Вероятность безотказной работы
Расчет вероятности безотказной работы и оптимизация вычислительных систем. Поиск верхней и нижней границы надежности схемы методом минимальных путей и сечений. Преобразование полученной схемы в параллельно-последовательный вид и расчет ее надежности.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 02.05.2012 |
| Размер файла | 411,9 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Введение
Надежностью называют свойство объекта сохранять во времени в установленных пределах значения всех параметров, характеризующих способность выполнять требуемые функции в заданных режимах и условиях применения, технического обслуживания, ремонтов, хранения и транспортировки. Расширение условий эксплуатации, повышение ответственности выполняемых вычислительными системами(ВС) функций, их усложнение приводит к повышению требований к надежности изделий.
Надежность является сложным свойством, и формируется такими составляющими, как безотказность, долговечность, восстанавливаемость и сохраняемость. Основным здесь является свойство безотказности - способность изделия непрерывно сохранять работоспособное состояние в течение времени. Потому наиболее важным в обеспечении надежности РЭС является повышение их безотказности.
Особенностью проблемы надежности является ее связь со всеми этапами «жизненного цикла» ВС от зарождения идеи создания до списания: при расчете и проектировании изделия его надежность закладывается в проект, при изготовлении надежность обеспечивается, при эксплуатации - реализуется. Поэтому проблема надежности - комплексная проблема и решать ее необходимо на всех этапах и разными средствами. На этапе проектирования изделия определяется его структура, производится выбор или разработка элементной базы, поэтому здесь имеются наибольшие возможности обеспечения требуемого уровня надежности ВС. Основным методом решения этой задачи являются расчеты надежности (в первую очередь - безотказности), в зависимости от структуры объекта и характеристик его составляющих частей, с последующей необходимой коррекцией проекта.
Целью данной работы является изучение основ теории надёжности и применение изученного материала при расчёте вероятностей безотказной работы и оптимизации вычислительных систем.
1. Описание варианта задания
В данной работе необходимо рассчитать вероятность безотказной работы и произвести анализ и оптимизацию полученной по варианту схемы. Для этого необходимо:
1. Вычислить верхнюю и нижнюю границу надёжности схемы методом минимальных путей и сечений.
2. Преобразовать полученную схему в параллельно-последовательный вид и рассчитать её надёжность.
3. Рассчитать надёжность методом статистических испытаний.
4. Рассчитать надёжность и выбрать оптимальную структуру ВС с наибольшей вероятностью безотказной работы при ограничении финансовых возможностей в 150 у. е. Расчет необходимо проводить исходя из того, что все элементы имеют одинаковую стоимость 10 у. е.
5. Сравнить полученные во всех методах результаты и сделать выводы.
Для расчета надёжности ВС с последовательно-параллельной структурой задана общая схема, из которой путём исключения из неё элемента, номер которого совпадает с номером варианта, получаем исходную схему для расчета. Вероятность безотказной работы каждого элемента определяется из того, что P1=0.5, а все последующие рассчитываются по формуле Pi+1=Pi+0.02.
безотказный вероятность надежность
Рисунок 1.1. Общая схема для расчета надежности системы
Из предложенной схемы, согласно заданию исключаются элемент 3.
Данная схема приобрела следующий вид.
Рисунок 1.2. Схема системы после исключения элемента 3
Даны следующие значения вероятностей безотказной работы для каждого элемента системы:
P[01]=0.50; P[02]=0.52; P[04]=0.56; P[05]=0.58; P[06]=0.60; P[07]=0.62;
P[08]=0.64; P[09]=0.66; P[10]=0.68; P[11]=0.70; P[12]=0.72; P[13]=0.74;
P[14]=0.76; P[15]=0.78; P[16]=0.80; P[17]=0.82; P[18]=0.84.
2. Расчет задачи
2.1 Расчет верхней и нижней границы надёжности схемы методом минимальных путей и сечений
Как видно из схемы, она не является последовательно-параллельной, поэтому невозможно точно рассчитать вероятность безотказной работы системы. В этом случае мы можем произвести оценку верхней и нижней границы вероятности безотказной работы ВС. Для этого воспользуемся методом минимальных путей и сечений. Анализируя предложенную схему, были определены возможные минимальные пути и сечения.
