Доказательство формулы объёма шара с помощью принципа Кавальери
Свойства шара и сферы. Принцип Кавальери, позволяющий более просто вычислять объёмы тел, доказательство с его помощью формулы объёма шара. Взаимное расположение шара и плоскости. Вычисление объёмов тел с помощью интеграла. Площадь поверхности шара.
| Рубрика | Математика |
| Вид | реферат |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 26.05.2012 |
| Размер файла | 661,2 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Содержание
- 1. Вступление
- 2. Шар и сфера
- 2.1 Шар и шаровая поверхность
- 2.2 Взаимное расположение шара и плоскости
- 2.3 Принцип Кавальери. Нахождение объёма шара с помощью принципа Кавальери
- 2.4 Интегральное исчисление. Понятие интеграла
- 2.5 Вычисление объёмов тел с помощью интеграла
- 2.6 Площадь поверхности шара
1. Вступление
На протяжении многих веков человечество не переставало пополнять свои научные знания в той или иной области науки. Стереометрия, как наука о фигурах в пространстве, неотъемлемо связана со многими из научных дисциплин. К таким дисциплинам относятся: математика, физика, информатика и программирование, а также химия и биология. В последних стоит проблема изучения микромира, который представляет собой сложнейшую комбинацию различных частиц в пространстве относительно друг друга. В архитектуре постоянно используются теоремы и следствия из стереометрии.
Множество учёных геометров, да и простых людей, интересовались такой фигурой как шар и его "оболочкой", носящей название сфера. Удивительно, но шар является единственным телом, обладающим большей площадью поверхности при объёме, равном объёму других сравниваемых тел, таких как куб, призма или прочие всевозможные многогранники. С шарами мы имеем дело ежедневно. К примеру, почти каждый человек пользуется шариковый ручкой в конец стержня которой вмонтирован металлический шар, вращающийся под действием сил трения между ним и бумагой и в процессе поворота на своей поверхности шар "выносит" очередную порцию чернил. В автомобильной промышленности изготавливаются шаровые опоры, являющиеся очень важной деталью в автомобиле и обеспечивающей правильный поворот колёс и устойчивость машины на дороге. Элементы машин, самолётов, ракет, мотоциклов, снарядов, плавательных судов, подвергающиеся постоянным воздействиям воды или воздуха, преимущественно имеют какие либо сферические поверхности, называемые обтекателями.
В своём реферате я дала понятие шара и сферы, привёла некоторые свойства этих тел. Был рассмотрен принцип Кавальери, позволяющий более просто вычислять объёмы тел. С помощью принципа Кавальери мною приведено доказательство формулы объёма шара. По каждому вопросу я постарался привести несколько показательных задач. В реферате имеются некоторые исторические сведения, так же по каждой из рассмотренных тем.
Основными этапами работы над данной темой явились: подборка соответствующей литературы, изучение нужного для работы материала, систематизация материала (план), применение к конкретным задачам, а также практическое применение.
2. Шар и сфера
2.1 Шар и шаровая поверхность
Рис. 1
Шаровой или сферической поверхностью называется геометрическое место точек пространства, удаленных от данной точки О (центра) на заданное расстояние R (радиус). Все пространство по отношению к данной шаровой поверхности разбивается на внутреннюю область (куда можно присоединить и точки самой поверхности) и внешнюю. Первая из этих областей называется шаром. Итак, шар - геометрическое место всех точек, удаленных от заданной точки О (центра) на расстояние, не превышающее данной величины R (радиуса). Шаровая поверхность является границей, отделяющей шар от окружающего пространства.
Шаровую поверхность и шар можно получить также, вращая окружность (круг) вокруг одного из диаметров.
Рассмотрим окружность с центром О и радиусом R (рис.1), лежащую в плоскости Я. Будем вращать ее вокруг диаметра АВ. Тогда каждая из точек окружности, например М, в свою очередь опишет при вращении окружность, имеющую своим центром точку М0-проекцию вращающейся точки М на ось вращения АВ. Плоскость этой окружности перпендикулярна к оси вращения. Радиус ОМ, ведущий из центра исходной окружности в точку М, будет сохранять свою величину во все время вращения, и потому точка М все время будет находиться на сферической поверхности с центром О и радиусом R. Шаровая поверхность может быть получена вращением окружности вокруг любого из ее диаметров.
Сам шар как тело получается вращением круга; ясно, что для получения всего шара достаточно вращать полукруг около ограничивающего его диаметра.
