Численные методы решения систем

Размещено на http://www.allbest.ru/

Контрольная работа

по численным методам №1

(18 вариант)

Выполнила

Фатхутдинова Алина,

ПМд - 31

Проверила

Кувайскова Ю. Е.

Задание 1

Вычислите с помощью МК значение величины Z при заданных значениях параметров a, b и с, используя «ручные» расчетные таблицы для пошаговой регистрации результатов вычислений, двумя способами:

1) по правилам подсчета цифр;

2) по методу строгого учета границ абсолютных погрешностей.

Сравните полученные результаты между собой, прокомментируйте различие методов вычислений и смысл полученных числовых значений.

Задание по варианту.

Z = (b - sin a) / (a + 3c);

a = 3,672; b = 4,63; c = 0,278

Решение.

1)

1. При вычислении sin a оценивается значение модуля производной функции. Это значение не превосходит единицы, поэтому верными считаются столько цифр после запятой, сколько их в аргументе функции, то есть в приближенном числе a. Причем в промежуточных вычислениях сохраняется на одну цифру больше, чем требуют правила округления.

sin a = sin 3,672 = -0,50588476… ? -0,5059.

2. При вычитании верными после запятой считаются столько цифр, сколько их в числе с наименьшим количеством знаков после запятой, то есть в числе b.

b - sin a = 4,63 + 0,506 = 5,136.

Аналогично вычисляется

a + 3c = 3,672 + 0,834 = 4,5060.

3. Z = (b - sin a) / (a + 3c) = (5,136) / (4,5060) = 1,139813582…? 1,140

2) Вычисления со строгим учетом предельных абсолютных погрешностей

? a = 0,0005 ? b = 0,005 ? c = 0,0005

1. Вычисляем sin a = sin 3,672 = -0,50588476

Подсчитываем предельную абсолютную погрешность:

|?(sin a)| = |sin a * ?a | = |sin 3,672 * 0,0005| = 0,000252942 ? 0,0003.

Судя по ее величине, в полученном значении в узком смысле верны 3 знака после запятой. Округляем это значение с одной запасной цифрой

sin a ? -0,5059 и вносим в таблицу.

Далее вычисляем полную погрешность полученного результата как погрешность действий плюс погрешность округления:

0,0003 + 0,00001524 = 0,00031524 ? 0,0003.

2. Далее находим b - sin a = 4,63 + 0,506 = 5,136. Погрешность находим по формуле

|?b - ?(sin a)| = 0,005 - 0,0003 = 0,0047 ? 0,005

Судя по ее величине, в полученном значении в узком смысле верны 2 знака после запятой. Это значение с одной запасной цифрой

b - sin a = 4,63 + 0,506 = 5,136.

Вносим в таблицу.

Далее вычисляем полную погрешность полученного результата:

0,005 + 0 = 0,005.

3. Аналогично вычисляем ? 3c и ?(a + 3c) с применением тех же правил.

4. Z = (b - sin a) / (a + 3c) = 1,139813582

? Z = [(b - sin a) * ?(a + 3c) + ?(b - sin a) * (a + 3c)] / (a + 3c)2 =

= [5,136 * 0,001 + 0,005 * 4,5060] / (4,5060)2 =

= 0,027666 / 20,304036 = 0,001362586 ? 0,001363.

Округляя окончательный результат до последней верной в узком смысле цифры, а также округляя погрешность до соответствующих разрядов результата, окончательно получаем Z = 1,140 ± 0,001.

Вывод.

Вычислив значение величины Z двумя способами, мы получили два значения: первым методом Z = 1,140, а вторым Z = 1,140 ± 0,001. Учитывая погрешность вычислений, можно сказать, что наши результаты получились приблизительно равными.

Задание 2.

Преобразуйте систему к виду, необходимому для применения метода Зейделя.

Сделайте три итеративных шага, найдите приближенное решение системы. Оцените погрешность приближенного решения.

Решение.

По заданию дана система:

3,910х1 + 0,129х2 + 0,283х3 + 0,107х4 = 0,395

0,217х1 + 4,691х2 + 0,279х3 + 0,237х4 = 0,432

0,201х1 + 0,372х2 + 2,987х3 + 0,421х4 = 0,127

0,531х1 + 0,196х2 + 0,236х3 + 5,032х4 = 0,458

х1 = 0,101 - 0,033х2 - 0,072х3 -0,027х4

х2 = 0,092 - 0,046х1 - 0,059х3 -0,051х4

х3 = 0,043 - 0,067х1 - 0,125х2 - 0,141х4

х4 = 0,091 - 0,106х1 - 0,039х2 - 0,047х3

функция система решение зейдель

х1 = 0; х2 = 0; х3 = 0; х4 = 0

х1 = 0,101 - 0,033*0 - 0,072*0 - 0,027*0 = 0,101

х2 = 0,092 - 0,046*0,101 - 0,059*0 - 0,051*0 = 0,087

х3 = 0,043 - 0,067*0,101 - 0,125*0,087 - 0,141*0 = 0,025

х4 = 0,091 - 0,106*0,101 - 0,039*0,087 - 0,047*0,025 = 0,076

х1 = 0,101 - 0,033*0,087 - 0,072*0,025 - 0,027*0,076 = 0,068

х2 = 0,092 - 0,046*0,068 - 0,059*0,025 - 0,051*0,076 = 0,084

х3 = 0,043 - 0,067*0,068 - 0,125*0,084 - 0,141*0,076 = 0,017

х4 = 0,091 - 0,106*0,068 - 0,039*0,084 - 0,047*0,017 = 0,08

х1 = 0,101 - 0,033*0,084 - 0,072*0,017 - 0,027*0,08 = 0,095

х2 = 0,092 - 0,046*0,095 - 0,059*0,017 - 0,051*0,08 = 0,083

х3 = 0,043 - 0,067*0,095 - 0,125*0,083 - 0,141*0,08 = 0,015

х4 = 0,091 - 0,106*0,095 - 0,039*0,083 - 0,047*0,015 = 0,077

После трех итерационных шагов получили:

х1 = 0,095; х2 = 0,083; х3 = 0,015; х4 = 0,077;

?х1 = 0,0005; ?х2 = 0,0005; ?х3 = 0,0005; ?х4 = 0,0005.

Вывод.

Проделав три итерационных шага мы получили приближенное решение системы:

х1 = 0,095; х2 = 0,083; х3 = 0,015; х4 = 0,077.

Также нашли абсолютную погрешность для приближенного решения системы:

?х1 = 0,0005; ?х2 = 0,0005; ?х3 = 0,0005; ?х4 = 0,0005.

Размещено на Allbest.ru