Исходя из схемы, было установлено 60 путей для оценки верхней границы:
(1; 6; 10; 14), (1; 7; 10; 15; 14), (1; 7; 8; 12; 16; 14), (1; 6; 10; 15), (1; 7; 10; 14; 15), (1; 7; 6; 9; 11; 16; 15), (1; 6; 11; 16), (1; 7; 12; 16), (1; 7; 11; 17; 14; 16), (1; 6; 11; 17), (1; 7; 12; 17), (1; 7; 11; 16; 14; 17), (1; 6; 10; 14; 18), (1; 7; 8; 13; 18), (1; 7; 10; 15; 16; 18), (2; 6; 10; 14), (2; 7; 10; 15; 14), (2; 7; 8; 12; 16; 14), (2; 6; 10; 15), (2; 7; 10; 14; 15), (2; 7; 6; 9; 11; 16; 15), (2; 6; 11; 16), (2; 7; 12; 16), (2; 7; 11; 17; 14; 16), (2; 6; 11; 17), (2; 7; 12; 17), (2; 7; 11; 16; 14; 17), (2; 6; 10; 14; 18), (2; 7; 8; 13; 18), (2; 7; 10; 15; 16; 18), (4; 8; 13; 18; 14), (4; 9; 7; 10; 14), (4; 9; 11; 17; 14), (4; 8; 7; 10; 15), (4; 9; 11; 16; 15), (4; 9; 12; 13; 18; 17; 15), (4; 8; 12; 16), (4; 9; 11; 16), (4; 9; 12; 17; 18; 16), (4; 8; 12; 17), (4; 9; 11; 17), (4; 9; 12; 16; 18; 17), (4; 8; 13; 18), (4; 9; 12; 16; 18), (4; 9; 7; 11; 17; 18), (5; 8; 13; 18; 14), (5; 9; 7; 10; 14), (5; 9; 11; 17; 14), (5; 8; 7; 10; 15), (5; 9; 11; 16; 15), (5; 9; 12; 13; 18; 17; 15), (5; 8; 12; 16), (5; 9; 11; 16), (5; 9; 12; 17; 18; 16), (), (5; 8; 12; 17), (5; 9; 11; 17), (5; 9; 12; 16; 18; 17), (5; 8; 13; 18), (5; 9; 12; 16; 18), (5; 9; 7; 11; 17; 18), (
Для оценки нижней границы получили 24 сечения:
{7,10,6,13,11,16,12,17}, {7,10,6,18,14,11,16,12,17}, {7,10,6,18,14,11,16,12,18,17}, {7,10,6,12,16,11,18,17,18,14}, {7,10,6,12,16,11,12,17,11,13,18}, {8,13,12,11,16,17,10,14}, {10,15,14,16,17}, {10,15,16,17,14}, {10,14,18,15,16,17}, {10,14,16,17,18,15}, {11,16,18,12,15,14}, {10,14,15,11,16,12,17,13,8}, {9,4,7,6,12,11,8,13}, {11,17,18,17,12,17,15,17,14,17}, {12,17,15,11,18,14}, {12,16,15,11,18,14}, {12,15,17,11,18,14}, {13,18,16,17,14}, {13,18,16,18,17,14}, {14,18,16,17,13}, {7,1,8,9,10,11,12,6}, {7,2,8,9,10,11,12,6}, {9,4,7,6,12,11,8,13}, {9,5,7,6,12,11,8,2,13}
Для оценки границ и расчета вероятностей безотказной работы строятся вспомогательные системы. Вероятность Pн выражается как вероятность безотказной работы вспомогательной системы, составленной из последовательно включенных групп подсистем, соответствующих всем минимальным сечениям системы. Каждая группа состоит из параллельно включенных подсистем соответствующего минимального сечения. Таким образом рассчитанное для исходной схемы значение нижней границы равно Рн=0.3462
Вероятность Pв выражается как вероятность безотказной работы вспомогательной системы, составленной из параллельно включенных групп подсистем, соответствующих всем минимальным путям системы. Каждая группа состоит из последовательно включенных подсистем соответствующего минимального пути. При расчете получено значение верхней границы равное Pв=0.9597
2.2 Преобразование схемы в параллельно-последовательный вид и расчет её надёжности
Преобразуем схему ВС, путем упрощения сплошных связей в системе и проводим расчет вероятности безотказной работы для последовательно включенных и параллельно включенных элементов.
