Практическое применение теорем о площадях простейших многоугольников

Размещено на http://www.allbest.ru/

ВВЕДЕНИЕ

Уже с первых шагов своего развития человек, а особенно современный человек, сталкивается со всевозможными геометрическими объектами - фигурами и телами. Понятие площади нам известно из повседневного опыта. Каждый понимает смысл слов: площадь комнаты равна шестнадцати квадратным метрам, площадь садового участка - восьми соткам и так далее.

Измерение площадей считают одним из самых древних разделов геометрии; в частности название “геометрия” (т.е. “землемерие”) связывают именно с измерением площадей. Согласно легенде, эта наука возникла в Древнем Египте, где после каждого разлива Нила приходилось заново производить разметку участков, покрытых плодоносным илом, и вычисление их площадей

В моем реферате мы рассмотрим вопрос о площадях многоугольников.

Можно сказать, что площадь многоугольника - это величина той части плоскости, которую занимает многоугольник. Измерение площадей проводится с помощью выбранной единицы измерения аналогично измерению отрезков длин отрезков. За единицу измерения площадей принимают квадрат, сторона которого равна единице измерения отрезков.

Цель моей работы совершенствоваться в решении задач на применение теорем о площадях простейших многоугольников.

Для этого необходимо:

1) Повторить основные теоремы.

2) Изучить новые теоремы, которые не рассматриваются в школьном курсе.

3) Пополнить свои знания по теме «Площади простейших многоугольников».

ГЛАВА 1.ПОНЯТИЕ ПЛОЩАДИ МНОГОУГОЛЬНИКА

1.1 Практическое измерение площадей многоугольников

Практическое измерение площадей многоугольников производится аналогично изменению длин отрезков. За единицу измерения площадей принимается квадрат, сторона которого равна единице измерения отрезков. Площадь этого квадрата считается равной единице. Измерить площадь многоугольника - значит узнать, сколько раз единица измерения и ее части укладываются в данном многоугольнике, - это число и принимается за его площадь.

Практически измерение площади многоугольника можно осуществить так.

Расчертим лист бумаги на квадраты со стороной, равной единице измерения отрезков и наложим на него данный многоугольник. Пусть m - число квадратов, полностью покрытых многоугольником, а n - число квадратов, покрытых многоугольником лишь частично.

Число S, выражающее площадь многоугольника , заключено , таким образом , между числами

S₁ = m и S₁^,=m + n:

S₁ ? S ? S₁^,

Каждое из чисел S₁ и S₁^, может, рассматривается как приближенное значение числа S(S₁ - с недостатком , S₁^, - с избытком).

Для более точного измерения площади многоугольника разобьем каждый из n частично покрытых квадратов на 100 равных квадратиков. Ясно, что площадь каждого из них равна . Пусть m1 - число квадратиков, полностью покрытых с нашим многоугольником , n1 - число частично покрытых квадратиков. Очевидно m1 + n1 ? 100n . теперь можно сказать число S заключено между числами S₂= m + и S₂^, = m +, т.е. S₂ ? S ? S₂^, при этом очевидно S₂ больше или равно S₁ . с другой стороны, поскольку m1 + n1 ? 100n , то ? n, и поэтому S₂ ? S₁.

Разобьем теперь каждый из n₁ частично покрытых квадратиков на 100 еще маленьких равных квадратов и повторим наши рассуждения. В результате получим новые неравенства : S₁ ?S ? S₃ причем S₃^, ? S2, а S₃ ? S₂^,. Вновь повторим аналогичные рассуждения и т.д. При этом будут получаться все новые и новые неравенства вида SS S^/_{R ,} S₁S₂ …S_R, S^/₁ S^/₂ …S^/_R , причем разность S^/_R-S_R с увеличением k будет, приближается к нулю. Это следует из того что разность равна площади фигуры, составляющей из квадратиков и покрывающей ломаную, ограничивающею многоугольник (на рисунке многоугольник представлен в увеличенном масштабе).

С увеличением k эта фигура все ближе и ближе сжимается к ломаной и поэтому ее площадь приближается к нулю . следовательно , числа S_R и S^/_R^, будут, приближается к S. В этом и состоит процесс измерения площади многоугольника, позволяющей найти приближенное значение S с произвольной точностью.

