Вычисление определенного интеграла методом правых прямоугольников

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Задача численного интегрирования функций

Метод прямоугольников

Дополнительный член в формуле прямоугольников

Примеры

Программа вычисления по методу правых прямоугольников

Заключение

Список литературы



Задача численного интегрирования функций

Задача численного интегрирования функций заключается в вычислении приближенного значения определенного интеграла:

, (1)

на основе ряда значений подынтегральной функции .{ f(x) |x=xk = f(xk) = yk}.

Формулы численного вычисления однократного интеграла называются квадратурными формулами, двойного и более кратного - кубатурными.

Обычный прием построения квадратурных формул состоит в замене подынтегральной функции f(x) на отрезке [a,b] интерполирующей или аппроксимирующей функцией g(x) сравнительно простого вида, например, полиномом, с последующим аналитическим интегрированием. Это приводит к представлению

В пренебрежении остаточным членом R[f] получаем приближенную формулу

Обозначим через yi = f(xi) значение подинтегральной функции в различных точках на [a,b]. Квадратурные формулы являются формулами замкнутого типа, если x0=a , xn=b.

В качестве приближенной функции g(x) рассмотрим интерполяционный полином на в форме полинома Лагранжа:

,

,

при этом , где - остаточный член интерполяционной формулы Лагранжа.

Формула (1) дает

, (2)

. (3)

В формуле (2) величины {} называются узлами, {} - весами, - погрешностью квадратурной формулы. Если веса {} квадратурной формулы вычислены по формуле (3), то соответствующую квадратурную формулу называют квадратурной формулой интерполяционного типа.

Подведем итог.

1. Веса {} квадратурной формулы (2) при заданном расположении узлов не зависят от вида подынтегральной функции.

2. В квадратурных формулах интерполяционного типа остаточный член Rn[f] может быть представлен в виде значения конкретного дифференциального оператора на функции f(x). Для

.

3. Для полиномов до порядка n включительно квадратурная формула (2) точна, т.е. . Наивысшая степень полинома, для которого квадратурная формула точна, называется степенью квадратурной формулы.

Рассмотрим частные случаи формул (2) и (3): метод прямоугольников, трапеций, парабол (метод Симпсона). Названия этих методов обусловлены геометрической интерпретацией соответствующих формул.

интеграл прямоугольник

Метод прямоугольников

Определенный интеграл функции от функции f(x): численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной кривыми у=0, x=a, x=b, y=f(x) (рисунок. 1).

Рис. 1 Площадь под кривой y=f(x)

Для вычисления этой площади весь интервал интегрирования [a,b] разбивается на n равных подинтервалов длины h=(b-a)/n. Площадь под подынтегральной кривой приближенно заменяется на сумму площадей прямоугольников, как это показано на рисунке (2).

Рис. 2 Площадь под кривой y=f(x) аппроксимируется суммой площадей прямоугольников

Сумма площадей всех прямоугольников вычисляется по формуле

,(4)

Метод, представленный формулой (4), называется методом левых прямоугольников, а метод, представленный формулой(5) - методом правых прямоугольников:

(5)

Погрешность вычисления интеграла определяется величиной шага интегрирования h. Чем меньше шаг интегрирования, тем точнее интегральная сумма S аппроксимирует значение интеграла I. Исходя из этого строится алгоритм для вычисления интеграла с заданной точностью. Считается, что интегральная сумма S представляет значение интеграла I c точностью eps, если разница по абсолютной величине между интегральными суммами и , вычисленными с шагом h и h/2 соответственно, не превышает eps.

Дополнительный член в формуле прямоугольников

Перейдём к отысканию дополнительного члена в формуле прямоугольников.

Справедливо следующее утверждение:

Утверждение. Если функция f(x) имеет на сегменте [a, b] непрерывную вторую производную, то на этом сегменте найдётся такая точка

, что дополнительный член R в формуле (1) равен

(2)

Доказательство.

Оценим , считая, что функция f(x) имеет на сегменте [-h, h] непрерывную вторую производную Для этого подвергнем двукратному интегрированию по частям каждый из следующих двух интегралов:

Для первого из этих интегралов получим

Для второго из интегралов аналогично получим

Полусумма полученных для и выражений приводит к следующей формуле:

(3)

Оценим величину , применяя к интегралам и формулу среднего значения и учитывая неотрицательность функций и . Мы получим, что найдутся точка на сегменте [-h, 0] и точка на сегменте

[0 ,h] такие, что

В силу доказанного замечания на сегменте [-h, h] найдётся точка такая, что

Поэтому для полусуммы мы получим следующее выражение:

Подставляя это выражение в равенство (3), получим, что



(4)

. (5)

Так как величина представляет собой площадь некоторого прямоугольника с основанием (рис.1), то формулы (4) и (5) доказывают, что ошибка, совершаемая при замене указанной площадью, имеет порядок

Таким образом, формула тем точнее, чем меньше h. Поэтому для вычисления интеграла естественно представить это интеграл в виде суммы достаточно большого числа n интегралов

И к каждому из указанных интегралов применить формулу (4). Учитывая при этом, что длина сегмента равна , мы получим формулу прямоугольников (1), в которой

Здесь . Мы воспользовались формулой, доказанной в утверждении, для функции



Примеры

Пример вычисления определённого интеграла по формуле правых прямоугольников. Вычислите приближенное значение определенного интеграла

методам правых прямоугольников с точностью до одной сотой.

