {xn} в метрическом пространстве называется фундаментальной, если >0 N n>N p (xn xn+p)<. Это означает, что элементы последовательности с достаточно большими номерами сколь угодно близки. Если последовательность {xn} сходится, то она фундаментальная. Обратное утверждение в общем случае неверно. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Метрическое пространство Х называется полнымесли любая фундаментальная последовательность в нем сходится.

Пример неполного метрического пространства: Х = (0,1) с обычным расстоянием (x,y)=xy, xn = 1/n. Поскольку эта последовательность сходится в метрическом пространстве всех вещественных чисел, она является фундаментальной. Ее предел равен 0, поскольку 0Х, то пространство Х полным не является.

Замкнутое подпространство Y полного метрического пространства X является полным. Конечномерные метрические пространства являются полными. Пространство С - полное. Дискретное метрическое пространство является полным, поскольку члены любой фундаментальной последовательности совпадают, начиная с некоторого, т.е. такая последовательность сходится. Пространство Lpс полным не является. Ограничимся примером, оставляя подробный анализ читателю. Рассмотрим функции

(п=3,4,…. ). Отметим, что пространства m,c.lp являются полными.

ТЕОРЕМА. Вложенная последовательность замкнутых шаров, радиусы которых стремятся к 0, в полном метрическом пространстве имеет единственную общую точку. Обратно, если любая такая последовательность шаров имеет общую точку, то пространство полное. Следует отметить, что для открытых шаров теорема несправедлива (например, пересечение интервалов пустое).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Отображение A:XX метрического пространства X в себя называется сжимающим, если при некотором числе (0,1) для любых точек x,yX выполняется неравенство (Ax,Ay) (x,y).

Метод последовательный приближений или итераций, широко используемый для доказательства теории существования алгебраических, дифференциальных, интегральных и других уравнений, а также для получения приближенных решений уравнения, укладывается в рамках функционального анализа в общую схему и приводит к принципу сжатых отображений.

ТЕОРЕМА. Пусть в полном метрическом пространстве R дан оператор A, переводящий элементы пространства R в элементы этого пространства. Пусть кроме того , где 0<б<1. Тогда существует и притом единственный неподвижный элемент, т.е такой элемент x0, что A (x0)= x0.

Доказательство. Возьмем произвольный элемент x1 є R и положим xn+1=Axn, . Покажем, что последовательность - фундаментальна. Для этого заметим, что

Далее, используя последовательно аксиому треугольника для метрики, имеем

Отсюда следует, в силу того что 0<б<1, то последовательность - фундаментальна. Из полноты пространства R вытекает существование элемента x0 є R, для которого . А так как и каждое из слагаемых справа при n>? стремится к нулю, то х0=Ах0. Если в формуле перейти к пределу при p>?, то придем к оценке погрешности приближения

Замечания 1. Построение последовательных приближений xn сходящихся к неподвижному элементу x0, можно производить, исходя из любого элемента x1 є R. Выбор x1 элемента будет сказываться лишь на скорости сходимости xn к x0 своему пределу.

7 Вычет функции в точке и методы его вычисления Прежде чем определить понятие вычета, приведем одну лемму. Лемма. Если функция F(z) регулярна в кольце {z:r<|z-a|<R}, то интеграл , r<r <R, не зависит от r. Пусть z=a - изолированная особая точка однозначного характера функции f (z). Вычетом функции f (z) в точке z=a (а ) называется величина (r >0 - любое достаточно малое число). При а=

(R>0 - любое достаточно большое число). Направление интегрирования выбрано так, чтобы внутренность круга осталась слева. Независимость интегралов в последних формулах от r и R соответственно следует из леммы. Можно дать более единообразное определение вычета. Определение Пусть функция f (z) регулярна в некоторой проколотой окрестности конечной или бесконечно удаленной точки z=a. Тогда вычет в точке а равен деленному на 2pi интегралу от f (z) по границе любой достаточно малой окрестности точки а, ориентированной в положительном направлении.Очевидно, что , если а (а) - точка регулярности функции f (z). Однако вычет в бесконечно удаленной точке может оказаться отличным от нуля и для функции, регулярной в Ґ. Например, для функции имеем

Обозначение Для обозначения вычета аналитической функции в точке применяется выражение , от англ. Residue. В некоторой литературе обозначается как Выч