1.2 Равенство многоугольников с равными площадями

Рассмотрим два разных многоугольника и докажем, что их площади равны. Совместим многоугольники наложением и измерим их площади одновременно - результат естественно получится один и тот же. Равные многоугольники имеют равные площади.

1.3 Составляющие площадь многоугольника

Eсли многоугольник составлен из двух многоугольников то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников из этого следует что если многоугольник разбит на несколько многоугольников то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.

На основе свойств этих можно вывести все формулы, выражающие площади многоугольников через их элементы.

1.4 Равновеликие многоугольники

Два многоугольника называются равновеликими, если их площади равны. Примером равновеликих многоугольников может быть (согласно свойству 1) любые главные многоугольники. Обратное утверждение конечно не верно: равновеликие многоугольники могут быть неравными.

В силу свойства 2 два равносоставленных многоугольника равновелики. А верно ли обратное утверждение: любые два равновеликих многоугольника равноставленны? оказывается верно. Это утверждения называется теоремой Бойяи - Гервина. Венгерский математик доказал эту теорему в 1832 ,а Гервин - немецкий математик любитель - независимо от Бойяи доказал ее в 1833 г. Из этой теоремы частично следует, что любой многоугольник можно разрезать на такие части из которых можно составить равновеликий этому многоугольнику квадрат.

Глава 2. ПЛОЩАДИ ПРОСТЕЙШИХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ

2.1 Площадь треугольника

Теорема: Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.

Доказательство. Пусть S - площадь треугольника ABC . примем сторону AB за основание треугольника и проведем высоту CH. Докажем что S = 1/2AB * CH .

Достроим треугольник ABC до параллелограмма ABCD так как показано на рисунке . треугольники ABC и DCB равны по трем сторонам , поэтому их стороны равны .следовательно , площадь S треугольника ABC равна половине площади параллелограмма ABCD , т.е S= Ѕ AB * CH. Теорема доказана.

2.1.1 Теорема о точке пересечения медиан

Теорема: Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2/1, считая от вершины.

Доказательство. Обозначим буквой O точку пересечения двух медиан AA₁ и SS₁ треугольника ABC. Согласно задаче 4 S_abo = S_aco=S_cbo, поэтому S_abo = S_cbo. Из этого равенства согласно той же задаче следует, что точка O лежит на медиане, проведенной из вершины B. итак, три медианы треугольника пересекаются в точке О.

Докажем что АО: ОА1 = 2:1 . так как S_abo = S_cbo = S_a1bo + S_a1co = 2S_a1bo и треугольники ABO и A₁BO имеют общею высоту, проведенную из вершины B , то их основания АО и ОА₁ относятся как 2:1. Это означает, что точка О пересечения медиан делит медиану АА₁ в отношении 2:1, считая от вершины треугольника. Теорема доказана.

2.1.2 Треугольники, имеющие по равному углу

Теорем:. Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника , то площади этих треугольников относятся как произведения сторон , заключающих равные углы

2.1.3 Свойство средней линии треугольника

Теорема: Средняя линия треугольника параллельна одной из сторон и равна половине этой стороне.

Дано: ?ABC, ?A₁B₁C₁, В₁С₁ -

средняя линия.

Доказать: В₁С₁ ll ВС.

Доказательство. Пусть А1, В1, С1, - середины сторон ВС, АС, и АВ треугольника АВС . Треугольники АВС и АВ₁С₁ имеют общий угол А, поэтому их площади относятся как :

. Но AB₁=,AC₁₌.

Следовательно,

S_A1B1C1 = S_ABC.

Треугольники СА₁В₁ и ВА₁С₁ имеют равные основания ( СА₁ = А₁В) и равные площади, поэтому их высоты равны. Следовательно , средняя линия В₁С₁ параллельна ВС. Из этого следует , что такую же высоту , проведенною из вершины А₁ , имеет и треугольник А₁В₁С₁ . На площади треугольников А₁В₁С₁ и А₁В₁С равны. Значит, основания этих трех треугольников так же равны. Теорема доказана.

2.2 Площадь параллелограмма

Теорема: Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

Дано: ABCD - параллелограмм, ВН, СK - высоты.

Доказать: S = AD * BH

Доказательство. Рассмотрим параллелограмм ABCD c площадью S.примем сторону AD за основание и проведем высоты BH и CK. Докажем что S=AD*BH.

