Эйлеровы интегралы

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования Московской области

Московский Государственный Областной Университет

Физико-математический факультет

Кафедра математического анализа

Контрольная работа

Эйлеровы интегралы

Студентки

Борисовой К.И.

Москва - 2011

Эйлеровы интегралы

Эйлеров интеграл первого рода. Так называется (по предложению Лежандра) интеграл вида

где a,b>0. Он представляет функцию от двух переменных параметров а и b: функцию В («Бета»).

Рассматриваемый интеграл, для положительных значений а и b (хотя бы и меньших единицы) сходится * и, следовательно, действительно может быть положен в основу определения функции В. Установим некоторые ее свойства.

1°. Прежде всего, почти непосредственно (подстановкой x =1-t) получаем:

В(а, b) = В(b, а),

так что функция В является симметричной относительно а и Ь.

2°. С помощью интегрирования по частям из формулы (1), при b> 1, находим**

откуда

Эту формулу можно применять с целью уменьшения b, пока b остается больше 1; таким образом, всегда можно достигнуть того, чтобы второй аргумент стал ?1

Впрочем, того же можно добиться и в отношении первого аргумента, так как - ввиду симметричности В - имеет место и другая формула приведения (a>1)

Если b равно натуральному числу р, то, последовательно применяя формулу (2), найдем:

Наоборот, если значение хоть одного из параметров а, Ь будет ? 0, то интеграл расходится.

Мы используем ниже тождество

Но

Поэтому для В(а,n ) и - одновременно - для В(п, а) получается окончательное выражение

Если и а равно натуральному числу т, то

Эту формулу можно применять и при т = 1 или n = 1, если под символом 0! разуметь 1.

3°. Дадим для функции В другое аналитическое представление, которое часто бывает полезно. Именно, если в интеграле (1) произвести подстановку , где у - новая переменная, изменяющаяся от 0 до ?, то и получим

4°. Положим в формуле (4) b = 1 - а, считая, что 0 < а < 1; мы найдем



Читатель узнает уже вычисленный выше интеграл, также связываемый с именем Эйлера [см. 519, 4) (а) или 522, 1°]. Подставляя его значение, приходим к формуле

Если, в частности, взять а=1 -а = 1/2, то получим:

Мы ограничимся этими немногими свойствами функции «Бета» потому, что - как увидим сейчас - она очень просто выражается через другую функцию - «Гамма», которая и будет главным предметом нашего изучения в настоящем параграфе.

Эйлеров интеграл второго рода

Это название было присвоено Лежандром замечательному интегралу:

который сходится при любом a>0 * и определяет функцию Г («Гамма»). Функция Г, после элементарных, является одной из важнейших функций для анализа и его приложений. Обстоятельное изучение свойств функции Г, исходя из ее интегрального определения (6), послужит одновременно и прекрасным примером применения изложенной выше теории интегралов, зависящих от параметра.

Покажем же, прежде всего, тождество обоих определений (конечно, для а >0).

Полагая в (6) х = ln 1/z, найдем:

Как известно

причем выражение , при возрастании n стремится к своему

пределу возрастая**. В таком случае, на основании 518, оправдано равенство

или - если прибегнуть к подстановке z=yⁿ -

Но, согласно (3),

*При a?0 интеграл расходится.

** В этом можно убедиться методом дифференциального исчисления, рассматривая выражение как функцию от а.

Таким образом, окончательно, приходим к знаменитой формуле Эйлера-Гаусса:

которая выше послужила нам отправной точкой [402 (14)]. В дальнейшем свойства функции Г, как указывалось, мы будем извлекать из ее интегрального представления (6).

Простейшие свойства функции Г.

1°. Функция Г(а) при всех значениях а>0 непрерывна и имеет непрерывные же производные всех порядков. Достаточно доказать лишь существование производных. Дифференцируя интеграл (6) под знаком интеграла, получим

Применение правила Лейбница оправдано тем, что оба интеграла

сходятся равномерно относительно а: первый при х = 0 для a?^a0>0

(мажоранта x^a0-1|ln x|), а второй при х = ? для a?A<? (мажоранта х^Ае^-х) *).

