Полиномы Лежандра и Чебышева
Полиномы Лежандра и Чебышева: отогональность полиномов и их формирование. Ортогональная система функций, построенная на основе полиномов Чебышева, нормирование системы функций, построенной на их основе. Примеры аппроксимации функций в среде MathCad'а.
| Рубрика | Математика |
| Вид | курсовая работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 09.06.2012 |
| Размер файла | 378,6 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Содержание
- Введение
- 1. Полиномы Лежандра
- 1.1 Ортогональность полиномов Лежандра
- 2.2 Нормирование полиномов Лежандра
- 2. Полиномы Чебышева
- 2.1 Ортогональная система функций, построенная на основе полиномов Чебышева
- 2.2 Нормирование системы функций, построенной на основе полиномов Чебышева
- 3. Примеры аппроксимации функций
- Приложение А
- Приложение B
- Приложение С
- Список используемой литературы
Введение
В курсе математического анализа мы изучали обобщенные ряды Фурье в нормированных пространствах /3/.
Пусть Е - нормированное пространство, норма которого порождена скалярным произведением:
Определение 1. Последовательность ц1, ц2, …, цn, …, цnЕ называется ортонормированной системой, если входящие в эту последовательность элементы попарно ортогональны и имеют норму равную единице.
Пусть в пространстве Е задана ортонормированная система {цk}k=1..? .
Определение 2. Рядом Фурье элемента f по ортонормированной системе {цk} называется ряд вида:
Определение 3. Частичной суммой ряда Фурье называется сумма вида:
Определение 4. Отклонением элемента f от элемента g по норме пространства Е называется величина, равная .
Теорема. Среди всех сумм вида наименьшее отклонение от элемента f по норме пространства Е имеет частичная сумма ряда Фурье элемента f:
В данной курсовой работе рассматриваются полиномы Лежандра и Чебышева, как примеры ортогональных систем в пространстве непрерывных функций, определенных на [-1, 1] (далее, пространство непрерывных функций будем обозначать как C[-1, 1]). Скалярное произведение в C[-1, 1] вводится как
Данный интеграл существует, так как f(x),
g(x) C[-1, 1] - пространству непрерывных функций. Таким образом,
1. Полиномы Лежандра
Полиномы Лежандра определяются следующей формулой Родрига /1/:
(1.1)
В частности, имеем:
(1.2)
Графики этих полиномов для п = 0, 1, 2, 3 и 4 приведены на рисунке 1.1. Первые 10 полиномов Лежандра приведены в приложении А. Из формулы (1.1) видно, что Рn(х) являются четными функциями при п = 2т и нечетными - при п = 2m + 1; причем Рn(1)= 1 и Рn(- 1) = (- 1)n.
Рисунок 1.1 - Графики первых пяти полиномов Лежандра
Существует много способов определения полиномов Лежандра. Один из них мы уже рассмотрели - задание полиномов формулой Родрига. Теперь рассмотрим еще один немаловажный способ задания полиномов - с помощью рекуррентной формулы. Для этого обратимся к так называемой производящей функции /1/:
(1.3)
Из разложения (1.3) легко получить рекуррентную формулу, связывающую три последовательных полинома Лежандра. Действительно, дифференцируя Н(х, r) по r, имеем
Но с другой стороны
тогда
Собирая все члены, содержащие rn, и приравнивая к нулю полученный коэффициент при rn, получаем нужный результат
(1.4)
Формула (1.4) является рекуррентной формулой задания полиномов Лежандра, с помощью которой удобно находить последовательные полиномы Лежандра.
1.1 Ортогональность полиномов Лежандра
Как мы уже знаем - два полинома ортогональны, когда их скалярное произведение равно нулю. То есть, доказательство ортогональности двух полиномов сводится к доказательству равенства:
/2/
Для этого рассмотрим
(1.5)
Пусть т<п /1/. Очевидно, что
при k < n (1.6)
Учитывая этот вывод, применим к интегралу, стоящему в правой части равенства (1.6), формулу интегрирования по частям
После n-кратного интегрирования по частям формулы (1.5) в силу соотношения (1.6) будем иметь
(1.7)
Но так как т < n, то, очевидно, и, следовательно,
Ортогональность доказана.
2.2 Нормирование полиномов Лежандра
Нормируем систему полиномов Лежандра. Для этого найдем норму, вычислив интеграл /1/:
(1.8)
Воспользуемся формулой (1.1):
(1.9)
Применим формулу интегрирования по частям последовательно n-раз, получим:
(1.10)
Теперь рассмотрим:
Применим формулу бинома Ньютона:
Учитывая это, упростим интеграл (1.10), и применим формулу интегрирования по частям:
(1.11)
Последний интеграл вычисляется при помощи n-кратного интегрирования по частям:
(1.12)
Подставляя полученный результат (1.12) в формулу (1.11), будем иметь
(1.13)
Вычислив интеграл (1.11), подставим результат (1.13) в формулу (1.8), получим
(1.14)
Отсюда, ортонормированная система полиномов Лежандра имеет вид:
Таким образом, полиномы Лежандра на отрезке [-1, 1] образуют ортонормированную систему полиномов.