Докажем сначала что площадь прямоугольника HBCK также равна S. Трапеция ABCK составлена из параллелограмма ABCD и треугольника DCK. С другой стороны она составлена из прямоугольника HBCK и треугольника ABH. Но прямоугольные треугольники DCK и ABH равны по гипотенузе и острому углу (их гипотенузы AB и равны как противоположные стороны параллелограмма, а углы 1 и 2 равны как соответственные углы при пересечении параллельных прямых AB и CD секущей AD) поэтому их площади равны. Следовательно, площади параллелограмма ABCD и прямоугольника HBCK также равны, т. е площадь прямоугольника HBCK равна S . по теореме о площади прямоугольника S= BC * BH , а так как BC = AD , то S=AD*BH. Теорема доказана.

2.3 Площадь трапеции

Теорема. Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту.

Дано: трапеция ABCD, основания AD и BC, высота BH.

Доказать: S = (AD + BC) * BH

Рассмотрим трапе

ABCD с основаниями AD и BC , высотой BH и площадью S. Докажем что

S = (AD + BC) * BH

Диагональ BD разделяет трапецию на два треугольника ABD и BCD , поэтому S= S_ABD + S_BCD . примем отрезки AD и BH за основание и высоту треугольника ABD , а отрезки BC и DH₁ за основание и высоту треугольника BCD. Тогда

S_ABD = AD * BH , S_BCD = BC * DH₁ .

Так как

DH₁ = BH , то S_BCD = BC * BH.

Таким образом ,

S = AD * BH + BC * BH = (AD + BC) * BH.

Теорема доказана.

ГЛАВА 3. ИНЫЕ СВОЙСТВА И СПОСОБЫ НАХОЖДЕНИЯ ПЛОЩАДЕЙ МНОГОУГОЛЬНИКОВ

площа многоугольник теорема

3.1 Теорема о площади многоугольника, все стороны которого находятся в точках целочисленной решетки

Теорема: Площадь многоугольника, все вершины которого расположены в точках целочисленной решетки, выражается числом (m+-1), где m - количество точек решетки, находящихся внутри многоугольника, а n - количество точек решетки, лежащих на его границе.

3.2 Теорема Пифагора

Приведем три эквивалентные формулировки теоремы Пифагора.

1. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

2. Площадь квадрата построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника равна сумме площадей квадратов построенных на катетах.

3. Квадрат построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника равносоставлен с квадратами, построенными на катетах.

Приведем еще одно доказательство этой замечательной теоремы принадлежащее Евклиду.

Дано: квадраты Fa, Fb, Fc , прямоугольный ?АВС.

Доказать: S Fa = Fb + Fc

Доказательство:

Введем обозначения для вершин квадратов F_a, F_b, F_c , построенных на сторонах прямоугольного треугольника ABC , как показано на рисунке. Проведем AM перпендикулярно BC. Tогда квадрат F_a разбивается на два прямоугольника. Докажем что прямоугольник CHBK равновелик квадрату F_b , а прямоугольник MHBK равновелик квадрату F_a. Проведем отрезки DB и AN и рассмотрим треугольники BCD и ACN заштрихованные на рисунке. Площадь треугольника BCD имеющего основание СD совпадающее со стороной квадрата ACDE и высоту BP равную стороне AC этого квадрата, равна половине площади квадрата ACDE . площадь треугольника ACN имеющего основание CN общие с прямоугольником CHMN и высоту AL равную высоте CH этого прямоугольника равна половине площади прямоугольника CHMN . сравнивая эти два треугольника между собой находим что у них CD=CA и BC=CN. ( как стороны квадратов ) и кроме того угол DCB = углу CAN , так каждый из них состоит из общей части - угла ACB и прямого угла. значит, треугольники DCB и ACN равны . отсюда следует , что прямоугольник MHBK равновелик квадрату Fb . если провести отрезки GC и AK , то можно аналогично сказать доказать , что прямоугольник MHBK равновелик квадрату F_c . Отсюда следует , что площадь квадрата F_a равна сумме площадей квадратов F_b и F_c.

3.3 Теорема, обратная теореме Пифагора

Замечательно, что свойство указанное в теореме Пифагора, является характеристическим свойством прямоугольного треугольника. Это следует из теоремы , обратной теореме Пифагора.