Основные формулы для нахождения вычетов: 1. Если а - устранимая особая точка для функции f (z), то 2. Если а - полюс первого порядка функции f (z), то , В частности, если , где j(z) и y(z) - регулярные в точке а функции, причем j(а) 0, y(а)0, yў(а) 0, то точка а является простым полюсом функции f (z) и 3. Если точка а - полюс порядка m 1 для функции f (z), то В частности, если , h(z) - регулярна в точке а, h(а)0, то справедлива формула . 4. Если f (z) регулярна в точке z= , то ,где . 5. Если функция f (z) представима в виде , где функция регулярна в точке x =0, то . Приведем еще одну, важную для практического вычисления вычетов теорему. Теорема. Если z=a (а ) - изолированная особая точка однозначного характера функции f (z), то ,где с-1 - коэффициент при в ряде Лорана функции f (z) в окрестности точки z=a и ,где с-1 - коэффициент при в ряде Лорана функции f (z) в окрестности точки z=

4. Основная теорема теории вычетов

Пусть функция - аналитическая в области и на ее границе - кусочно-гладком контуре за исключением конечного числа изолированных особых точек , лежащих внутри области Тогда

Доказательство. По интегральной теореме Коши для многосвязной области . Вычислим интеграл . Разложим функцию в ряд Лорана в окрестности точки и подставим в интеграл. По равномерной сходимости степенного ряда внутри круга сходимости, проведем почленное интегрирование и используем полученный ранее результат =.

=.

Тогда

=.

Теорема. Сумма вычетов функции по всей расширенной плоскости равна нулю.

Доказательство. Выберем контур так, чтобы все особые точки функции лежали внутри контура. Тогда при обходе контура в положительном направлении надо учитыватьособые точки, попавшие внутрь контура, т.е. все особые точки конечной плоскости. По общей теореме о вычетах . С другой стороны, при обходе контура в отрицательном направлении мы должны учитывать только бесконечно удаленную точку и интеграл получится тем же, но со знаком «минус» (свойство интеграла). Поэтому -. Складывая эти интегралы, получим

. Следствие. Сумма вычетов функции по всей конечной плоскости равна вычету функции в бесконечно удаленной точке, взятому со знаком «минус»/Доказательство. По предыдущей теореме . Отсюда .

Пример. Вычислить Подынтегральная функция имеет полюс второго порядка и существенно особую точку . Вычислим вычеты в этих особых точках..

Разложим подынтегральную функцию в ряд Лорана в окрестности

= =

Следовательно

.

=.

Теорема. Пусть функция - аналитическая в верхней полуплоскости () за исключением конечного числа особых точек , лежащих в верхней полуплоскости непрерывна на действительной оси, удовлетворяет (при больших |z|) неравенству . Тогда



5. Дифференциальное уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель

Определение. Если в уравнении левая часть есть полный дифференциал некоторой функции , то оно называется уравнением в полных дифференциалах. Это уравнение можно переписать в виде , следовательно, его общий интеграл есть .

Например, уравнение есть уравнение в полных дифференциалах, так как его можно переписать в виде . А значит, общий интеграл задаётся равенством .

Теорема. Предположим, что функции M и N определены и непрерывны в некоторой односвязной области D и имеют в ней непрерывные частные производные соответственно по y и по x. Тогда, для того чтобы уравнение (9.1) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось тождество

.Доказательство необходимости этого условия очевидно. Поэтому докажем достаточность условия Покажем, что может быть найдена такая функция , что и .

Действительно, поскольку , то ,где - произвольная дифференцируемая функция. Продифференцируем равенство по y: . Но , следовательно,

. Положим , тогда . Итак, построена функция , для которой , а Определение. Если уравнение не является уравнением в полных дифференциалах и существует функция - такая, что после умножения на неё обеих частей уравнения получающееся дифференциальное уравнение

становится уравнением в полных дифференциалах, т.е. , то функция называется интегрирующим множителем исходного уравнения.

В случае, когда уравнение является уравнением в полных дифференциалах, полагают . Если найден интегрирующий множитель µ, то интегрирование данного уравнения сводится к умножению обеих его частей на µ и нахождению общего интеграла полученного уравнения в полных дифференциалах.

Если µ есть непрерывно дифференцируемая функция от x и y, то имеем тождество: .

Из этого тождества следует, что интегрирующий множитель µ удовлетворяет уравнению с частными производными 1-го порядка:

. Если заранее известно, что , где щ - заданная функция от x и y, то уравнение (10.1) сводится к обыкновенному (и притом линейному) уравнению с неизвестной функцией µ от независимой переменной щ: , где , т.е. указанная дробь является функцией только переменной щ.