2.2 Взаимное расположение шара и плоскости
Рис. 2
Рис. 3
Исследуем вопрос о взаимном расположении шара и плоскости. Для этого, имея некоторый шар и плоскость, опустим из центра шара перпендикуляр на плоскость. Если основание этого перпендикуляра М0 окажется вне шара (рис.2), то остальные точки плоскости и подавно будут лежать вне шара, так как они еще больше удалены от центра, чем основание перпендикуляра. В этом случае плоскость не имеет общих точек с шаром, она его не пересекает. Если основание перпендикуляра окажется на шаровой поверхности (рис.3), то остальные точки плоскости, как и в предыдущем случае, будут лежать вне шара. Плоскость будет иметь одну общую точку с поверхностью; такая плоскость называется касательной к шару. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен к касательной плоскости.
Рис. 4
Действительно, если плоскость имеет с поверхностью шара единственную общую течку, то эта точка ближайшая к центру шара по сравнению с остальными точками плоскости и потому служит основанием перпендикуляра, опущенного из центра шара на плоскость.
Если, наконец, основание перпендикуляра М0 окажется внутри шара (рис.4), то плоскость будет пересекать поверхность шара, так как часть ее окажется внутри шара, а часть - вне. Исследуем линию пересечения такой плоскости с шаровой поверхностью. Пусть расстояние ее от центра шара равно d, d<R. Тогда оказывается, что линия пересечения плоскости с поверхностью шара является окружностью с центром в точке М0 и радиусом, равным . Для доказательства проведем через М0 произвольный луч М0М, лежащий в секущей плоскости. Выходя из внутренней области шара во внешнюю, он пересечет поверхность шара в некоторой точке М. Рассмотрим треугольник ОМ0М с прямым углом при вершине М0. Катет М0М по теореме Пифагора будет равен . Впрочем, постоянство длины отрезка независимо от направления луча М0М в данной плоскости видно и без применения теоремы Пифагора (пользуемся равенством прямоугольных треугольников, имеющих общие катеты и равные гипотенузы). Теперь видно, что все точки пересечения плоскости , с поверхностью шара лежат на одной окружности с центром М0 и радиусом, равным . Напротив, любая точка этой окружности удалена от центра шара на расстояние, равное , и потому лежит на поверхности шара (равно как и в плоскости) и, значит, принадлежит рассматриваемой линии пересечения. Из этого видно, что линия пересечения - полная окружность, а не какая-либо часть ее.
Итак, если длина перпендикуляра, опущенного из центра О шара радиуса Rна данную плоскость, равна d, то:
1) при d>R плоскость не пересекает шара;
2) при d = Rплоскость касается шара в одной точке, радиус,
проведенный в точку касания, перпендикулярен к плоскости;
3) при d<R плоскость пересекает шар по окружности, цент
ром которой служит основание перпендикуляра, опущенного из
центра шара на плоскость, а радиус равен .
В частности, плоскость, проходящая через центр шара, пересекает его по окружности максимально возможного радиуса, равного радиусу шара R. Такие сечения шара плоскостями, проходящими через его центр, называются большими кругами шара.
2.3 Принцип Кавальери. Нахождение объёма шара с помощью принципа Кавальери
В Европе XVII-ХVIII веков и, прежде всего, в экономически развитых государствах, укреплялся новый общественный строй - капитализм. Составной частью этого процесса была техническая революция - переход от мануфактурной промышленности к фабричной и, как следствие, серия изобретений, среди которых - создание паровой машины. Стремительное развитие математики в эту эпоху было обусловлено также усовершенствованием машин для предприятий, изобретением огнестрельного оружия и книгопечатания, постройкой судов для океанского плавания. Возникла необходимость теоретического и научного изучения движения, изменения вообще.
Открытия в астрономии, связанные с именами Н. Коперника и И. Кеплера, позволили по-новому взглянуть на место человека во Вселенной и его умение рациональным образом объяснить астрономические явления. Законы небесной механики дали возможность дополнить законы Земли.
И. Кеплер практически всю свою жизнь посвятил изучению, развитию и пропаганде гелиоцентрической системы Коперника. Анализируя огромный материал астрономических наблюдений, он в 1609-1619 гг. открыл три закона движения планет, носящие его имя, среди которых закон, связанный с площадью сектора.
