Методика вычисления доверительного интервала для небольшого числа испытаний в среде MathCad

Размещено на http://www.allbest.ru/

МЕТОДИКА ВЫЧИСЛЕНИЯ ДОВЕРИТЕЛЬНОГО ИНТЕРВАЛА

ДЛЯ НЕБОЛЬШОГО ЧИСЛА ИСПЫТАНИЙ

В СРЕДЕ В MATHCAD

Воинова А.В., Курилова Е.И., Штин О.А.

Большое число измерений, проводимых в технике и на производстве, осуществляется с некоторой погрешностью, иной раз с ошибками, а провести бесконечное число измерений для получения верного результата в реальной жизни невозможно, поэтому важно дать объективное представление результатов ограниченного числа измерений, с этой целью мы проводим свою исследовательскую работу.

Цель нашей исследовательской работы - разработка методики получения наиболее точного значения исследуемой характеристики. Как известно, доверительный интервал позволяет с определенной точностью получить распределение параметра, что дает хорошее представление об исследуемом объекте. Это потребовало от нас изучения большого числа литературных источников по указанной теме.

В источниках по теории вероятности и матстатистике вопрос о вычислении доверительного интервала рассматривается по-отдельности для случаев числа испытаний больше 30 и меньше 30.

На практике мы всегда имеем дело с ограниченным числом измерений, и задача, которая всегда стоит перед исследователем, состоит в том, как оценить точность измерений, т.е. найти его меру приближения к истинному значению на основании группы результатов наблюдений.

В частности, в работах «Статистические методы обработки данных» (лабораторный практикум) авторов В.С. Муха и Т.В. Слуяновой, «Теория вероятностей и математическая статистика» (конспект лекций) авторов А.И. Волковец и А.Б. Гуринович, «Математические методы обработки экспериментальных данных» авторов С.Н. Кункина, П.А. Кузнецова, В.Н. Вострова, А.Г. Рябинина, а также других источниках, кроме точечной оценки, которая определяется одним числом, рассматривают интервальную оценку.

При выборке малого объема и точечная, и интервальная оценки могут приводить к грубым ошибкам, что вызвано различными причинами, в частности, ошибками экспериментатора (в том числе измерительной аппаратуры) или неправильной методикой проведения эксперимента. Именно по этой причине при небольшом объеме выборки следует пользоваться интервальными оценками.

Интервальные оценки параметров распределений.

По определению В.Е. Гмурмана (В.Е. Гмурман «Теория вероятностей и математическая статистика»), «интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами - концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр». Интервальные оценки позволяют установить точность и надежность оценок.

Этот вопрос рассматривается В.Е. Гмурманом следующим образом:

1. Интервальной оценкой (с надежностью ) математического ожидания а нормально распределенного количественного признака X по выборочной средней при известном среднем квадратическом отклонении генеральной совокупности служит доверительный интервал

,

где - точность оценки,

n - объем выборки,

t - значение аргумента функции Лапласа Ф(t) (обычно табулируется, соответствующая таблица содержится в приложениях), при котором ; при неизвестном а (и объёме выборки n < 30).

,

где s - «исправленное» выборочное среднее квадратическое отклонение,

находят по таблице, которое также обычно содержится в приложениях, по заданным n и .

2. Интервальной оценкой (с надежностью ) среднего квадратического отклонения нормально распределенного количественного признака X по «исправленному» выборочному среднему квадратическому отклонению s служит доверительный интервал

(при q<1),

(при q > 1),

где q находят по таблице соответствующего приложения по заданным n и .

3. Интервальной оценкой (с надежностью ) неизвестной вероятности р биномиального распределения по относительной частоте w служит доверительный интервал (с приближенными концами p₁ и р₂)

p₁ < р < р₂

где

где n - общее число испытаний;

m - число появлений события;

w - относительная частота, равная отношению m/n;

t - значение аргумента функции Лапласа, при котором Ф(t) = /2 ( - заданная надежность).

Замечание. При больших значениях n (порядка сотен) можно принять в качестве приближенных границ доверительного интервала

В работе «Математические методы обработки экспериментальных данных» авторов С.Н. Кункина, П.А. Кузнецова, В.Н. Вострова, А.Г. Рябинина говорится, что при проведении измерений случайной величины важно установить величину доверительного интервала по данному числу измерений. Доверительный интервал нужен для установления границ приближенного оценивания случайного параметра, случайный характер которого обусловлен рядом неучтенных факторов, влияющих на его значение.

Доверительным интервалом для некоторого параметра и называется интервал накрывающий параметр и с доверительной вероятностью г :

.

Задача получения интервальной оценки параметра распределения заключается в определении по выборке нижней и верхней границ интервала . Доверительная вероятность г выбирается близкой к 1 из набора чисел {0,9; 0,95; 0,975}.

Для придания задаче однозначности уравнение выше представляют в виде двух уравнений

где (В.С. Муха и Т.В. Слуянова).

Аналогично этот вопрос рассматривают авторы А.И. Волковец и А.Б. Гуринович.

По нашему мнению в работах указанных выше авторов, а также Гмурмана В.Е., для малого количества испытаний не учитываются грубые ошибки-промахи, на которые обращено внимание в работе «Математические методы обработки экспериментальных данных» авторов С.Н. Кункина, П.А. Кузнецова, В.Н. Вострова, А.Г. Рябинина.

