Шаг 0

Начальный БП не является оптимальным, т.к. , . Выберем а₂ - разрешающий столбец. Вычислим симплексное отношение и выбираем минимальное. Оно определяет разрешающую строку: 1-ая. Значит, в новом БП: yХ_Б, z₁Х_Н. Заполняем новую симплексную таблицу, выполнив соответствующие расчеты.

Шаг 1

Х⁽¹⁾ = (0; ; 0; 0;; )

--M. Т.к. , то этот БП не является оптимальным.

Шаг 2

Построен БП Х⁽²⁾ = (2; 3; 0; 0; 7; 0). -1

Т.к. все , то это оптимальный план (решение) М-задачи.

Т.к. (искусственные переменные равны нулю), то

Х = (2; 3; 0; 0; 7) - оптимальный план канонической задачи. Отбрасывая дополнительные переменные , получим оптимальный план исходной задачи.

Х^* = (2; 3; 0), -1

Задача 5

Определить оптимальный план перевозок с целью минимизации общих затрат на транспортировку с заданными векторами и и матрицей стоимостей С.

Решение

1) Обозначим через Х_ij количество единиц продукции (поставку), которое планируется к перевозке из пункта А_i в пункт В_j - потребления, а через f - общие затраты, связанные с выпуском и доставкой продукции.

Суммарная мощность поставщиков 20+21+7+2=50ед. больше объема потребностей 2+15+10+7+6=40 ед. на 10 ед. Следовательно, модель задачи открытая. Часть заказов (3 ед.) останется невостребованной.

Составим экономико-математическую модель задачи.

Ограничения по мощностям поставщиков:

Х₁₁+Х₁₂+Х₁₃+Х₁₄+Х₁₅ 20

Х₂₁+Х₂₂+Х₂₃+Х₂₄+Х₂₅ 21

Х₃₁+Х₃₂+Х₃₃+Х₃₄+Х₃₅ 7

Х₄₁+Х₄₂+Х₄₃+Х₄₄+Х₄₅ 2

Ограничения по потребностям:

Х₁₁+Х₂₁+Х₃₁+Х₄₁ =2

Х₁₂+Х₂₂+Х₃₂+Х₄₂=15

Х₁₃+Х₂₃+Х₃₃+Х₄₃=10

Х₁₄+Х₂₄+Х₃₄+Х₄₄= 7

Х₁₅+Х₂₅+Х₃₅+Х₄₅=6

Условия неотрицательности:

Х_ij 0

Целевая функция: f = 10Х₁₁+ 6Х₁₂+ 10Х₁₃ +…+ 5Х₄₅ (min)

Так как суммарная мощность поставщиков больше объема потребностей на 10 ед., то введя фиктивного потребителя В6 с заявкой в 10 ед. и нулевыми суммарными затратами, получим закрытую модель задачи, а в табл.1 добавится один столбец (табл.2).

Таблица 1

Таблица 2

Построим начальный опорный план задачи способом минимального элемента.

Первой загружается клетка (1,6). Сопоставляя количество товара у поставщика А₁ (20 ед.) с заявкой потребителя В₁ (10 ед.) заключаем, что эту заявку можно удовлетворить полностью за счет А₁, т.е. поставка Х₁₁ = 16 и первый столбец закрывается.

Следующей надо загружать клетку (2;3). 10 ед. товара для потребителя В₂ возьмем у поставщика А₂, Х₂₃ =10 и столбец В₂ закрывается.

Рассуждая аналогично, загружаем клетку (3; 1) поставкой Х₃₁ = 2 и т.д. Для большей наглядности этапы построения опорного плана указаны индексами при поставках (таблица 3).

Таблица 3. Опорный план задачи (определен способом минимального элемента)

Затраты материально-денежных средств на выполнение опорного плана составят:

F_опрн.= 4*6+6*3+10*0+4*10+10*1+7*9+2*1+5*3+2*5= 182 ден.ед.