Таким же путем можно убедиться и в существовании второй производной

и всех дальнейших.

2°. Из (6), интегрированием по частям, сразу получаем:

т. е. [ср. 402 (15)]

Г(а + 1) = а * Г(а). (9)

Эта формула, повторно примененная, дает

Г(а + ni) = (a + n-1 )(а + п - 2)... (а +1 )аГ(а) (10)

Таким путем вычисление Г для сколь угодно большого значения аргумента может быть приведено к вычислению Г для аргумента <1.

Для х>0, очевидно, In х<х.

Если в (10) взять а= 1 и принять во внимание, что

то окажется, что

Г(п + 1) = n! (12)

Функция Г является естественным распространением - на область любых положительных значений аргумента - факториала n!, определенного лишь для натуральных значений п.

3°. Ход изменения функции Г. Теперь мы можем составить себе общее представление о поведении функции Г(a) при возрастании а от 0 до ?.

Из (11) и (12) имеем: Г(1)=Г(2) = 1, так что, по теореме Р о л ля, между 1 и 2 должен лежать корень а₀ производной Г'(а). Эта производная постоянно возрастает, ибо вторая производная Г"(а), как видно

из ее выражения (8*), всегда положительна. Следовательно, при 0<а<а₀ производная Г'(а)<0, и функция Г(а) убывает, а при а₀<а<? будет Г'(а) >0, так что Г(а) возрастает; при а = а₀ налицо минимум.

Вычисление, которого мы не приводим, дает

a₀ = 1,4616…, minГ(а) =Г(а₀) = 0,8856 ...

Интересно установить еще предел для Г(а) при приближении а к 0 или к ?. Из (11) [и из 1°] ясно, что

при а>+ 0. С другой стороны, ввиду (12)

Г(а) >n!, лишь только а> n+1,

т. е. Г(а) > +? и при а > +?.

График функции Г(а) представлен на рисунке. (Сейчас нам интересна его часть, лежащая в первом координатном углу.)

4°. Связь между функциями В и Г. Для того чтобы установить эту связь, мы подстановкой x = ty (t >0) преобразуем (6) к виду:

Заменяя здесь а на а + b и одновременно t на 1+t, получим:

Умножим теперь обе части этот равенства на t^a-1 проинтегрируем по t от 0 до ?:

В интеграле слева мы узнаем функцию В(а, b) [см. (4)]; справа же переставим интегралы. В результате получим [с учетом (13) и (6)]:

откуда, наконец,

Приведенный изящный вывод этого соотношения Эйлера принадлежит Дирихле. Впрочем, для обоснования его надлежит еще оправдать перестановку интегралов.

Мы сделаем это, ограничиваясь поначалу предположением, что а > 1, b > 1. Тогда для функции

оказываются выполненными все условия следствия n° 521: эта функция непрерывна (и притом положительна) для у?0 и t?0, а интегралы

в свою очередь представляет собою непрерывные функции: первый - от t для t?0? второй - от у для y? 0. Ссылка на упомянутое следствие оправдывает перестановку интегралов, а с нею и формулу (14) - для случая а>1, b> 1.

Если же известно лишь, что а>0 и й>0, то - по доказанному - имеем

А отсюда, используя формулы приведения (2), (2') для функции В и (9) для функции Г, легко вновь получить формулу (14) уже без ненужных ограничений.

5°. Формула дополнения. Если в формуле (14) положить b = 1 - а (считая 0<а<1), то, ввиду (5) и (11), получим соотношение [ср. 408 (30)]



которое и называется формулой дополнения.

При а = 1/2 отсюда находим (так как Г(а) > 0):

Если в интеграле

сделать подстановку z = x², то вновь получим значение интеграла Эйлера-Пуассона:

6°. В качестве применения формулы дополнения определим (вместе с Эйлером) величину произведения (где п - любое натуральное число)

Переписав это произведение в обратном порядке:

перемножим оба выражения:

и к каждой паре множителей применим формулу дополнения. Мы получим

Теперь для вычисления произведения синусов (ср. стр. 621), рассмотрим тождество

и устремим в нем z к 1. В пределе:

или, приравнивая модули,

так что

Подставляя это в выражение для Е², окончательно получаем:

7°. Интеграл Раабе. С формулой дополнения связано и вычисление важного интеграла:



очевидно, существующего, так как [см. (9)]

In Г(а) = In Г(а + 1) - In а.