Для последовательно включенных элементов при нагруженном резерве, отказы которых являются независимыми случайными событиями по аксиоме умножения вероятностей, вероятность безотказной работы системы
(1.1)
где pi - вероятности безотказной работы подсистем.
Для параллельно включенных подсистем при таких же условиях вероятность безотказной работы системы
(1.2)
где pj - вероятности безотказной работы подсистем.
Рисунок 2.1. Преобразование схемы
1. В исходной схеме элементы 1 и 2 образуют параллельное соединение. Заменяем их эквивалентном [1,2].
Р [1,2] = 1 - (1-P[01]) * (1-P[02]) = 1 - (1 - 0,5) * (1 - 0,52) = 0,76
2. Элементы 4 и 5 образуют параллельное соединение. Заменяем их эквивалентном [4,5].
Р [4,5] = 1 - (1-P[04]) * (1-P[05]) = 1 - (1-0,56) * (1 - 0,58) = 0,8152
3. Элементы 6 и 7 образуют параллельное соединение. Заменяем их эквивалентном [6,7].
Р [6,7] = 1 - (1-P[06]) * (1-P[07]) = 1 - (1 - 0,6) * (1 - 0,62) = 0,8248
4. Элементы 8 и 9 образуют параллельное соединение. Заменяем их эквивалентном [8,9].
Р [8,9] = 1 - (1-P[08]) * (1-P[09]) = 1 - (1 - 0,64) * (1 - 0,66) = 0,8776
5. Элементы 11 и 12 образуют параллельное соединение. Заменяем их эквивалентном [11,12].
Р [11,12] = 1 - (1-P[11]) * (1-P[12]) = 1 - (1 - 0,7) * (1 - 0,72) = 0,916
6. Элементы 14 и 15 образуют параллельное соединение. Заменяем их эквивалентном [14,15].
Р [14,15] = 1 - (1-P[14]) * (1-P[15]) = 1 - (1 - 0,76) * (1-0,78) = 0,9472
7. Элементы 16 и 17 образуют последовательное соединение. Заменяем их эквивалентном [16,17].
Р [16,17] = P[16] * P[17] = 0,8*0,82 = 0,656
8. Элементы 13 и 18 образуют параллельное соединение. Заменяем их эквивалентном [13,18].
Р [13,18] = 1 - (1-P[13]) * (1-P[18]) = 1 - (1 - 0,74) * (1 - 0,84) = 0,9584
Проводим дальнейшее преобразование системы, так как она не удовлетворяет данному условию.
Рисунок 2.2. Преобразование схемы
1. Элементы [4,5] и [8,9] образуют последовательное соединение. Заменяем их эквивалентном [4,5,8,9].
Р [4,5,8,9] = P [4,5] * P [8,9] = 0,8152 * 0,8776= 0,668464
2. Элементы [6,7], [10] и [14,15] образуют последовательное соединение. Заменяем их эквивалентном [6,7,10,14,15].
Р [6,7,10,14,15] = P [6,7]*P[10]* P [14,15] =0,8248*0,68* 0,9472= 0,438175
3. Элементы [11,12] и [16,17] образуют последовательное соединение. Заменяем их эквивалентном [11,12,16,17].
Р [11,12,16,17] = P [11,12] * P [16,17] = 0,916 * 0,656= 0,600896
Проводим дальнейшее преобразование системы, так как она не удовлетворяет данному условию.
Рисунок 2.3. Преобразование схемы
1. Элементы [1,2] и [4,5,8,9] образуют параллельное соединение. Заменяем их эквивалентном [1,2,4,5,8,9].