Задача вычисления секториальных площадей требовала умения пользоваться бесконечно малыми величинами. Этих знаний недоставало и для решения других задач практического характера. Круг, в представлении Кеплера, состоял из бесконечно большого числа треугольников с общей вершиной в центре, а шар - из бесконечно большого числа утончающихся пирамид с вершинами в его центре. Книга ученого "Стереометрия винных бочек" (1615 г.) произвела большое впечатление на читателей, так как в ней был описан доступный метод определения объема 93 различных тел вращения (бочек). Каждому из них он дал оригинальное название: лимон, груша, чалма и т.п. Кеплер заменял неизвестный объем известным путем деления данного тела на сколь угодно малые части и образования из них нового тела (быть может, путем деформации), объем которого можно найти. Доказательства были нестрогими, и это вызывало много споров у математиков. Как видим, Кеплер получил новый результат весьма простым приемом. "Стереометрия винных бочек" - первая работа того времени, вводящая в геометрию бесконечно малые величины и принципы интегрального исчисления, хотя, как говорил сам ученый во введении к этой книге, поводом и целью написания труда первоначально явился частный и практический вопрос об измерении объема винных бочек с помощью одного промера их поперечной длины. Интерес математиков сосредотачивался главным образом на общих принципах определения объемов тел вращения с помощью бесконечно малых величин.
Среди таких математиков был итальянский монах Бонавентура Кавальери (1598-1647). Он занимал кафедру математики в Болонском университете. В переписке с астрономом и математиком Г. Галилеем они обсуждали разнообразные механические и математические проблемы, и в частности метод "неделимых". Галилей собирался, но так и не написал книгу об этом методе, зато у Кавальери в 1635 г. вышла книга "Геометрия, изложенная новым способом при помощи неделимых частей непрерывных величин". При вычислении площадей многоугольников бывает полезно преобразовывать фигуры, не меняя их площадей, например, разрезать на части и составлять новые (так называемые равносоставленные фигуры). Так можно преобразовать друг в друга треугольники с равными основаниями и высотами. Можно ли аналогичным образом преобразовывать криволинейные фигуры? Кавальери представляет их себе состоящими из бесконечно тонких параллельных плоских слоев - "неделимых" или "нитей" и утверждает, что площадь не меняется при сдвигах этих слоев друг относительно друга. Иначе, принцип Кавальери состоит в том, что если пересечь фигуру семейством всех прямых, параллельных заданной, то длины пересечений полностью определят площадь фигуры. В частности, если у двух фигур эти длины совпадают, то они равновелики. Строгого обоснования своего принципа Кавальери не дал, но рассмотрел его многочисленные применения. Например, на основе этого принципа легко получается равновеликость треугольников с равными основаниями и высотами.
Одно из самых удивительных применений принципа Кавальери принадлежит французскому математику Ж. Робервалю (1602-1675), который нашел площадь сегмента, ограниченного одной аркой циклоиды.
шар сфера интеграл объем
Еще более эффективен принцип Кавальери при нахождении объемов тел. Он состоит в том, что объем тела определяется площадями его пересечений "всеми плоскостями", параллельными некоторой заданной.
Однако интегральное исчисление содержит общие методы для вычисления площадей и объемов, причем там, где применение принципа Кавальери требовало нестандартных построений, к успеху приводят стандартные вычисления, и постепенно принцип Кавальери отошел в область истории. Но поскольку по принципу Кавальери легко вычисляются все "школьные" объемы и площади, неоднократно предлагалось принять принцип Кавальери в школьной геометрии за аксиому.
Видный советский ученый, историк математики, профессор Д.Д. Мордухай-Болтовский (1876-1952), которому принадлежит самый совершенный русский перевод "Начал" Евклида с обстоятельными комментариями, дал интересный вывод формулы объема шара на основе принципа Кавальери.
Вот это доказательство.
Поместим между двумя параллельными плоскостями полусферу АВС и цилиндр A'B'C'D' (рис.6) с основанием того же радиуса R, что и шар, и с высотой, равной радиусу, с входящим в него конусом C'D'O', который имеет своим основанием верхнее основание цилиндра, а вершиной - центр нижнего основания.
На основании принципа Кавальери мы вправе сделать заключение, что объем шара равен объему тела, получаемого вырезыванием конуса из цилиндра. В самом деле, легко видеть, что круг ab, полученный в сечении сферы плоскостью , равновелик с кольцом a'c'd'b', получаемым в сечении вышеуказанного тела той же самой плоскостью. Действительно, на основании теоремы Пифагора в полусфере
, где , (2.3.1)
и, следовательно, площадь сечения ab равна
; (2.3.2)
с другой стороны, площадь круга а'b'
(2.3.3)
а так как, очевидно, радиус круга c'd' равен k, то площадь круга c'd'
(2.3.4)
Следовательно, площадь кольца a'c'd'b' равна
(2.3.5)
Замечая далее, что объем цилиндра равен , а объем конуса , мы получаем для объема полусферы величину , а для объема всей сферы
(2.3.6)
2.4 Интегральное исчисление. Понятие интеграла
Мы с вами познакомились с принципом Кавальери, который довольно близок к другому методу нахождения объёмов тел - методу интегрирования. Этот метод основывается, как уже можно было догадаться, на интегральном исчислении.