Из теории обобщенных рядов Фурье следует, что коэффициенты полинома, аппроксимирующего данную функцию, следует брать равными коэффициентам Фурье /3/.
Коэффициенты Фурье функции f по ортонормированной системе полиномов Лежандра:
С учетом формулы (1.14), получаем окончательную формулу для вычисления коэффициентов Фурье /1/:
2. Полиномы Чебышева
Теперь рассмотрим полиномы Чебышева /1/, которые известны тем, что являются полиномами, наименее уклоняющимися от нуля.
Полиномы Чебышева Тn(x) определяются формулами
(2.1)
В частности имеем:
(2.2)
Аналогично полиномам Лежандра, полиномы Чебышева также имеют несколько способов задания. Рассмотрим наиболее применимые из них. Обычно полиномы Чебышева рассматриваются на отрезке [-1, 1]. Поэтому можно положить x=cos t, т. е. t=arсcos x, где t - новая переменная . Тогда и формула (1) преобразуется к виду
Так как (cos t ± i sin t)n = cos nt ± i sin nt, то имеем
(2.3)
или (2.4)
Заметим, что формулы (2.3) и (2.4) неверны при n = 0.
Из формулы (2.3) легко получаются рекуррентные формулы для вычисления полиномов Чебышева при больших п.
Преобразуем формулу (2.3) к виду:
принимая во внимание то, что
получаем:
(2.5)
отсюда:
(2.6)
Таким образом, полиномы Чебышева задаются рекуррентной формулой (2.6).
Первые 12 полиномов Чебышева Тn(x) даны в приложении B.
На рисунке 2.1 приведены графики полиномов Чебышева для n = 0, 1, 2, 3.
В теории приближении функций имеет место довольно важная теорема /1/:
Теорема 2.1. Полином Чебышева степени m (m > 1) наименее отклоняется от нуля на отрезке [- 1, 1] по сравнению с другим полиномом степени m и со старшим коэффициентам, равным единице.
- отклонение
Рисунок 2.1 - Графики первых четырех полиномов Чебышева
2.1 Ортогональная система функций, построенная на основе полиномов Чебышева
Теорема 2.2. Полученные с помощью полиномов Чебышева Тп(х) функции:
(2.7)
образуют на отрезке [-1, 1] ортогональную систему /3/.
Доказательство. Доказательство /1/ ортогональности сводится к доказательству равенства:
(2.8)
При k > 0, m > 0 и k ? m, полагая х = cos t и используя формулу (2.3), имеем
(2.9)
а как нам известно из общего курса математического анализа, тригонометрические функции {cos kt} ортогональны на отрезке [-р, р]. Легко проверить, что равенство (2.9) остается справедливым и при k=0, m ? 0. Теорема доказана.
2.2 Нормирование системы функций, построенной на основе полиномов Чебышева
Для того, чтоб нормировать систему функций (2.7), вычислим их нормы /1/.
Для этого в формуле (2.8) примем m = k ? 0, получим:
Отсюда, ортонормированная система функций (2.7), полученная с помощью полиномов Чебышева имеет вид:
(2.10)
Коэффициенты Фурье функции f по ортонормированной системе (2.10):
(2.11)
3. Примеры аппроксимации функций
Пример 3.1. Функцию на отрезке [-1, 1] квадратично аппроксимировать полиномом Лежандра четвертой степени.
Решение. Полином Q5(x) ищем в виде частичных сумм ряда Фурье:
(3.1)
где Pk(x) (k = 0, 1, 2, 3, 4) - полиномы Лежандра, а
Так как функция |x| четная и Pk(x) четны при k четном и нечетны при k нечетном, то получаем
Отсюда используя формулы (1.3), находим
с1 = с2 = с3 = 0.
Подставляя эти значения коэффициентов в формулу (3.1), получим
Следовательно,
График полученной функции приведен на рисунке 3.1.
Пример 3.2. Найти квадратичное приближение функции в промежутке [-1, 1] полиномом четвертой степени.
Решение. Полином Q4(х) будем искать в виде
(3.2)
где цk(x) (k = 0, 1, 2, 3, 4) - полученные с помощью полиномов Чебышева функции.
Тогда, в условиях нашей задачи и с учетом формулы (2.10), получаем:
Так как Т2k+1(x) - функции нечетные, а Т2k(x) - четные, то с2k+1 = 0 и
Используя для Т2k(x) формулу (2.2), имеем:
Подставляя найденные значения коэффициентов в формулу (3.2), находим:
Сравним полученный результат с примером разложения функции по полиномам Лежандра, в котором функция f(x) аппроксимировалась многочленом
В нашем случае при х = 1 имеем
тогда как
т.е. мы видим, что система функций {цk} «ближе» аппроксимировали функцию в точке х = 1. Это видно на рисунке 3.1.
Рисунок 3.1 - Результат примеров аппроксимации (примеры 3.1 и 3.2)
Пример 3.3. Функцию на отрезке [-1, 1] квадратично аппроксимировать полиномом Лежандра четвертой степени.
