Размещено на http://www.allbest.ru/

Понятие множеств в дискретной математике

Введение

Общество 21 в. - общество информационное. Центр тяжести в решении задач переместился от задач вычислительной математики к задачам на дискретных структурах. Математика нужна не как метод расчета, а как метод мышлению средство формирования и организации…

Такое владение математикой богатой культуры, понимание важности точных формулировок.

В дисциплине мало методов, но много определений и терминов. В основе дискретной математике 4 раздела:

Язык дискретной математики;

Логические функции и автоматы;

Теория алгоритмов;

Графы и дискретные экстремальные задачи.

Теория алгоритмов и формальных систем является центральной в дисциплине. В настоящие время от нее возникли ответвления, например, разработка алгоритмических языков программирования.

Одной из важнейших проблем в дискретной математики является проблема сложности вычислений.

Теория сложности вычислений помогает оценить расход времени и памяти при решении задач на ЭВМ. Теория сложности позволяет выделить объективно сложные задачи (задачи перебора) и неразрешимые задачи.

Мы будем заниматься решением задач реальной размерности с учетом ограниченности временных и емкостных ресурсов ЭВМ.

1. Множества и операции над ними

Одно из основных понятий математики - множество.

Определение:

Множеством называется совокупность, набор предметов, объектов или элементов.

Множество обозначают: M, N ….

m₁, m₂, m_n - элементы множества.

Символика

A M - принадлежность элемента к множеству;

А М - непринадлежность элемента к множеству.

Примеры числовых множеств:

1,2,3,… множество натуральных чисел N;

…, - 2, - 1,0,1,2,… - множество целых чисел Z.

множество рациональных чисел а.

I - множество иррациональных чисел.

R - множество действительных чисел.

K - множество комплексных чисел.

Множество А называется подмножеством В, если всякий элемент А является элементом В.

А В-А подмножество В (нестрогое включение)

Множества А и В равны, если их элементы совпадают.

A = B

Если А В и А В то А В (строгое включение).

Множества бывают конечные и бесконечные.

|М| - мощность множества (число его элементов).

Конечное множество имеет конечное количество элементов.

Пустое множество не содержит элементов: M = .

Пример: пустое множество:

1) множество действительных корней уравнения x²+1=0 пустое: M = .

2) множество , сумма углов которого 180⁰ пустое: M = .

Если дано множество Е и множество и мы рассматриваем все его подмножества, то множество Е называется униварсельным.

Пример: Если за Е взять множество книг то его подмножества: художественные книги, книги по математике, физики, физики…

Если универсальное множество состоит из n элементов, то число подмножеств = 2ⁿ.

Если , состоящее из элементов E, не принадлежащих А, называется дополненным.

Множество можно задать:

Списком элементов {a, b, c, d, e};

Интервалом 1<x<5;

Порождающей процедурой: x_k=k sinx=0;

2. Операции над множествами

Объединение множеств А и В (союз или). Множество, состоящие из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В называется объединенным.

А В

Отношение множеств наглядно иллюстрируется с помощью диаграмм Венна.

Диаграмма Венна - это замкнутая линия, внутри которой расположены элементы множества.

Объединение двух множествОбъединение системы множеств можно записать

- объединение системы n множеств.

Пересечение прямой и плоскости

если прямые || пл., то множество пересечений - единственная точка;

если прямые II пл., то M ;

если прямые совпадают, то множество пересечений = множество прямой.

Пересечение системы множеств:

Разностью 2-х множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов А, не входящих в В.

A = {a, b, d}; B = {b, c, d, h} C = A \ B={a}.

В отличии от предыдущих операций разность: 1) строго двухместна;

2) не коммутативна, т.е. A\B B\A.

4) дополнение

E - универсальное множество.

- дополнение

Операции объединения, пересечения и дополнения называются Булевыми.

3. Основные законы операций над множествами

Некоторые свойства , похожи на алгебраические операции, однако многие свойства операций над множествами все же отличаются.

Основные свойства

AUB=BUA; AB=BA - переместительный закон объединения и пересечения.

(АUB) UC = AU(BUC); (AB)C=A(BC) - сочетательный закон.

АU=A, A=, A \ =A, A \ A=

1,2,3 - есть аналог в алгебре.

3.а) \ A = - нет аналога.

; E \ A =; A \ E=; AUA=A; AA=A; AUE=E; AE=A;

5.а) свойства 1-4 очевидны и не нуждаются в доказательствах.

A(BUC)=(AB) (AC) - есть аналогичный распределительный закон относительно U.