Интегральное исчисление возникло из потребности создать общий метод разыскания площадей, объемов и центров тяжести.
В зародышевой форме такой метод применялся еще Архимедом. Систематическое развитие он получил в 17-м веке в работах Кавальери, Торричелли, Ферма, Паскаля и других ученых. В 1659 г. Барроу установил связь между задачей о разыскании площади и задачей о разыскании касательной. Ньютон и Лейбниц в 70-х годах 17-го века отвлекли эту связь от упомянутых частных геометрических задач. Тем самым была установлена связь между интегральным и дифференциальным исчислением.
Эта связь была использована Ньютоном, Лейбницем и их учениками для развития техники интегрирования. Своего нынешнего состояния методы интегрирования в основном достигли в работах Л. Эйлера. Труды М.В. Остроградского и П.Л. Чебышева завершили развитие этих методов.
С моей точки зрения будет полезно ввести понятие интеграла, так как для рассмотрения такого вопроса, как объём тела, не только шара или сферы, очень часто используется интеграл.
Понятие об интеграле.
Рис. 7
Пусть линия MN (рис.7) дана уравнением надо найти площадь "криволинейной трапеции" aABb.
Разделим отрезок ab на n частей (равных или неравных) и построим ступенчатую фигуру, показанную штриховкой на рис.7. Её площадь равна
(2.4.1)
Если ввести обозначения
(2.4.2)
то формула 1 имеет вид
(2.4.3)
Искомая площадь есть предел суммы (3) при бесконечно большём n. Лейбниц ввел для этого предела обозначение уdx, в котором (курсивное s) - начальная буква слова summa (сумма), а выражение указывает типичную форму отдельных слагаемых.
Выражение Лейбниц стал называть интегралом - от латинского слова integralis - целостный") Фурье усовершенствовал обозначение Лейбница, придав ему вид
(2.4.5)
Здесь явно указаны начальное и конечное значения x. Теперь понятно, что интеграл используется для того, чтобы освободить нас от некоторых громоздких вычислений (порой, как в данном примере, весьма и весьма однообразных, а также требующих огромного внимания, т.к. даже малейшая неточность может повлечь за собой существенные расхождения с правильным ответом), а так же по ряду других причин, углубляться в которые сейчас нет никакого смысла.
2.5 Вычисление объёмов тел с помощью интеграла
Рассмотрим способ вычисления объемов тел, основанный на понятии интеграла, которое известно из курса алгебры и начал анализа.
Рис. 8
Пусть тело Т, объем которого нужно вычислить, заключено между двумя параллельными плоскостями и (рис.8). Введем систему координат так, чтобы ось Ох была перпендикулярна к плоскостям и , и обозначим буквами а и Ь абсциссы точек пересечения оси Ох с этими плоскостями (а<b). Будем считать, что тело таково, что его сечение Ф (х) плоскостью, проходящей через точку с абсциссой х и перпендикулярной к оси Ох, является либо кругом, либо многоугольником для любого (при х = а и х = b сечение может вырождаться в точку, как, например, (при х=а на рисунке 8). Обозначим площадь фигуры Ф (х) через S (х) и предположим, что S (х) - непрерывная функция на числовом отрезке [а; b].
