Теория вероятности и математическая статистика

Размещено на http://www.allbest.ru/

Контрольная работа

по дисциплине теория вероятности и математическая статистика

Задание 1

В студенческой группе 30 студентов: 20 девочек и 10 мальчиков. Случайным образом четверо из них направляются для прохождения практики в Сбербанк. Найти вероятность того, что среди них окажутся:

а) 2 девочки и 2 мальчика; б) хотя бы 2 девочки.

Решение

n= =27405 m= *= 190*45=8550 р==0,312

Задание 2

Вероятность того, что за рабочий день расход электроэнергии не превысит нормы, равна 0,75. Требуется найти вероятность того, что за шесть дней работы норма будет превышена:

а) ровно 2 раза; б) хотя бы один раз.

Решение

Событие А - норма будет превышена;

событие В - норма не будет превышена.

Р(А) = 0,25 = р Р(В) = 0,75 = q n = 6

m =1 1- 1-1-0,178=0,822

m = 2; 0,252*0,754 =*0,252*0,754 = 180*0,0625*0,3164 =3,56

Задание 3

Вероятность сбоя при получении денег в банкомате равна 0,001. Найти вероятность того, что из 5000 обращений число сбоев будет:

а) ровно 5; б) не более 5.

Решение

Событие А - сбои при получении денег в банкомате произойдут; событие В - не произойдут.

Р(А) = 0,001 = р Р(В) = 0,999 = q n = 5000

а) m = 5

Воспользуемся формулой Пуассона:

л = np = 5000 * 0,001 = 5

Вероятность того, что из 5000 обращений число сбоев будет равно 5, составит:

б) m <5

Вероятность того, что из 5000 обращений за денежными средствами в банкомат число сбоев будет не более 5, составит:

1-(Р(0)+Р(1)+Р(2)+Р(3)+Р(4)+Р(5))=1-(0,0067+0,0337+0,0842+0,1404+ 0,1755+0,1782) = 0,3813

Р(0)= Р(1)= 0,0337 Р(2)= 0,0842

Р(3)= 0,1404 Р(4)= 0,1755 Р(4)= 0,1782

Ответ: а) 0,1782; б) 0,3813.

Задание 4

Среди 7 купленных театральных билетов 3 билета на балкон. Составить закон распределения числа билетов на балкон среди трех наудачу выбранных билетов. Найти функцию распределения этой случайной величины и построить ее график.

Решение

Среди 7 билетов:

3 на балкон

4 не на балкон

Наудачу берут 3 билета.

Событие Аi - i-тый билет - на балкон. Случайная величина Х - число билетов в партер.

Х может принимать значения: 0, 1, 2, 3.

Найдем вероятности каждого из указанных событий.

Для решения используем классическую формулу вероятности:

формулы числа сочетаний:

Сначала определим, сколькими способами можно взять 3 билета из 7:

(способов)

Количество способов, которыми можно взять все три билета не на балкон, составит:

(способ)

Вероятность того, что среди трех взятых билетов не будет ни одного на балкон, равна:

Количество способов, которыми можно взять один билет на балкон и два не на балкон:

(способов)

Вероятность того, что среди четырех взятых билетов будет один билет в партер, равна:

Количество способов, которыми можно взять два билета на балкон и один нет, составит:

(способов)

Вероятность того, что среди трех билетов будет два билета на балкон, равна:

Количество способов, которыми можно взять три билета на балкон, составит:

(способа)

Вероятность того, что среди трех билетов будет три билета на балкон, равна:

Искомый закон распределения случайной величины Х примет вид:

Найдем функцию распределения:

0, при х ? 0

0,114, при 0 < х ? 1

F(x) = 0,114 + 0,514, при 1 < х ? 2

0,114 + 0,514+ 0,343, при 2 < х ? 3

0,114 + 0,514 + 0,343 + 0,0286, при х 3

Функция распределения имеет вид:

0, при х ? 0

0,114, при 0 < х ? 1

F(x) = 0,628 , при 1 < х ? 2

0,971, при 2 < х ? 3

1, при х 3

Построим график данной функции

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задание 5

вероятность случайный дисперсия событие

Плотность вероятности случайной величины Х имеет вид:

Найти:

а) параметр а;

б) математическое ожидание и дисперсию;

в) вероятность

Решение

а) Найдем параметр а

б) математическое ожидание и дисперсию;

Для расчета математического ожидания воспользуемся формулой:

Для расчета дисперсии воспользуемся формулой:

= 25/3=8.33

в) вычислим вероятность

F(3)-F(0)= 0.6

Доработки

Задание 2

Решение

Р(А) = 0,25 = р Р(В) = 0,75 = q n = 6

m 1 1- 1-1-0,178=0,822

m = 2; 0,252*0,754 =*0,252*0,754 = 15*0,0625*0,3164 =0.3

Задание 3

Решение

Событие А - сбои при получении денег в банкомате произойдут; событие В - не произойдут.

Р(А) = 0,001 = р Р(В) = 0,999 = q n = 5000

а) m = 5

Воспользуемся формулой Пуассона:

л = np = 5000 * 0,001 = 5

Вероятность того, что из 5000 обращений число сбоев будет равно 5, составит:

б) m 5

Вероятность того, что из 5000 обращений за денежными средствами в банкомат число сбоев будет не более 5, составит:

(Р(0)+Р(1)+Р(2)+Р(3)+Р(4)+Р(5))=1-(0,0067+0,0337+0,0842+0,1404+ 0,1755+0,1782) = 0.6187

Р(0)= Р(1)= 0,0337 Р(2)= 0,0842

Р(3)= 0,1404 Р(4)= 0,1755 Р(4)= 0,1782

Ответ: а) 0,1755; б) 0,6187.

Размещено на Allbest.ru