Решение. Полином Q4(x) ищем в виде частичных сумм ряда Фурье:
(3.3)
где Pk(x) (k = 0, 1, 2, 3, 4) - полиномы Лежандра, а
Для вычисления коэффициентов сk применен программный продукт MathCad (рабочий документ MathCad'а приведен в приложении С).
Подставив полученные коэффициенты в формулу (3.3), получаем:
График полученной функции приведен на рисунке 3.2.
Пример 3.4. Найти квадратичное приближение функции в промежутке [-1, 1] полиномом четвертой степени.
Решение. Полином Q4(х) будем искать в виде
(3.4)
где цk(x) (k = 0, 1, 2, 3, 4) - полученные с помощью полиномов Чебышева функции.
Коэффициенты сk рассчитаны в системе MathCad (см. приложение С).
Подставив полученные коэффициенты в формулу (3.4), получаем:
График полученной функции приведен на рисунке 3.2.
Рисунок 3.2 - Результат примеров аппроксимации (примеры 3.3 и 3.4)
Из рисунка 3.2 видно, что аппроксимация не достаточно точная. Чтобы повысить точность аппроксимации, нужно брать большую степень полинома. Это следует из тождества Бесселя:
При увеличении n (степени полинома), сумма полинома не уменьшается, а, следовательно, отклонение не увеличивается.
Приложение А
Первые 10 полиномов Лежандра Pn(x)
Приложение B
Первые 12 полиномов Чебышева Tn(x)
Приложение С
Рабочий документ MathCad'а
Расчет коэффициентов сk для полиномов Лежандра:
полином ортогональность чебышев лежандр аппроксимация
Расчет коэффициентов сk для полиномов Чебышева:
Список используемой литературы
1. Б.П. Демидович, И.А. Марон, Э.3. Шувалова. Численные методы анализа. - М.: Наука, 1967. - 368 с.
2. Л.Д. Кудрявцев. Математический анализ, том 2. - М.: Наука, 1982. - 417 с.
3. В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов. Математический анализ. - М.: МГУ, 1987. - 358 с.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Преобразование коэффициентов полиномов Чебышева. Функции, применяемые в численном анализе. Интерполяция многочленами, метод аппроксимации - сплайн-аппроксимация, ее отличия от полиномиальной аппроксимации Лагранжем и Ньютоном. Метод наименьших квадратов.
реферат [21,5 K], добавлен 27.01.2011Математический анализ и операционное исчисление. Обращение преобразования с помощью многочленов, ортогональных на промежутке. Интегральное преобразования Лапласа с помощью смещенных многочленов Лежандра и многочленов Чебышева первого рода.
реферат [503,6 K], добавлен 10.02.2011Система кривых Пирсона. Применение ортогональных полиномов Чебышева при нахождении кривых распределения вероятностей. Примеры нахождения кривых распределения вероятностей и программное обеспечение.
дипломная работа [230,5 K], добавлен 13.03.2003Рекурсивное, тригонометрическое определение и свойства многочленов Чебышёва. Сущность теоремы Е.И. Золотарёва-А.Н. Коркина. Применение ортогональных полиномов Чебышева при нахождении кривых распределения вероятностей. Обобщение метода Грамма-Шарлье.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 11.01.2011Определение и общие свойства ортогональных функций (многочленов). Рекуррентная формула и формула Кристоффеля-Дарбу. Элементарные свойства нулей, их плотность. Сущность первого и второго рода многочленов Чебышева. Нули многочленов и отклонение от них.
курсовая работа [2,5 M], добавлен 30.06.2011Роль многочленов Чебышева в теории приближений и их использование в качестве узлов при интерполяции алгебраическими многочленами. Преимущества разложения функции по полиномам Чебышева. Разработка программы численного расчета решения подобной задачи.
контрольная работа [184,2 K], добавлен 13.05.2014Задача исследования устойчивости нелинейной динамической системы. Аппроксимации функций с использованием обобщений полиномов Бернштейна. Анализ скорости сходимости и эффективности итерационной формулы, сравнение с классическими численными методами.
дипломная работа [1002,2 K], добавлен 23.06.2011Основные свойства многочленов Чебышева - двух последовательностей ортогональных многочленов, их роль в теории приближений. Способы определения, явные формулы. Многочлен Чебышева на отрезке. Случай произвольного отрезка. Разработка программной реализации.
курсовая работа [391,8 K], добавлен 19.12.2012Основы теории многочленов от одной переменной. Определение и простейшие свойства многочленов Чебышева. Основные теоремы о многочленах Чебышева. Формальная производная многочлена. Рациональные корни нормированного многочлена с целыми коэффициентами.
курсовая работа [1,2 M], добавлен 04.07.2015Основные формулы и алгебраические свойства. Применение многочленов Чебышева-Эрмита в квантовой механике. Определение потенциальной энергии. Ортонормированный многочлен Чебышева-Эрмита. Уравнение Шрёдингера в одномерном случае. Коэффициенты разложения.
курсовая работа [459,1 K], добавлен 21.11.2014
