Закон больших чисел от Бернулли до Маркова

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования.

Самарский Государственный Технический Университет

Реферат на тему

"Закон больших чисел от Бернулли до Маркова"

Выполнил: студент II-АИТ-7

Казаков В.А

Проверила: Павлова И.Н

Самара 2012

1. ПОНЯТИЕ БЕРНУЛЛИ О ЗАКОНЕ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ

Пусть производится независимых испытаний, причем вероятность появления события в каждом испытании равна , тогда вероятность наступления события равна .

Найдем вероятность того, что при испытаниях событие наступит раз .

Пусть событие наступило в первых испытаниях раз и не наступило во всех последующих испытаниях. Это сложное событие можно записать в виде произведения ( раз, раз):

Общее число сложных событий, в которых наступает раз, равно числу сочетаний из элементов по элементов. При этом вероятность каждого сложного события: . Так как эти сложные события несовместны, то вероятность суммы равна сумме их вероятностей.

Итак, если есть вероятность появления события раз в испытаниях, то

Эта формула называется формулой Бернулли.

Пример. Пусть всхожесть семян моркови составляет 90%. Найти вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут: а)три; б) не менее трех. Решение. а) В данном случае . Применяя формулу Бернулли, получим

б) Искомое событие состоит в том, что из четырех семян взойдут либо три, либо четыре. По теореме сложения вероятностей .

Но .

Поэтому .

Мы уже определяли понятие вероятности в классической схеме и геометрически. Существуют еще и другие определения вероятности. Рассмотрим статистическое определение.

Существует множество примеров испытаний со случайными исходами, которые могут быть повторены большое число раз в одинаковых условиях. Назовем частотой какого-либо случайного события в данной серии из испытаний отношение числа тех испытаний, в которых событие наступило, к общему их числу. Наличие у события при определенных условиях вероятности, равной , проявляется в том, что почти в каждой достаточно длинной серии испытаний частота события приблизительно равна . Так, например, различные исследователи проводили опыты по бросанию монеты ( испытаний, -- число выпадений “герба”):

И чем больше число испытаний , тем реже встречаются сколь-нибудь значительные отклонения частоты от вероятности -- частота отклонений становится все меньше. Это утверждение о близости частоты и вероятности математически уточняется законом больших чисел в форме Бернулли.

Теорема. Пусть вероятность наступления некоторого события в последовательности независимых испытаний постоянна и равна , пусть -- число появлений события во всех испытаниях. Тогда для любых при достаточно большом имеет место неравенство

Доказательство. Вычислим суммы:

Первая сумма правой части нам известна, поэтому

Таким образом,

Поскольку события противоположны, то

В силу теоремы сложения вероятностей

где сумма распространена на те значения , для которых . Но для этих значений

и поэтому

где сумма по-прежнему распространена на те значения , для которых . Очевидно, что эта сумма может быть только увеличена, если распространить ее на все значения от 0 до . Следовательно, используя приведенные выше равенства, получаем

Отсюда видно, что для любого положительного мы можем сделать вероятность сколь угодно близкой к 1. Теорема доказана.

И еще одно -- аксиоматическое -- определение вероятности.

Пусть задано вероятностное пространство, т.е. тройка , где -- непустое множество, элементы которого интерпретируются как взаимно исключающие исходы изучаемого явления; -- набор подмножеств множества событиями(предполагается, что множество содержит и замкнуто относительно взятия противоположного события и суммы событий, т.е. является алгеброй); вероятность -- функция, определенная на событиях и удовлетворяющая следующим условиям:

1. при любом ;

2. ;

3. , если при любых .

Следствие 1:

Если вероятность наступления события А в каждом из независимых испытаний постоянна, а их число достаточно велико, то сколь угодно близка к единице вероятность того, что частота появления события как угодно мало отличается от вероятности его появления:

Теорема Бернулли, утверждает, что если вероятность события одинакова во всех испытаниях, то с увеличением числа испытаний частота события стремится к вероятности события и перестает быть случайной.

На практике сравнительно редко встречаются опыты, в которых вероятность появления события в любом опыте неизменна, чаще она разная в разных опытах

2. Неравенство Маркова

бернулли число вероятность марков

Неравенство Маркова в теории вероятностей даёт оценку вероятности, что случайная величина превзойдёт по модулю фиксированную положительную константу, в терминах её математического ожидания. Получаемая оценка обычно достаточно груба. Однако, она позволяет получить определенное представление о распределении, когда последнее не известно явным образом.

Формулировка:

Пусть случайная величина X:?>R определена на вероятностном пространстве (?,F,P), и её математическое ожидание EX конечно. Тогда

P([X]?a)?EX:a, где а>0

Пример:

Пусть X?0-- неотрицательная случайная величина. Тогда, взяв a=2EX получаем P(X?2EX)?0.5

Пример:

В среднем ученики опаздывают на 3 минуты. Какова вероятность того, что опаздывают на 15 и более минут? Дайте грубую оценку.

Ответ: P(|X|>=15)<=3/15 P(|X|>=15)<=0.2

Размещено на Allbest.ru