Построенный опорный план проверяем на оптимальность. Проверка включает два этапа:

1. Нахождение потенциалов для заполненных клеток, т. е. клеток, в которых записан план.

2. Проверка на потенциальность незаполненных клеток.

Исследуем полученный опорный план на оптимальность. Для исследования плана на оптимальность необходимо найти оценки свободных клеток. Для этого надо знать потенциалы U_i и V_j, которые определяются в результате решения системы уравнений составленных по заполненным клеткам. Получаем

U_i + V_j = С_ij

В табл. 2 введем дополнения. Введем строку для обозначения потенциалов столбцов (V_j) и столбец для обозначения потенциалов строк (U_i) (табл. 4).

Таблица 4

Оценки свободных клеток:

_ij = С_ij - (U_i + V_j )

₁₁ =10 -(6-2)=4; ₁₃=10 -(6-9)= 13; ₁₄=7 -(6-1) = 2;

₂₁ = 2- (10-2) = -6; ₂₅ =10 - (10-3) = 3; ₂₆ = 0 - (10-6) = -4;

₃₃ = 5- (3-9) = 11; ₃₄ = 10- (3-1) =8; ₃₅ =10 - (3-3) = 10; ₃₆ =0 - (3-6) = 3;

₄₁ =10 - (5-2) = 7; ₄₃ =10 - (5-9) = 14; ₄₄ =6 - (5-1) =2;

₄₅ =5 - (5-3) = 3; ₄₆ =0 - (5-6) =1

Так как среди оценок есть отрицательные, то план не является оптимальным. Надо улучшать план, загружая клетку с наибольшей (по модулю) отрицательной оценкой.

Из табл. 4 следует, что нарушение характерно для клетки k₂₁. Улучшение плана выполняем на основе цикла, который дает ответ на вопрос, как улучшить план. В нашем случае наиболее потенциальная клетка k₂₁.

Она - начало цикла, который пройдет по клеткам k₂₁--k₂₂--k₃₂--k₃₁. По цепи цикла перемещаем меньшее число клетки со знаком минус, т. е.

Min(2, 4) = 2

Чтобы получить новый опорный план к поставкам в "положительных" клетках надо прибавить 2, в "отрицательных" - вычесть 2.

Таблица 5

₁₁ =10 -(6-8)=12; ₁₃=10 -(6-9)= 13; ₁₄=7 -(6-1) = 2;

₂₅ =10 - (10-3) = 3; ₂₆ = 0 - (10-6) = -4; ₃₁ = 1- (3-8) = 7;

₃₃ = 5- (3-9) = 11; ₃₄ = 10- (3-1) =8; ₃₅ =10 - (3-3) = 10; ₃₆ =0 - (3-6) = 3;

₄₁ =10 - (5-8) = 13; ₄₃ =10 - (5-9) = 14; ₄₄ =6 - (5-1) =2;

₄₅ =5 - (5-3) = 3; ₄₆ =0 - (5-6) =1

F₁= 4*6+6*3+10*0+2*2+2*10+10*1+7*9+7*3+2*5 = 170 ден.ед.

Так как среди оценок есть отрицательная, то план вновь не является оптимальным. Надо улучшать план, загружая клетку k₂₆. В результате получим таблицу 6.

Таблица 6

₁₁ =10 -(6-4)=8; ₁₃=10 -(6-5)=9; ₁₄=7 -(6-3) =4;

₂₂ =10 - (6+0) = 4; ₂₅ =10 - (6-3) = 7; ₃₁ = 1- (3-4) = 2;

₃₃ = 5- (3-5) = 7; ₃₄ = 10- (3-3) =10; ₃₅ =10 - (3-3) = 10; ₃₆ =0 - (3-6) = 3;

₄₁ =10 - (5-4) = 9; ₄₃ =10 - (5-5) = 10; ₄₄ =6 - (5-3) =4;

₄₅ =5 - (5-3) = 3; ₄₆ =0 - (5-6) =1

F₂ = 6*6+6*3+8*0+2*2+10*1+7*9+2*0+7*3+2*5 = 162 ден.ед.