4. Прямые произведения и функции

Прямым декартовым «х» множеством А и В называется множество всех пар (a; b), таких, что аА, bB.

С=AхВ, если А=В то С=А².

Прямыми «х» n множеств A₁x,…, xA_n называется множество векторов (a₁,… a_n) таких, что a₁A₁,…, A_nA_n.

Через теорию множеств введем понятие функции.

Подмножество FM_x x M_y называется функцией, если для каждого элемента хM_x найдется yМ_у не более одного.

(x; y)F, y=F(x).

Определение: Между множествами M_X и M_Y установлено взаимноодназночное соответствие, если каждому хM_X соответствует 1 элемент yM_Y и обратное справедливо.

Пусть даны две функции f: AB и g: BC, то функция y:AC называется композицией функций f и g.

Y=f o g o - композиция.

Способы задания функций:

таблицы, определены для конечных множеств;

формула;

графики;

Способы 1-3 частные случаи выч. процедуры.

Пример процедуры, не относящейся к 3 способам задания функций n!

Взаимнооднозначное соответствие и мощности множеств.

Определение: Множества равномощны |A|=|B| если между ними взаимнооднозначное соответствие.

Теорема: Если для конечного множества А мощность равна |A| то количество всех подмножеств 2^|A|=2ⁿ.

Множества равномощные N называются счетными, т.е. в них можно выполнить нумерацию элементов. N - множество натуральных чисел.

Множество N² - счетно.

Доказательство

Разобьем N² на классы

Ко 2-му классу N₂ {(1; 2), (2; 1)}

К i-му классу N_i {(a; b)| (a+b=i+1)

Каждый класс будет содержать i пар.

Упорядоченный классы по возрастанию индекса i, а пары внутри класса упорядоченные по направлению первого элемента а.

Занумеруем последовательность классов, что и доказывает счетность множества N².

Аналогично доказывается счетность множеств N³,…, N^k.

Теорема Кантора:

Множество всех действительных чисел на отрезке [0; 1] не является счетным.

Доказательство

Допустим это множество счетно изобразим его числа десятичными дробями.

1-я 0, a₁₁, a₁₂ ….

2-я 0, а₂₁, a₂₂ ….

………………….

Возьмем произвольное число 0, b₁, b₂, b₃

b₁ a₁₁, b₂ a₂₂, …

Эта дробь не может выйти в последовательность т.к. отличается от всех чисел, значит нельзя пронумеровать числа на отрезке [0; 1].

Множество нечетно и называется континуальным, а его мощность континуум.

Метод, используемый при доказательстве, называется диагональным методом Кантора.

Отношение

Пусть дано RMⁿ - n местное отношение на множество М.

Будем изучать двухместные или бинарные отношения. Если а и b находятся в отношении R, то записывается а R b.

Проведем отношение на множество N:

А) отношение выполняется для пар (7,9) (7,7_

Б) (9,7) не выполняется.

Пример отношения на множество R

А) отношение находится на одинаковом расстоянии от начала координат выполняется для пар (3; 4) и (2; 21)

Б) (3; 4) и (1; 6) не выполняется.

Для задания бинарных отношений можно использовать любые способы задания множеств.

Для конечных множеств используют матричный способ задания множеств.

Матрица бинарного отношения на множество M={1; 2; 3; 4}, тогда матрица отношения С равна

множество операция кантор матричный

С=		1	2	3	4
	1	1	1	1	1
	2	0	1	1	1
	3	0	0	1	1
	4	0	0	0	1

Отношение Е заданные единичной матрицей называется отношением равенства.

Отношением назовется обратным к отношением R, если a_jR_ai тогда и только тогда, когда a_jR_ai обозначают R^-1.

Свойства отношений

1. Если aRa ==> очн. рефлексивное и матрица содержит на главной диагонали единицу

если ни для какого а не … ==> отношение антирефлексивное

главная диагональ содержит нули

Пр. отношений

рефлексивное

< антирефлексивное

2. Если из aRb следует bRa, ==> отношение R симметричное. В матрице отношения элементы сумм C_ij=C_ji. Если из aRb и bRa следует a=b ==> отношение R - антисимметричное.

Пр. Если а b и b a ==> a=b

3. Если дано a, b, c из aRb и aRc следует aRC ==> отношение называемое транзитивным.

4. Отношение называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Пр. отношение равенства E

5. Отношение называется отношением нестрогого порядка, если оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно. Отношение называется отношением строгого порядка, если оно антирефлексивно, антисимметрично и транзитивно.

Пр. а) отношение u для чисел отношение нестрогого

б) отношение < u > для чисел отношение строгого

Размещено на Allbest.ru