Заменяя а на 1 - а, можно написать

и, складывая:

Подставляя сюда значение уже известного нам [492, 1°] интеграла, найдем:

Pаабe рассмотрел интеграл (при a >0)

Так как, очевидно,

R'(a) = In Г (a + 1) - In Г (a) = In a

[cm. (9)], то интегрируя, находим для a> О

R(a) = a(ln a - 1) + C.

Ho R(a) сохраняет непрерывность и при a = 0; переходя здесь к пределу при а>0, убеждаемся, что C=R₀. Подставляя значение (18), приходим к формуле Раабе:

8°. Формула Лежандр.

Если в интеграле

сделать подстановку , то получим

Заменим в обоих случаях функцию В ее выражением (14) через Г:

Сокращая на Г (а) и подставляя вместо Г(1/2) его значение vр [см. (16)] придем к формуле Лежандра:

Однозначное определение функции Г ее свойствами.

Мы знаем, что функция Г(а) непрерывна вместе со своей производной для положительных значений аргумента. Кроме того [см. (9), (20) и (15)], она удовлетворяет функциональным уравнениям:

Мы покажем, что эти свойства в совокупности вполне характеризуют функцию Г (так что каждая функция, обладающая этими свойствами, тождественна с Г).

Одних свойств (I) и (II) для этого недостаточно, так как, наряду с Г, ими обладает и функция

Точно так же недостаточно и свойств (И) и (III), ибо они принадлежат и функции

Наконец, свойства (I) и (III) явно оставляют произвольными значения функции Ф(а) для 0 <а<1/2. Иначе обстоит дело, если налицо все три свойства. Впрочем, свойство (III) может быть заменено более слабым требованием, чтобы функция Ф(а) при а>0 не обращалась в 0, что как раз и вытекает из (III) *.

Итак, пусть функция Ф(а) для а> 0 непрерывна вместе со своей производной, отлична от 0 и удовлетворяет соотношениям (I) и (II). Докажем, что тогда Ф(а) = Г(а).

Положим Ф(а) = М(а) + Г(а); очевидно, функция М(а) также непрерывна вместе со своей производной и отлична от 0. Кроме того, так как Ф(а) и Г(а) обе удовлетворяют условиям (I) и (II), то М(а) удовлетворяет соотношениям

(I') М(а+1) = М(а) и (II') М(а)М(a+1/2)=М(2а).

Из (I') явствует, что при а>+0 для М(а) существует конечный предел. Если принять его за значение М(0), то М(а) окажется непрерывной вместе со своей производной вплоть до а = 0.

Заметим, что из (II') при а = 1/2 следует, что М (1/2) = 1; значит, М(а) >0 для всех a?0. Это дает нам право рассматривать функцию

Ца) = In М(а),

которая также непрерывна вместе со своей производной для a?0, но удовлетворяет условиям:

(I") L(a+1) = L(a) и (II") L(a) + L(a) + L(a+1/2)=L(2a).

Наконец, введем еще непрерывную функцию

?(a) = L'(a);

она выполняет соотношения:

(I'”) ?(a+1)=?a и (II”') ?(a)+?(a+1/2)=2?(2a)

Из (II"'), заменяя а на a/2, получим

Если здесь снова заменить а сначала на a/2, а затем на (a+1)/2 и сложить полученные равенства, то найдем, что



Методом математической индукции легко установить общее соотношение

Для 0?а<1; соблюдение этого требования для прочих значений а следует уже из (I).

Но, каково бы ни было а, сумму слева можно рассматривать как интегральную сумму для интеграла

Поэтому

[ввиду (I")]. В таком случае L(а) = const, значит и М(а) = const. Но мы видели, что M(1/2)=1, так что М(а) 1 и Ф(а) Г(а), ч. и тр. д.

