Области допустимых значений функции
Полное приращение функции. Полный дифференциал функции. Касательная плоскость и нормальный вектор. Точки экстремума функции. Частные производные первого и второго порядка от функции. Направляющие косинусы вектора. Тангенс угла наклона касательной.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 06.06.2012 |
| Размер файла | 125,6 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
1. ОДЗ функции
ОДЗ - это то, что ниже этого графика. Нужно заштриховать это область.
2. ,
Линия уровня представляет собой окружность с центром в начале координат и радиусом 3.
3.
4.
Полное приращение функции:
Полный дифференциал функции:
5.
Т.е.
6. Найти касательную плоскость и нормальный вектор к в точке .
,
- плоскость
7. Найти точки экстремума:
а)
Частные производные первого порядка от функции равны:
Приравняем их к нулю и решим систему уравнений:
б)
Частные производные первого порядка от функции равны:
Приравняем их к нулю и решим систему уравнений:
Вычислить градиент и производную:
Для решения задачи воспользуемся формулой для нахождения производной от функции в заданной точке по направлению вектора:
,
где и - направляющие косинусы вектора, которые вычисляются по формулам:
,
По условию задачи вектор имеет координаты , . Тогда его длина равна:
Следовательно, для направляющих косинусов вектора получим следующие значения:
,
Далее для решения задачи необходимо найти все частные производные первого порядка от функции:
Вычислим значения этих частных производных первого порядка в точке :
В заключении подставим полученные значения для направляющих косинусов вектора и значения частных производных первого порядка от функции в точке в формулу для нахождения производной по направлению в заданной точке:
Найти дифференциал второго порядка для функции
Дифференциал второго порядка для функции нескольких переменных определяется по формуле:
Найти минимум и максимум функции в области ,
Найдем точки, удовлетворяющие условиям: и
Частные производные первого порядка от функции равны:
Приравняем их к нулю и решим систему уравнений:
Выпишем отдельно второе уравнение системы и найдем его корни:
Подставим найденные значения в первое уравнение системы:
и
Таким образом, получили две точки и , которые удовлетворяют начальным условиям , . Найдем значения функции этих точках и на концах интервалах:
Итак: ,
Решить задачу
Речь идет о расстоянии между двумя функциями, а именно, между прямой и .
Ищем параллельную прямойкасательную через производную
.
Производная равна тангенсу угла наклона касательной, а он у нас равен единице.
точка касания: .
Ищем расстояние между точкой и прямой . Перпендикуляр имеет коэффициент -1. Уравнение перпендикуляра: и он проходит через точку . Найдем параметр :
.
функция плоскость вектор дифференциал
Найдем точку пересечения прямых и , решив систему уравнений:
Расстояние между точками и есть минимальное расстояние между прямой и параболой . Найдем это расстояние:
Решить задачу
Задача сводится к нахождению минимума функции при условии, что .
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Нахождение частной производной первого порядка. Определение области определения функции. Расчет производной от функции, заданной неявно. Полный дифференциал функции двух переменных. Исследование функции на экстремум, ее наименьшее и наибольшее значения.
контрольная работа [1,1 M], добавлен 12.11.2014Понятие, предел и непрерывность функции двух переменных. Частные производные первого порядка, нахождение полного дифференциала. Частные производные высших порядков и экстремум функции нескольких переменных. Необходимые условия существования экстремума.
контрольная работа [148,6 K], добавлен 02.02.2014Расчет частных производных первого порядка. Поиск и построение области определения функции. Расчет полного дифференциала. Исследование функции на экстремум. Поиск наибольшего и наименьшего значения функции в замкнутой области. Производные второго порядка.
контрольная работа [204,5 K], добавлен 06.05.2012Основные определения и теоремы производной, дифференциала функции; техника дифференцирования. Применение производных к вычислению пределов. Исследование функции на монотонность и точки локального экстремума. Полное исследование функции, асимптоты графика.
контрольная работа [539,8 K], добавлен 20.03.2016Нахождение частных производных по направлению вектора. Составление уравнения касательной плоскости к поверхности в заданной точке. Исследование на экстремум функции двух переменных. Определение условного максимума функции при помощи функции Лагранжа.
контрольная работа [61,5 K], добавлен 14.01.2015Понятие функции двух и более переменных, ее предел и непрерывность. Частные производные первого и высших порядков. Определение полного дифференциала. Необходимые и достаточные условия существования экстремума и его нахождение на условном множестве.
реферат [145,4 K], добавлен 03.08.2010Правило нахождения производной произведения функций. Формулы нахождения производных для функций, заданных параметрически. Геометрический смысл производной. Приращение и дифференциал функции. Наибольшее и наименьшее значения на замкнутом множестве.
контрольная работа [75,5 K], добавлен 07.09.2010Непрерывность функции: определение, практические примеры, график, приращение. Точка разрыва первого и второго рода функции, примеры. Бесконечность односторонних пределов функции. Практический пример отложения точки разрыва второго рода на графике.
презентация [270,1 K], добавлен 21.09.2013Нахождение производных функций. Определение наибольшего и наименьшего значения функции. Область определения функции. Определение интервалов возрастания, убывания и экстремума. Интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба. Производные второго порядка.
контрольная работа [98,4 K], добавлен 07.02.2015Предел отношения приращения функции к приращению независимого аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Обозначения производной. Понятие дифференцирования функции производной и ее геометрический смысл. Уравнение касательной к кривой.
презентация [246,0 K], добавлен 21.09.2013