Решение.

По условию имеем a = 1, b = 2, .

Чтобы применить формулы правых прямоугольников нам необходимо знать шаг h, а чтобы вычислить шаг h необходимо знать на какое число отрезков n разбивать отрезок интегрирования. Так как в условии задачи нам указана точность вычисления 0.01, то число n мы можем найти из оценки абсолютной погрешности методов правых прямоугольников.

Нам известно, что

.

Следовательно, если найти n, для которого будет выполняться неравенство

,

то будет достигнута требуемая степень точности.

Найдем - наибольшее значение модуля первой производной подынтегральной функции на отрезке [1]. В нашем примере это сделать достаточно просто.

Это есть парабола, ветви которой направлены вниз, на отрезке [1] ее график монотонно убывает. Поэтому достаточно вычислить модули значения производной на концах отрезка и выбрать наибольшее:

В примерах со сложными подынтегральными функциями Вам может потребоваться теория раздела наибольшее и наименьшее значение функции.

Таким образом:

Число n не может быть дробным (так как n - натуральное число - количество отрезков разбиения интервала интегрирования). Поэтому, для достижения точности 0.01 по методу правых прямоугольников, мы можем брать любое n = 9, 10, 11, … Для удобства расчетов возьмем n = 10.

Формула правых прямоугольников имеет вид



.

Для ее применения нам требуется найти h и для n = 10.

Итак,

Точки разбиения отрезка [a; b] определяются как .

имеем .

И так далее до i = 10.

Полученные результаты удобно представлять в виде таблицы.

Подставляем в формулу правых прямоугольников:

Вычислим точное значение определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница:



Очевидно, точность в одну сотую соблюдена.

Пример вычисление определенного интеграла по формуле правых прямоугольников в программе Excel. Формула правых прямоугольников.

В общем виде формула правых прямоугольников на отрезке [x0;xn] выглядит следующим образом.

В данной формуле x0=a, xn=b

h h можно вычислить по следующей формуле: h=(b-a)/n

y1, y2,..., yn - это значения соответствующей функции f(x) в точках x1, x2,..., xn (xi=xi-1+h).

Вычислить интеграл по формуле правых прямоугольников при n=10, используя программу Excel.

Для того, чтобы вычислить интеграл по формуле правых прямоугольников в Excel, необходимо выполнить следующие действия:

1. В ячейку С6 ввести текст y1,…,yn.

2. Ввести в ячейку С8 формулу =КОРЕНЬ(B8^4-B8^3+8), скопировать эту формулу методом протягивания в диапазон ячеек С9:С17

3. Ввести в ячейку С18 формулу =СУММ(D7:D17).

4. Ввести в ячейку С19 формулу =B4*D18.

5. Ввести в ячейку С20 текст правых.

В итоге получается следующее:

Ответ: значение заданного интеграла равно 14,45905.

Программа вычисления по методу правых прямоугольников

Program pravii; {Метод правых прямоугольников}

uses crt;

var i,n:integer; a,b,h,x,xb,s:real;

function f(x:real):real;

begin f:=(1/x)*sin(3.14*x/2); end;

begin

clrscr;

write('Введите нижний предел интегрирования '); readln(a);

write('Введите верхний предел интегрирования '); readln(b);

write('Введите количество отрезков '); readln(n);

h:=(b-a)/n; s:=0; xb:=a;

for i:=1 to n do

begin x:=xb+i*h; s:=s+f(x)*h; end;

writeln('Интеграл равен ',s:12:10); readln;

end.

a=1 b=2 n=10 S=18,05455

a=1 b=2 n=20 S=18,55555

a=1 b=2 n=100 S= 18,2734



Заключение

Изложенный выше метод вычисления определенных интегралов содержит четко сформулированный алгоритм для проведения вычислений. Другой особенностью изложенного метода является стереотипность тех вычислительных операций, которые приходится производить на каждом отдельном шаге. Эти две особенности обеспечивают широкое применение изложенного метода для проведения вычислений на современных быстродействующих вычислительных машинах.

Выше для приближенного вычисления интеграла от функции f(x) мы исходили из разбиения основного сегмента [a, b] на достаточно большое число n равных частичных сегментов одинаковой длины h и из последующей замены функции f(x) на каждом частичном сегменте многочленом соответственно нулевого, первого или второго порядка.

Погрешность, возникающая при таком подходе, никак не учитывает индивидуальных свойств функции f(x). Поэтому, естественно, возникает идея о варьировании точек разбиения основного сегмента [a, b] на n, вообще говоря, не равных друг другу частичных сегментов, которое обеспечивало бы минимальную величину погрешности данной приближённой формулы.



Список литературы

1. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления в 3-х томах, том II.

2. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа, часть I. Москва «Наука», 1982г.

Размещено на Allbest.ru