Решение уравнений, содержащих аркфункции

Размещено на http://www.allbest.ru/

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ АРКФУНКЦИИ

Для решения некоторых уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции (аркфункции) достаточно знать их определения.

Сведём эти определения в таблицу:

Y = arcsin x	Y = arccos x	Y = arctg x	Y = arcctg x
Если 1) sin y = x, x 2) y	Если 1) cos y = x, x 2) y	Если 1) tg y = x 2) y	Если 1)ctg y = x 2)

Если 0 < х < 1, то символы Y = arcsin x, Y = arccos x, Y = arctg x, Y = arсctg x могут служить обозначениями острых углов, обладающих соответствующими свойствами.

Если -1 < х < 0, то символы Y = arccos x и Y = arсctg x могут служить обозначениями тупых углов.

Функция Y = arcsin x определена и монотонно возрастает на отрезке

Функция Y = arcсоs x определена и монотонно убывает на отрезке

Функция Y = arctg x определена и монотонно возрастает на R.

Функция Y = arcctg x определена и монотонно убывает на R.

Приведём тождества, связывающие обратные тригонометрические функции.

arcsin x + arccos x =	X
arctg x + arcctg x =	х
arctg x = arcctg	х
arctg x = - arcctg()	х
аrcsin(- x ) = - arcsin x	x
аrctg( - x ) = - arctg x	х
аrсcos(- x ) = - arccos x	x
аrсctg(- x ) = - arcctg x	х

Решения простейших уравнений с аркфункциями приведены в таблице:

Уравнение	Решение
arcsin x = a, а	X = sin a
arccos x = a, а	X =cos a
arctg x = a, а	X = tg a
arcctg x = a, а	X = ctg a

Свойства монотонности и ограниченности являются ключевыми при решении многих уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции.

При решении уравнений и неравенств, левая и правая части которых представляют собой одноимённые обратные тригонометрические функции различных аргументов, справедливы следующие равносильные переходы:

1. а) arcsin f(x) = arcsin g(x)

б) arcsin f(x) ? arcsin g(x)

2. а) arcсоs f(x) = arccos g(x)

б) arcсоs f(x) arccos g(x)

3. а) arctg f(x) = arctg g(x) f(x) = g(x).

б) arctg f(x) arctg g(x) f(x) g(x).

4. а) arcсtg f(x) = arcсtg g(x) f(x) = g(x).

б)arcсtg f(x) arcсtg g(x) f(x) g(x).

Если в уравнение входят выражения, содержащие разные аркфункции, или эти аркфункции зависят от разных аргументов, то сведение уравнения к его алгебраическому следствию осуществляется обычно вычислением некоторой тригонометрической функции от обеих частей уравнения. Получающиеся при этом посторонние корни отделяются проверкой. Если в качестве прямой функции выбираются тангенс или котангенс, то решения, не входящие в область определения этих функций, могут быть потеряны. Поэтому перед вычислением тангенса или котангенса от обеих частей уравнения следует убедиться в том, что среди точек, не входящих в область определения этих функций, нет корней исходного уравнения.

Приведём примеры решения уравнений, содержащих аркфункции.

I. Уравнения, левая и правая части которых представляют собой одноимённые обратные тригонометрические функции различных аргументов.

1. arcsin(1+2х) = arcsin(2х- х - 1). Запишем равносильную систему:

2х- 3х -2 = 0, х.

Неравенство мы можем не решать, а подставить в него найденные корни.

Итак, х удовлетворяет неравенству системы, а х не удовлетворяет ему.

Ответ:

II. Уравнения, сводящиеся к алгебраическим.

1. arcsin 2 x -arcsinх + = 0. Пусть arcsin x = y, y

у, D = , y

arsin x = или arcsin x =

x=sin , x= x=sin, x = . Ответ: ;.

2. arccos2x - arccos x +=0. Пусть arcros х = y, у [0; ]

y2 -y + =0, D =,

arccos x = или arccos x =

x = cos, х=0 x = cos , x= Ответ; 0; .