Р [1,2,4,5,8,9] =1 - (1-P [1,2])*(1-P [4,5,8,9])= 1 - (1 - 0,76) * (1-0,668464) = 0,920431
2. Элементы [11,12,16,17] и [13,18] образуют параллельное соединение. Заменяем их эквивалентном [11,12,16,17,13,18].
Р [11,12,16,17,13,18] = 1 - (1-P [11,12,16,17]) * (1-P [13,18]) = 1 - (1 - 0,9584) * (1-0,600896) = 0,983397
Р [6,7,10,14,15] = 0,438175
Проводим дальнейшее преобразование системы, так как она не удовлетворяет данному условию.
Рисунок 2.4. Преобразование схемы
Элементы [6,7,10,14,15] и [11,12,16,17,13,18] образуют параллельное соединение. Заменяем их эквивалентном [A].
Р [A] =1 - (1 - P [6,7,10,14,15])*(1-P [11,12,16,17,13,18])=
=1 - (1 - 0,983397) * (1-0,438175) = 0,990672
Р [1,2,4,5,8,9] = 0,920431
Проводим итоговое преобразование системы и получаем систему следующего вида.
Рисунок 2.5. Преобразование схемы
Элементы [1,2,4,5,8,9] и [А] образуют последовательное соединение. Заменяем их эквивалентном [В].
Р [В] =Р [1,2,4,5,8,9] * Р[A]= 0,920431 * 0,990672=0,911845
Вероятность Pв выражается как вероятность безотказной работы вспомогательной системы, составленной из последовательно включенных групп подсистем. При расчете получено значение Pв=0.911845. Полученное значение входит в диапазон границ вероятности безотказной работы системы. Это значит, что преобразованную схему можно принять за эквивалентную исходной схеме. Поэтому в дальнейшем будем использовать эту систему в качестве основной.
2.3 Расчет надёжности методом статистических испытаний
Статистические испытания схемы проводятся исходя из того, что генерирование случайных логических переменных xi проводится с помощью равномерного распределения от 0 до 1 случайных чисел x i. При этом
Xi=1, если x i<0.5,
Xi= 0, если x i>0.5.
Далее для каждого элемента системы определяется значение Xi, т.е. определяется работоспособность элемента: 1-элемент работоспособен, 0-нет. Затем идёт расчет вероятности безотказной работы схемы, но уже с учетом только рабочих в данный момент элементов. Процесс вычисления повторяется 50000 раз (количество прогонов зависит от необходимой точности) с новыми, независимыми случайными значениями аргументов xi (при этом подсчитывается количество N единичных значений структурной логической функции). Отношение N/5000 является статистической оценкой Рс(t) вероятности безотказной работы системы.
Рисунок 2.6. Расчет надёжности методом статистических испытаний
2.4 Расчет надежности и выбор оптимальной структуры вычислительной системы
Необходимо рассчитать вероятность безотказной работы системы при заданных ограничениях:
Ci*Xi<=Cсист,
где Ci - стоимость элемента системы (Ci=10 у. е., i=1,…, n);
Cсист - общая стоимость системы (Ссист=150 у. е.).
В связи с этим нужно исключить из исходной схемы 2 элементов, с учетом того, чтобы вероятность безотказной работы системы была максимальной. Программная реализация данной оптимизации может быть выполнена разными способами (методом сплошного перебора, методом динамического программирования и т.д.). В данном случае использован наиболее простой, но неэффективный способ сплошного перебора.
После тестирования всех возможных комбинаций были получены результаты: максимальной вероятность безотказной работы становится при исключении элементов 3 и 14 и принимает значение Р= 0,9231.
Рисунок 2.7. Выбор оптимальной структуры вычислительной системы
Заключение
В результате анализ исходной системы различными методами были получены следующие значения.
Оценка верхней и нижней границы вероятности безотказной работы системы методом минимальных путей и сечений привела к интервалу 0.3462<Pи<0.9597. При преобразование схемы был получен результат Pи=0.9204. При статистических испытаниях основной схемы было получено значение Рс=0.4373. Согласно полученным результатам можно сказать, что расчеты значения вероятности безотказной работы, исходя из всех методов, входят в диапазон границ вероятности безотказной работы системы
Оптимизация системы при ограничении в 150 у. е. методом сплошного перебора исключаемых элементов привела к значению максимальной вероятности безотказной работы Pmax= 0.9231. При этом исключаются элементы 3 и 14. Все остальные комбинации не дают большей вероятности безотказной работы системы.