Теорема: Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

3.4 Формула Герона

Выведем формулу, выражающую плоскость треугольника через длины его сторон. Эту формулу связывают с именем Герона александрийского - древнегреческого математика и механика, жившего, вероятно в 1 в.н.э. Герон много уделял внимания практическим приложениям геометрии.

Теорема. Площадь S треугольника, стороны которого равны a , b , c , вычисляется по формуле S=, где p - полупериметр треугольника.

Доказательство.

Дано: ?ABC, АВ= с, ВС= а, АС= b.Углы А и В, острые. СН - высота.

Доказать:

S=

Доказательсво:

Рассмотрим треугольник ABC, в котором AB=c , BC=a, AC=b. Во всяком треугольнике, по крайней мере, два угла острые. Пусть А и В - острые углы треугольника АВС. Tогда основание H высоты CH треугольника лежит на стороне AB. Введем обозначения: CH = h, AH=y, HB=x. по теореме Пифагора a² - x² = h²=b²-y², откуда

Y² - x² = b² - a², или (y - x) (y + x) = b² - a², а так как y + x = c, то y- x = (b2 - a2).

Складывая два последних равенства, п олучаем:

2y = +c, откуда

y=,и, значит, h² = b²-y²=(b - y)(b+y)=

(b - )(b+)=*=

Следовательно, h = .

Но S= , откуда и получаем формулу Герона. Теорема доказана.

Следствие. Площадь равностороннего треугольника со стороной, а выражается формулой S=

3.5 Существование треугольника, стороны которого равны данным отрезкам

Дано: ?ABC, АВ= с, ВС= а, АС= b.Доказать: d < b. AH - высота.



Задача 1 . Доказать что если длины a,b и c трех отрезков удовлетворяют неравенствам a + b > c , c , b + c > a , c + a >b , то существует треугольник, стороны которого соответственно равны данным отрезкам.

Будем считать , что обозначения длин данных отрезков выбраны так , что a ? b ? c . пусть d = . Так как b ? c , то d > 0 . докажем что d < b. По условию b + c > a , поэтому a - b < c , а так как a - b ? 0 , то (a - b)² < c² , откуда a^{2 +} b² - c² < 2ab . разделив обе части на 2а, получим: < b , т.е d < b.

Построим теперь отрезок BC , равный а . на луче CB от его начала отложим отрезок CH , равный d. Так как d < b ? a , то точка H лежит на отрезке BC. Через точку H проведем прямую , перпендикулярную к прямой BC , и на ней от точки H отложим отрезок HA, равный . Докажем , что треугольник ABC искомый. В самом деле, ВС = а по построению ,

AC = = = b,

AB= = == = =c.

Итак , ВС = а, АС = b, АВ = с, т.е. стороны треугольника АВС равны данным отрезкам.

3.6 Изопериметрическая задача

Из формулы Герона следует что если задать одну из сторон треугольника и его периметр то его площадь будет принимать наибольшее значение в том случае, когда этот треугольник равнобедренный . в самом деле , если , например заданы сторона а и периметр 2р , то выражение p(p-a)(p-b)(p-c) два первых множителя окажутся заданными. Заданной окажется и сумма других сомножителей (она равна 2р - b - c = a + b + c - b - c = a ) . следовательно, все произведение принимает наибольшее значение тогда, когда эти два сомножителя равны: p - b = p-c. Отсюда следует, что b=c. итак, из всех треугольников с данным основанием и данным периметром наибольшую площадь имеет равнобедренный треугольник.

Из этого в свою очередь следует, что из всех треугольников с данным периметром наибольшую площадь имеет равносторонний треугольник.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В реферате рассмотрены теоретические и практические аспекты по теме «Площади простейших многоугольников», приведены примеры решения задач различных уровней сложности.

Раскрытие данной темы помогает расширить знания о треугольниках, квадратах, прямоугольниках и трапециях, их элементах и их площадях, как с математической точки зрения, так и с других точек зрения (исторической, географической), в повседневной жизни.

При оформлении реферата продемонстрированы:

- знания определения треугольника, квадрата, прямоугольника и трапеции, формулы их площадей;

- осведомленность о практическом применении площадей этих фигур;

- наличие сведений о вычислениях площадей в древности;

- навыки анализа и систематизации полученных ранее знаний; навыки выполнения проектной работы;

- умение самостоятельно работать с дополнительной литературой.

Размещено на Allbest.ru