В заключение отметим еще, что требование дифференцируемости играет при этом существенную роль и не может быть отброшено. Если, например, положить



то в лице L(а) будем иметь непрерывную функцию, удовлетворяющую условиям (I") и (II"). Вместе с тем L(О) = 0 и L(1/4)=1/2, так что L(а) не сводится к постоянной!

Другая функциональная характеристика функции Г.

В предыдущем n° была дана характеристика функции Г(а), как единственной непрерывной вместе со своей производной функции, удовлетворяющей функциональным уравнениям (I) и (II) и не обращающейся в 0 (для а > 0). Здесь же мы дадим более простую характеристику функции Г(а), используя лишь одно функциональное уравнение (I), но налагая на функцию еще требование «логарифмической выпуклости», смысл которого мы сейчас выясним.

В n° 141 было дано определение выпуклой функции f(x). Положительная функция f(x), заданная в промежутке X, называется логарифмически выпуклой в этом промежутке, если ее логарифм In f(x) оказывается выпуклой функцией. Так как

F(x) = е^{ln f(x)}

то в силу 142, 3°из логарифмической выпуклости функции f(x) вытекает ее выпуклость; обратное заключение, вообще, неверно. Таким образом, логарифмически выпуклые функции составляют лишь часть всего класса выпуклых функций.

Пользуясь теоремой 2 n° 143, можно установить условие логарифмической выпуклости: пусть положительная функция f(x) непрерывна вместе со своей производной f'(x) в промежутке X и имеет внутри промежутка конечную вторую производную f"(x); тогда для логарифмической выпуклости функции f(x) в X необходимо и достаточно, чтобы внутри было

Доказательство состоит в применении упомянутой теоремы к функции In f(x).

Учитывая при этом периодичность функции ?(а), в силу (I'").

Вернемся теперь к функции Г(х). Ее первая и вторая производные выражаются формулами (8) и (8*). По неравенству Буняковского [321, (13'); 483, 7)]:

если положить здесь

получим:

Отсюда, по только что приведенному условию, функция Г(а) в промежутке (0, ?) оказывается логарифмически выпуклой. Вот этим-то свойством, совместно с уравнением (1), функция Г и определяется с точностью до постоянного множителя. Иными словами:

Если 1) в промежутке (О, ?) Ф(а) удовлетворяет уравнению (I)

2) Ф(а) логарифмически выпукла и

3) Ф( 1) = 1, то Ф(а) = Г(а).

Допустим, что для Ф(а) выполнены все эти три условия.

Повторно применяя уравнение (I), придем к общему равенству

Ф(а+п) = (а+п- 1)(а+п-2)-... -{а+1 )-а-Ф(а), (21)

где n - любое натуральное число; отсюда, полагая а =1 [см. 3)] и заменяя n на n - 1, найдем:

Ф(n) = (n-1)! (22)

Отметим, что достаточно доказать совпадение Ф(а) с Г (а) в промежутке (0, 1], ибо, вследствие (I), эти функции будут совпадать и повсюду. Пусть же 0<a?1. Вспомним неравенство (6) n° 143

имеющее место для выпуклой функции f(x) при единственном условии: x₁<x₂ *. Применив дважды это неравенство к выпуклой, ввиду 2), функции In Ф(а) при любом n? 2, получим



или - с учетом (22) --

Отсюда следует

а значит:

Правда, в указанном месте было предположено, что х,<х<х₂, но нетрудно убедиться, что написанное неравенство справедливо при любом положении точки х, лишь бы она не совпадала с х₁ и x₂ ,

Переходя теперь, с помощью формулы (21), к самому значению Ф(а), придем к неравенствам

Наконец, заменяя в первом из них n на n+1, представим полученные неравенства в виде



Отсюда уже ясно, что

в силу формулы (7) Эйлера-Гаусса.

Примеры.

1) Найти интеграл

Указание. Полагая х^m=у, сводим его к эйлерову интегралу первого рода.

Ответ.

Предлагается с помощью этого результата доказать, например, что при любом натуральном n



2) Вычислить интеграл

С помощью подстановки

предложенный интеграл приводится к виду

3) Найти интегралы

Указания. (а) Подстановка

(б) Подстановка u

Ответ.

