Численные методы

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача 1

Найти абсолютную ? и относительную д погрешности числа б, имеющего только верные цифры (б = 0,374). Задачу необходимо решить аналитически и системе MathCAD.

Решение:

1. Аналитическое решение

Пусть б = 0,374 - приближенное значение числа б, причем все цифры приближения верные. Если число б имеет n верных значащих цифр, то его относительная погрешность:

,

где k - первая значащая цифра числа б.

Относительная погрешность числа б:

.

Абсолютная погрешность числа б:

.

2. Решение в системе MathCAD:

Задача 2

Найти методом итераций действительные корни уравнения (1) с пятью верными знаками.

Задачу необходимо решить аналитически и в системе MathCAD.

Решение:

1. Аналитическое решение:

Метод итераций состоит в том, что за каждое следующее приближение аргумента принимается значение вспомогательной функции f(x) при предыдущем значении аргумента.

Приведем исходное уравнение (1) к следующему виду:

.

Тогда .

В этом случае рекуррентное соотношение метода простой итерации будет иметь вид:

.

За начальное приближение примем абсциссу вершины параболы:

.

Таким образом, подставляя исходные данные задачи:

.

Величину неувязки будем контролировать по исходному уравнению (1). Итерацию завершим в том случае, если величина неувязки станет меньше 10^-5, согласно условию задачи.

Расчет первого корня представлен в таблице:

Таким образом, первый корень уравнения с точностью будет получен на 14 итерации и равен 0,41422.

Для определения следующего корня, выразим зависимость x=f(x) следующим способом:

.

Таким образом, подставляя исходные данные задачи:

, .

Расчет второго корня представлен в таблице:

Таким образом, второй корень уравнения с точностью будет получен на 15 итерации и равен -2,41421.

2. Решение в системе MathCAD:

Задача 3

погрешность число итерация

Вычисление по формуле Симпсона приближенное значение определенного интеграла с шагом и . Расчеты произвести с точностью 10^-3.

Оценить абсолютную погрешность по правилу Рунге. Ответ дать с учетом поправки Рунге.

С помощью системы MathCAD определить число шагов, необходимое для достижения точности вычислений 10^-5.

Решение:

1. Аналитическое решение

Для численного интегрирования заданной функции необходимо разбить область интегрирования на n равных частей с шагом . Согласно правилу Симпсона:

.

Для оценки абсолютной погрешности воспользуемся правилом Рунге:

.

Приближенное значение интеграла с учетом правила Рунге:

.

Вычисление интеграла при шаге h₁:

Вычисление интеграла при шаге h₂:

Абсолютная погрешность по правилу Рунге:

>0,001.

Приближенное значение интеграла с учетом поправки Рунге:

.

2. Решение в системе MathCAD:

Задача 4

Дано дифференциальное уравнение второго порядка вида с начальными условиями и .

Для данного дифференциального уравнения найти решение y=y(x), удовлетворяющее заданным начальным условиям, в виде:

а) пяти отличных от нуля членов разложения в степенной ряд;

б) по методу Рунге-Кутта составить таблицу приближенных значений решения системы дифференциальных уравнений первого порядка, соответствующей заданному уравнению, на отрезке [0;0,5] с шагом h=0,1.

Все вычисления производить с округлением до пятого десятичного знака. Результаты, полученные в п. а) и б), сравнить.

Задачу решить аналитически и с помощью системы MathCAD.

Решение

1. Аналитическое решение

Решим дифференциальное уравнение двумя способами:

а) разложение в степенной ряд

Приближенное решение заданного дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям, можно получить путем разложения в степенной ряд Маклорена в окрестности точки х₀=0:

Согласно условию задачи, рассчитаем пять отличных от нуля членов разложения, предварительно вычислив соответствующие производные высших порядков по следующим формулам:

1) ;

2) ;

3) .

Подставляя начальные условия из задачи, имеем:

.

Подставляя рассчитанные данные, имеем:

.

б) численное решение по методу Рунге-Кутта

Для того, чтобы применить к заданному уравнению численный метод Рунге-Кутта, следует свести это уравнение к системе 2-х дифференциальных уравнений 1-го порядка.

Для этого произведем следующую замену:

.

Тогда, исходное уравнение можно записать в следующем виде:

.

Согласно метода Рунге-Кутта для системы двух дифференциальных уравнений вида и можно записать следующие формулы:

,

где

Применяя формулы к полученной системе, получаем ее приближенное решение. Осуществляя обратную замену, приходим к решению дифференциального уравнения.

Размещено на Allbest.ru