Рис. 9
Разобьем числовой отрезок [а; b] на п равных отрезков точками и через точки с абсциссами проведем плоскости,
перпендикулярные к оси Ох (рис.9). Эти плоскости разбивают тело Т на п тел: Если сечение - круг, то объем тела (заштрихованного на рисунке 9) приближенно равен объему цилиндра с основанием и высотой . Если - многоугольник, то объем тела приближенно равен объему прямой призмы с основанием и высотой . И в том и в другом случае объем тела приближенно равен , а объем V всего тела T можно приближенно вычислить по формуле
(2.5.1)
Приближенное значение объема тела Т тем точнее, чем больше п и, следовательно, меньше . Примем без доказательства, что равен объему тела, т.е. . С другой стороны,
сумма Vn является интегральной суммой для непрерывной функции S (х) на числовом отрезке [а; b], поэтому . Таким образом, мы получили формулу для вычисления объема тела с помощью интеграла:
2.6 Площадь поверхности шара
Здесь даётся очень простой, хотя и не совсем строгий вывод формулы для площади сферической поверхности; по своей идее он очень близок к методам интегрального исчисления. Итак, пусть дан некоторый шар радиуса R. Выделим на его поверхности какую-либо малую область (рис.17) и рассмотрим пирамиду или конус с вершиной в центре шара О, имеющие эту область своим основанием; строго говоря, мы лишь условно говорим о конусе или пирамиде, так как основание не плоское, а сферическое. Но при малых размерах основания по сравнению с радиусом шара оно будет весьма мало отличаться от плоского (так, на пример, при измерении не очень большого земельного участка пренебрегают тем, что он лежит не на плоскости, а на сфере). Тогда, обозначая через площадь этого участка - основание "пирамиды", найдем ее объем как произведение одной трети высоты на площадь основания (высотой служит радиус шара):
Если теперь всю поверхность шара разложить на очень большое число N таких малых областей , тем самым объем шара - на N объемов "пирамид", имеющих эти области своими основаниями, то весь объем представится суммой
,
где последняя сумма равна полной поверхности шара:
.
Итак, объем шара равен одной трети произведения его радиуса на площадь поверхности. Отсюда для площади поверхности имеем формулу
или
Последний результат формулируется так:
Площадь поверхности шара равна учетверенной площади его большого круга.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Определение цилиндра (кругового прямого и наклонного), прямого и усечённого конуса, шара и сферы. Основные формулы по расчету геометрических размеров фигур вращения: радиуса, площади боковой и полной поверхности. Объем шара по Архимеду. Уравнение сферы.
презентация [3,4 M], добавлен 18.04.2013Вычисление вероятности непогашения кредита юридическим и физическим лицом, с помощью формулы Байеса. Расчет выборочной дисперсии, его методика, основные этапы. Определение вероятности выпадания белого шара из трех, взятых наудачу, обоснование результата.
контрольная работа [419,7 K], добавлен 11.02.2014Идеи интегрального исчисления в работах древних математиков. Особенности метода исчерпывания. История нахождения формулы объема тора Кеплера. Теоретическое обоснование принципа интегрального исчисления (принцип Кавальери). Понятие определенного интеграла.
презентация [1,8 M], добавлен 05.07.2016Определение криволинейного интеграла по координатам, его основные свойства и вычисление. Условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. Вычисление площадей фигур с помощью двойного интеграла. Использование формулы Грина.
контрольная работа [257,4 K], добавлен 23.02.2011Сущность понятия "дифференциальное уравнение". Главные этапы математического моделирования. Задачи, приводящие к решению дифференциальных уравнений. Решение задач поиска. Точность маятниковых часов. Решение задачи на определение закона движения шара.
курсовая работа [918,7 K], добавлен 06.12.2013Связь с помощью формулы Грина криволинейного интеграла по замкнутому контуру с двойным интегралом по области, ограниченного этим контуром. Преобразование двойного интеграла по контуру, обходимого в положительном направлении. Доказательство теоремы.
презентация [44,7 K], добавлен 17.09.2013Применение формулы Грина к решению задач. Понятие ротора векторного поля. Вывод формулы Грина из формулы Стокса и ее доказательство. Определение непрерывно дифференцируемых функций. Применение формулы Грина для вычисления криволинейного интеграла.
курсовая работа [2,9 M], добавлен 11.07.2012Открытие формулы австрийским математиком Георгом Пиком в 1899 году. Доказательство Теоремы Пика, последовательность этапов для различных вариантов. Нахождение и расчет площадей четырехугольников в квадратных сантиметрах с использованием данной формулы.
презентация [1,1 M], добавлен 14.04.2013Доказательство тождества с помощью диаграмм Эйлера-Венна. Определение вида логической формулы с помощью таблицы истинности. Рисунок графа G (V, E) с множеством вершин V. Поиск матриц смежности и инцидентности. Определение множества вершин и ребер графа.
контрольная работа [463,0 K], добавлен 17.05.2015Использование формулы Тейлора для разложения основных элементарных функций в степенной ряд. Сущность форм Лагранжа и Пеано, примеры вычисление пределов функций. Особенности использования принципа разложения в ряд на ЭВМ в режиме реального времени.
курсовая работа [107,1 K], добавлен 29.04.2011