Список литературы
1. Дружинин Г.В. «Надёжность автоматизированных производственных систем». - М.: Высшая школа, 1989.-512 с.
2. Дружинин Г.В. «Надёжность автоматизированных систем». - М.: Энергия, 1977. - 485 с.
3. Капур К., Ламберсон Л. «Надежность и проектирование систем». Пер с англ. - М.: Мир, 1980. - 420 с.
4. КоледоваЛ.А. Кн. 5. И.Я. Козырь. «Качество и надежность интегральных микросхем». - М.: Высш. шк., 1987.-530 с.
5. «Инженерные методы исследования надежности радиоэлектронных систем». Пер. с англ., /Под ред. Половко А.М. и Варжапетяна А.Г. - М.: Советское радио, 1968. - 312 с.
6. Зарубин М.Ю., Попова Т.А. Методические указания к лабораторным работам по дисциплине «Надежность ИС». - Рудный: РИИ, 2007. - 34 с.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Определение точечной оценки средней наработки до отказа, вероятности безотказной работы. Построение функции распределения, верхней и нижней доверительной границы. Показатели надежности при известном и неизвестном виде закона распределения наработки.
контрольная работа [79,9 K], добавлен 01.05.2015Расчет показателей надежности невосстанавливаемой системы с постоянными во времени интенсивностями отказов элементов в Марковских процессах. Поиск вероятности безотказной работы системы методом разложения структуры относительно базового элемента.
контрольная работа [334,9 K], добавлен 15.01.2014Вычисление накопленных частостей и построение эмпирических функций вероятности отказов, безотказной работы пресса для силикатного кирпича и гистограмму плотности распределения. Статистическая оценка параметров теоретического распределения ресурса.
контрольная работа [137,8 K], добавлен 11.01.2012Изучение методов определения основных показателей надежности изделий на основные экспериментальных данных. Статистическая оценка интенсивности отказов и плотности их распределения. Определение функции надежности изделия (вероятности безотказной работы).
лабораторная работа [237,5 K], добавлен 10.04.2019Практическая задача на определение вероятности того, что студент сдаст коллоквиум. Вероятность бесперебойной работы станков на протяжении часа. Определение надежности работы прибора за время полета, вероятности двух попаданий при трех выстрелах.
контрольная работа [50,4 K], добавлен 24.04.2012Анализ данных эксплуатационных наблюдений за отказами изделий. Оценка показателей безотказности параметрическим методом для однократно цензурированной выборки. Точечные оценки вероятности безотказной работы за непрерывный беспосадочный полёт самолёта.
контрольная работа [20,7 K], добавлен 07.12.2013Сравнительный анализ вероятностей катастрофы летательного аппарата, ее сравнение с вероятностями, связанными с дублирующими системами, с отказами двигателей и вспомогательных подсистем. Определение надежности элементов системы энергоснабжения самолета.
контрольная работа [119,4 K], добавлен 28.10.2012Характеристика надежности объекта: исправность, работоспособность, предельное состояние, повреждение, отказ и критерий отказа. Выбор моделей и методов анализа надежности. Вероятность разрыва электрической цепи, отказа тиристора из партии изделий.
курсовая работа [37,2 K], добавлен 02.08.2009Порядок составления гипотез и решения задач на вероятность определенных событий. Вычисление вероятности выпадения различных цифр при броске костей. Оценка вероятности правильной работы автомата. Нахождение функции распределения числа попаданий в цель.
контрольная работа [56,6 K], добавлен 27.05.2013Определение вероятности появления поломок. Расчет вероятности успеха, согласно последовательности испытаний по схеме Бернулли. Нахождение вероятности определенных событий по формуле гипергеометрической вероятности. Расчет дискретной случайной величины.
контрольная работа [69,3 K], добавлен 17.09.2013