Решая уравнение, находим интегрирующий множитель , . В частности, уравнение имеет интегрирующий множитель, зависящий только от x () или только от y (), если выполнены соответственно следующие условия:

, или , .

6. Структура общего решения линейного дифференциального уравнения n-го порядка

Определение. Линейным уравнением n-го порядка называется уравнение вида:

. Если при всех рассматриваемых значениях x функция равна нулю, то это уравнение называется однородным, в противном случае - неоднородным. Предполагаем, что коэффициенты и свободный член определены и непрерывны в интервале . Тогда уравнение имеет единственное решение , определённое во всём интервале и удовлетворяющее начальным условиям: , причём начальные данные можно задавать произвольно, а нужно брать из интервала . Заметим, что линейное однородное дифференциальное уравнение (ЛОДУ) всегда имеет нулевое решение . Для построения общего решения ЛОДУ достаточно знать n линейно независимых в интервале частных решений , т.е. таких решений, для которых тождество

, (где - постоянные числа,) может выполняться только при . Такая система решений называется фундаментальной. Известно, что для того чтобы система решений ЛОДУ была фундаментальной, необходимо и достаточно, чтобы её определитель Вронского

был отличен от нуля хотя бы в одной точке из интервала . В действительности в этом случае определитель Вронского отличен от нуля во всех точках интервала . Если найдена фундаментальна система решений ЛОДУ, то формула , где - произвольные постоянные, даёт общее решение этого уравнения в области

, , , …,

Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами имеет вид:

, где - постоянные вещественные числа. Это уравнение имеет фундаментальную систему решений , определённую при всех x и состоящую из степенных, показательных и тригонометрических функций. Соответствующее этой системе функций общее решение

определено в области , , , …, , т.е. во всём пространстве . Построение фундаментальной системы решений ЛОДУ проводится методом Эйлера, который состоит в том, что частное решение ЛОДУ ищется в виде , где - некоторое число, подлежащее определению. Подставляя эту функцию в уравнение (3.3) и сокращая на , получим характеристическое уравнение:

. Его корни называются характеристическими числами уравнения (3.3). Рассмотрим возможные ситуации, возникающие при решении характеристического уравнения. Все корни характеристического уравнения различны и вещественны. Обозначим их . Тогда фундаментальную систему решений составляют функции: , а общее решение имеет вид. Все корни характеристического уравненияразличны, но среди них имеются комплексные. Пусть - комплексный корень характеристического уравнения. Тогда тоже будет корнем этого уравнения. Этой паре корней соответствует пара линейно независимых частных решений:

, . Записав линейно независимые частные решения, соответствующие другим сопряжённым парам комплексных корней и всем вещественным корням, получим фундаментальную систему решений. Линейная комбинация этих решений с произвольными постоянными коэффициентами даст общее решение уравнения Среди корней характеристического уравнения имеются кратные. Пусть - вещественный k-кратный корень. Тогда ему соответствует k линейно независимых частных решений вида , а в формуле общего решения - выражение вида . Если - комплексный корень характеристического уравнения кратности k, то ему и сопряжённому с ним корню той же кратности соответствуют 2k линейно независимых частных решений вида: В формуле общего решения этим корням соответствует выражение вида: .

7. Основная теория Коши для аналитической функции

-окрестностью точки будем называть множество точек комплексной плоскости, удовлетво-ряющих условию: -- открытый круг с центром в точке радиуса Пусть дана последовательность Будем называть пределом последовательности, если выполняется: . Тогда

Теорема: последовательность имеет предел

1 . Доказать, что

2 Тогда

Теорема: критерий Коши -- сходится

3) Последовательность называется ограниченной, если

Теорема: из всякой ограниченной бесконечной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность

4) Будем говорить, что , если . Окрестностью бесконечно удалённой точки будем называть внешность любого круга с центром в н/к достаточно большого радиуса

5) Комплексная плоскость с -удалённой точкой -- расширенная комплексная плоскость

Понятие функции комплексной переменного. Предел. Непрерывность

1) Область -- множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих следующим двум условиям: 1) Все точки этого множества внутренние 2) Любые 2 точки этого множества можно соединить ломаной, лежащей в этой области Область будем обозначать

-- область с границей, замкнутая область Область называется односвязной, если

онаудовлетворяет следующему условию: какую бы замкнутую непрерывную кривую в этой области мы не взяли, часть плоскости, внутренняя по отношению кривой, такжу принадлежит этой области