Так как среди оценок нет отрицательных, то план является оптимальным.

Этому плану соответствует минимальная суммарная стоимость перевозок в f_min= 162 ден. ед.

Ответ: f_min= 162 ден. ед.; Х_ОПТИМ. =

Задача 6

Прибор состоит из двух узлов. Работа каждого из необходима для работы прибора. Вероятность безотказной работы в течение времени Т первого узла равна 0,8; для второго узла эта вероятность равна 0,9.

За время Т прибор вышел из строя.

Найти вероятность того, что отказал только первый узел.

Решение

Введем обозначения:

Событие А - за время Т прибор вышел из строя.

Событие А может произойти с одной из следующих гипотез:

Н₁- отказал первый узел;

Н₂- отказал второй узел.

По условию задачи,

Р(Н₁) = 0,5; Р(Н₂) = 0,5;

Р(А/Н₁) = 1-0,8=0,2; Р(А/Н₂) =1-0,9=0,1.

В соответствии с формулой полной вероятности будем иметь,

Р(А) = Р(Н₁) Р(А/Н₁) + Р(Н₂) Р(А/Н₂)

Р(А) = 0,5*0,2+0,5*0,1 = 0,15

Воспользуемся формулой Бейеса - Р(Н₁ /А) =

Значит, Р(Н₁/А) =

Задача 7

Случайная величина Х задана плотностью вероятности:

f(х) =

Найти:

а) коэффициент а;

б) функцию распределения вероятностей F(х);

в) математическое ожидание М(х); дисперсию Д(х); среднее квадратическое отклонение ;

г) вероятность попадания величины Х в интервал (-1; 1).

Построить графики функций F(х) и f(х).

Решение

а) Воспользуемся свойством плотности распределения вероятностей -

=1;

плотность распределения данной случайной величины Х есть -

f(х) =

б) Функцию распределения F(x) найдем по ее связи с плотностью распределения вероятностей -

При х;

При -

При -

При

функция распределения есть -

F(x)=

в) М(х)=- математическое ожидание

D(x) =- дисперсия

- среднее квадратическое отклонение

г) искомая вероятность есть -

Построим графики функций F(х) и f(х).

Задача 5.1

Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения первого порядка.

Решение

Задача 5.3

Найти общее решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

Решение

- характеристическое уравнение.

Корни характеристического уравнения - комплексные, поэтому общее решение однородного уравнения можно выписать в виде -

1. (1)

Правая часть уравнения (1) имеет вид - .

Т.к. число не является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения (1) можно выписать в виде -

Исходное уравнение примет вид -

При cos x: А-6В=0

При sin x: B+6A =1

Отсюда

- частное решение неоднородного уравнения (1).

2. (2)

Правая часть уравнения (2) имеет вид -

Т.к. число не является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения можно выписать в виде -

Исходное уравнение примет вид -

Отсюда

- частное решение неоднородного уравнения (2).

Общее решение исходного уравнения есть -

Найдем общее решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

Частное решение есть -

Задача 8.3

Определить область сходимости степенного ряда и

Решение

Воспользуемся признаком сходимости Даламбера -

Ряд будет сходиться, если -

Исследуем характер сходимости ряда в точке х=-1.

Получим ряд -

Для исследования его сходимости воспользуемся интегральным признаком Коши -

Несобственный интеграл расходится, значит, расходится и ряд

.

Исследуем характер сходимости ряда в точке х=1.

Получим ряд -

Для исследования его сходимости воспользуемся признаком Лейбница о сходимости знакопеременного ряда -

2.

Условия сходимости выполнены, значит, ряд сходится.

Следовательно, областью сходимости ряда есть полуоткрытый интервал

Размещено на Allbest.ru