Изучение всей генеральной совокупности во многих случаях либо невозможно, либо нецелесообразно в силу больших материальных затрат, поэтому на практике часто приходится иметь дело с выборками небольшого объема п<10-20. В этом случае используемый обычно метод построения интервальной оценки для генеральной средней (среднего арифметического генеральной совокупности) и генеральной доли (доли элементов, обладающих необходимым признаком) неприменим в силу двух обстоятельств:

1) необоснованным становится вывод о нормальном законе распределения выборочных средней и доли w, так как он основан на центральной предельной теореме при больших п;

2) необоснованной становится замена неизвестных генеральной дисперсии у² и доли р их точечными оценками (или ) или w, так как в силу закона больших чисел (состоятельности оценок) эта замена возможна лишь при больших п.

интервальный оценка доверительный интервал mathcad

Решение задачи

1. Теория

Выберем вероятность накрытия - б , тогда можно записать на основании теории вероятностей

,

где под е понимается точность накрытия, а доверительный интервал запишется

,

где - выборочная оценка.

Если случайная величина подчиняется нормальному закону распределения, то при большом числе повторных измерений (не менее 30) вероятность отклонения вычисляется как удвоенная функция Лапласа.

Если имеет место более типичный случай малого числа измерений (n < 30), тогда в соответствии с распределением Стьюдента доверительный интервал определяется по формуле:

,

где t - параметр распределения Стьюдента, определяемый из соответствующей таблицы, приводимой практически в каждом учебном издании по теории вероятностей и матстатистике (к примеру, Приложение 3. Таблица значений . В.Е. Гмурман. «Теория вероятностей и математическая статистика»).

2. Выявление и исключение промахов из серии измерений

Если серия из небольшого количества опытов содержит грубую ошибку-промах, то среднее значение измеряемой величины и границы доверительного интервала могут сильно искажать реальные величины измеряемого параметра. Промахи нужно исключать из числа наблюдений.

Если в выборке есть значение, подозреваемое как промах, то следует провести анализ условий проведения эксперимента. Если в методике проведения опытов ошибки не обнаружено, то проводится статистический анализ подозреваемого значения.

Выявление ошибочных опытных данных осуществляется по критерию Груббса и выполняется в следующем порядке:

1. По результатам опытов определяем стандартное отклонение (среднеквадратичное отклонение) по формуле

2.

.

2. Рассматриваем переменную И:

,

которая в случае или называется критерием совместимости. Предельные значения И зависят от числа опытов n и заданной надежности р. В следующей таблице (таблица 1) представлены значения И_кр.. для доверительной вероятности р = 0,95.

3. Если И > И_кр., то х_{i max} следует отбросить, как опыт, содержащий грубую ошибку.

Таблица 1 - Значения И_кр

3. Практическое применение метода

Оценить доверительный интервал - средней толщины плоских деталей из листового материала по данным измерений, приведенных в таблице при доверительной вероятности 0,95.

Решение:

n = 6; б = 0,95 ; t =2.57.

.

.

, .

Вычисляем И для различных значений (минимального и максимального) случайной величины.

И = |2,38-2,677|/0,553 = 0,537 для минимального значения,

И = |3,80-2,677|/0,553 = 2,03 для максимального значения.

Из указанной выше таблицы 1 для n = 6 и б = 0,95 выбираем

И_кр. = 2,00.

Очевидно, что для минимального значения критерий совместимости выполняется, для максимального - не имеет места. Поэтому считаем величину 3,80 грубой ошибкой-промахом, которую отбрасываем и производим все вычисления заново с 5-ю значениями. n = 5; б = 0,95 ; t =2,78.

.

.

, .

Вычисляем И для различных значений (минимального и максимального) случайной величины.

И = |2,38-2,452|/0,063 = 1,151 для минимального значения,

И = |2,53-2,452|/0,063 = 1,248 для максимального значения.

Из указанной выше таблицы 1 для n = 5 и б = 0,95 выбираем

И_кр. = 1,87.

Очевидно, что для минимального и максимального значений критерий совместимости имеет место, поэтому все значения верны. Рассчитаем .

.

Следовательно, доверительный интервал запишется [2,452 ± 0,078].

4. Решение задачи в математическом редакторе MathCad

Замечание. При вычислении некоторых числовых характеристик случайной величины с правой стороны приведены расчёты в виде соответствующих математических формул, подтверждающих правильность применяемых операций математической статистики.

Выводы по работе

В настоящем исследовании нами были изучены литературные источники по теме работы, выявлены общие положения и различия в работах различных исследователей (авторов). По результатам анализа указанных источников сделаны выводы о применимости каждого исследования в своих рамках. Так как в исследовании нами рассматривался вопрос небольшого количества испытаний (наблюдений), то применительно к нему были подобраны соответствующие положения и формулы. Решён пример на языке теории вероятностей и математической статистики, затем перенесён в математическую среду MathCad. Результаты совпадают, что говорит о правильности применяемой методики расчёта доверительного интервала. Приведённое решение можно совершенствовать, в частности, расчёт коэффициента Стьюдента и критерия совместимости можно автоматизировать.

Размещено на Allbest.ru