Отсюда, в свою очередь, может быть получен ряд любопытных интегралов. Например, если в последнем взять n=1-m, положить 2m-1=cos 2a и сделать подстановку

х = tg ц, то найдем:

4) Найти интегралы

Решение, (а) Полагая x = sin ц, приведем предложенный интеграл к интегралу

так что, используя задачу 1), будем иметь

(б) В частности, при b= 1, получим отсюда

С помощью формулы Лежандра этот результат может быть переписан в виде:

(в) Наконец, полагая в (а) а=1 + с и b=1-с, где |с|<1, найдем (используя формулу дополнения)

5) Определить площадь Р фигуры, ограниченной кривою

Решение. Кривая имеет две петли - в одну и в три четверти; достаточно удвоить площадь одной из них. По формуле для площади в полярных координатах [338 (9)] имеем:

[см. зад. 4) (а) и соотношения (9), (12), (15)].

6) Определить (а) площадь Р фигуры, ограниченной одним витком кривой (m - натуральное число)

и (б) длину S этого витка.

Решение

[см. зад. 4) (б) и соотношения (9), (20)].

Легко проверить, что в этой формуле как частные случаи содержатся обе формулы (8) n° 312.

(б) По формуле для длины дуги в полярных координатах [329 (46)]

[см. зад. 4) (6)].

7) Вычислить интегралы

(а) Указание. Подстановка:

Ответ.

(б) Указание. Подстановка:

Ответ.

8) Доказать, что



Решение. Положим

Подлежит доказательству равенство

Применяя к этим интегралам подстановки (соответственно) приведем их к эйлеровым интегралам первого рода. Затем придется лишь несколько раз использовать формулу дополнения.

9) Доказать формулу (принадлежащую Дирихле)

Указание. Подставить и использовать перестановку интегралов по х и по у (случай положительной функции).



10) В задаче 12) n° 511 мы доказали тождество

ЕК'+Е'К - КК' = с = const

(относительно обозначений см. в указанном месте). Затем, с помощью некоего предельного перехода было установлено, что c=р/2. Этот же результат можно было бы получить, вычислив величину левой части при каком-нибудь частном значении к.

Пусть k = 1/v2; тогда к' = к, Е' = Е и К' = К, и тождество принимает вид

2ЕК - К² = (2Е - К) * К = с.

Интегралы

последовательными подстановками cosц = t, t⁴ = x приводятся к эйлеровым интегралам первого рода:

так, что

Отсюда искомая постоянная

11) Разложить в ряды интегралы:

Решение

(а)

если через [функция «дзета» Р и м а н а], как обычно, обозначить сумму последнего ряда. Мы воспользовались здесь теоремой об интегрировании положительного ряда [518] и формулой (13).



Если s > 1, то этот результат можно представить в виде

ибо

12) Некоторое обобщение предыдущей задачи представляют разложения:

[11) (а) отсюда получается при а = 1];

[11) (а) отсюда получается при z=1, a 11) (б) - при z = - 1].

13) Обозначая сумму гипергеометрического ряда [см. 441, 6)]

через F(a, р, у, х), доказать соотношение:

(Гаусс).

Считая а>0 и у-а>0, рассмотрим интеграл

при 0<x<1. Так как ряд

сходится (при фиксированном х) равномерно относительно z в промежутке [0, 1], то - умножая на интегрируемую в этом промежутке функцию z^a-1(1-z)^y-a-1 полученный ряд можем интегрировать почленно. Мы придем к разложению

где

Для получения формулы Г а у с с а остается лишь перейти здесь к пределу при х>1 (считая у-a-в>0). В ряде этот переход можно выполнить почленно - по теореме Абеля [437, 6°]. В интеграле же можно перейти к пределу под знаком интеграла - ввиду наличия мажоранты:

В результате [см. (14)]

откуда и следует доказываемое соотношение.

Из него, в частности, при у= 1, в= - а получается [с учетом (11), (9), (15)], любопытное разложение (0<а<1).

эйлеров интеграл математический

Может быть введено и преобразованием известного бесконечного произведения, выражающего синус [408].

Размещено на Allbest.ru