Проще говоря, односвязная область -- область без дыр

На комплексной плоскости задана функция , если указано правило, по которому каждому ставится одно или несколько значений . В первом случае функция однозначная, во втором - многозначная

-- однозначная -- многозначная (n-значная)

Поскольку , то , u и v-- вещественные функции:

4) , если выполняется условие:

5) Функция называется непрерывной в точке , если и

Непрерывность в области означает непрерывность в каждой точке области

6) называется равномерно непрерывной в области , если выполняется следующее условие:

Аналитическая функция (комплексного переменного) -- функция комплексного переменного (где и -- вещественнозначные функции комплексного переменного, являющиеся, соответственно, вещественной и мнимой частью рассматриваемой функции), для которой в каждой точке некоторой области , называемой областью аналитичности, выполняется одно из трёх равносильных условий: Для вещественной и мнимой части этой функции в каждой точке выполняются условия Коши -- Римана Ряд Тейлора функции в каждой точке сходится и его сумма равна Интеграл для любой замкнутой кривой

Арифметические свойства

Если и аналитичны в области

Функции , и аналитичны в .

Если в области не обращается в ноль, то будет аналитична в

Если в области не обращается в ноль, то будет аналитична в .

линейный оператор вычет теорема функция

8. Линейные ограниченные операторы. Необходимое и достаточное условие ограниченности линейного оператора. Норма

Определение. Линейный оператор А: Е Е1 называется ограниченным, если можно указать число K>0 такое, что ||Аx|| K||x||. (1)

Теорема . Среди всех констант K, удовлетворяющих (1), имеется наименьшее.

Доказательство: Пусть множество S - множество всех констант K, удовлетворяющих (1), будучи ограниченным снизу (числом 0), имеет нижнюю грань k. Достаточно показать, что k S.

По свойству нижней грани в S можно указать последовательность (kn), сходящуюся к k. Так как kn S, то выполняется неравенство: |А(x)| kn||x||, (xE). Переходя в этом неравенстве к пределу получаем |А(x)| k||x||, где (xE), (k S). т. д-на.

Определение. Наименьшая из этих констант K, для которых выполняется неравенство (1), называется нормой оператора А и обозначается ||A||

||А|| K, для K, подходящего для (1), то есть |А(x)| ||А||||x||, где ||А|| = xE.

Свойства нормы оператора.

1) Если оператор ограничен, , то и оператор ограничен, причем .

2) Если операторы ограничены, то и оператор ограничен, причем и .

Между ограниченностью и непрерывностью линейного оператора существует тесная связь, а именно справедлива следующая теорема.

Теорема . Для того, чтобы линейный оператор А действующий из Ex в Ey был ограничен, необходимо и достаточно, чтобы оператор А был непрерывен.

Необходимость: Дано: А - ограничен; Доказать: А - непрерывен;

Доказательство: Используя теорему 1 достаточно доказать непрерывность А в нуле.

Дано, что ||Аx|| K||x||. Докажем, что А непрерывен в нуле, для этого должно выполняться >0, >0 что ||x||< ||Ax|| < . Выберем так, чтобы K*||x|| < , ||x|| < , (К>0), значит = , тогда если ||x||< , то ||Аx|| K||x|| < K = Непрерывность в нуле доказана, следовательно доказана непрерывность в точке.

Достаточность: Дано: А - непрерывен; Доказать А - ограничен;

Доказательство: Допустим, что А не ограничен. Это значит, что числу 1 найдется хотя бы один соответственный вектор x1 такой, что ||A x1|| > 1|| x1||. Числу 2 найдется вектор x2, что ||A x2|| > 2|| x2|| и т.д. Числу n найдется вектор xn, что ||A xn|| > n|| xn||.

Теперь рассмотрим последовательность векторов yn = , где ||yn|| = . Следовательно последовательность yn 0 при n . Так как оператор А непрерывен в нуле, то Аyn 0, однако

||Аyn || = ||A|| = ||Axn || > n|| xn|| = 1, получаем противоречие с Аyn 0, то есть А - ограничен Для линейных операторов ограниченность и непрерывность оператора эквивалентны. Покажем, что норма функционала F(y) = в C[a, b], где p(x) - непрерывная на [a,b] функция, равна По определению 5: ||F|| = |F(x)| = ||.

|| || = |y(x)||| |y(x)|||;

||F|| = (|y(x)|||) = ||y(x)|||| = || .

Таким образом, норма F(y) = будет ||F|| =

Размещено на www.allbest.ru