3. arctq2(3x + 2) + 2 arctq (3x + 2)=0. Пусть arctq (3x + 2)=y, y

y2 + 2y=0, y (y + 2 )=0, y=0 или y=-2 , -2

arctq (3x + 2)=0, 3x + 2=tq 0, 3x + 2=0, х= Ответ:

4. arcsin2x -arcsinx + = 0. Пусть arcsin x=y, y .

y2 -y + = 0, D = < 0. Корней нет. Ответ: корней нет

5. arctg2x -arctg x+ = 0. Пусть arctg x=y, y

y2 -y + = 0, D =, y

arctg x= arctg x=

x=tg х=1 x=tg , x= Ответ: 1;

III. Уравнения, решаемые с помощью определений обратных тригонометрических функций.

1. arcsin (x2 - 4x + 3)=0

x2 - 4x + 3= sin 0, а + в + с = 0, X1=1, X2=3

Проверка: x=1, arcsin 0=0 - верно, x =1 - корень уравнения

x=3, arcsin 0=0 - верно, x=3 - корень уравнения Ответ: 0;3

2. 4 arctq ( x2 - 3x - 3 ) - =0 . 4 arctq ( x2 - 3x - 3 ) =

arctq ( x2 - 3x - 3 ) =

x2 - 3x - 3= tq , x2 - 3x - 3 = 1, x2 - 3x - 4 = 0, x1= -1,x2= 4

Проверка: x=-1, 4 arctq (1 + 3 - 3) - = 0 - верно, x= -1 - корень уравнения

x=4, 4 arctq (16 - 12 - 3) - = 0-верно, x=4 - корень уравнения .

Ответ: -1;4

3. arrcos (x2 - 2) = , x2 - 2 = cos, x2 - 2= -1, x2=1, x=±1

Проверка: x=1, arrcos (1 - 2)= - верно, x=1 - корень уравнения

x= -1, arrcos (1 - 2)= - верно, x= -1 - корень уравнения.

Ответ: -1; 1

4. arcsin (x2 - 3x +)= . x2 - 3x + =sin , x2 - 3x = 0, x (x - 3)=0, x1=0, x2=3

Ответ: 0;3

5. 6arcsin (x2 - 6x + 8,5) = . arcsin (x2 - 6x + 8,5) =

x2 - 6x + 8,5 = sin , x2 - 6x + 8,5 = 0,5, x2 - 6x + 8 = 0, D =36 - 32=4, x

Ответ: 2;4

IY. Уравнения, содержащие разные аргументы,

1. arcsin 6x + arcsin6x + =0, arcsin 6x = -arcsin 6x -

sin (arcsin 6x) = -sin (arcsin 6x +)

6x = - cos arcsin 6x, где cos arcsin 6x =

6x = 2 , 144x2 = 1, X = ±

Проверка: x =, arcsin + arcsin = - - не верно, x=- посторонний корень

x= - , arcsin (-) + arcsin (-)= - - верно, x= -- корень уравнения.

Ответ: - .

2. 2arrcos (-) = arrcos (x + 3)

О. Д. З. , х = - 2.

I способ: cos (2arrcos (-)) = cos (arcos (x + 3)). Вычислим cos (2arrcos (-)).

Пусть arccos (-) = б, б [0; ], cos б = -

cos 2б = 2 cos2б - 1 = 2, тогда исходное уравнение принимает вид

= x + 3, x2 - 2 - 2x - 6 = 0, x2 - 2x - 8 = 0, D=36, х

x=4 - посторонний корень,т.к. не удовлетворяет О.Д.З.

II способ: Т.к. О.Д.З. включает одно значение, то только оно может быть корнем

уравнения или уравнение корней не имеет. Проверяем х = - 2.

2 arrcos 1 = arcos (-2+ 3), 0 = 0 - верно, х = -2 - корень уравнения. Ответ: -2

3. arcsin x + arcsin. sin (arcsin x) = sin (- arcsin )

x = cos (arcsin ), x = , x2=1 - , 3x2 = 3 - x2 , 4x2 = 3, х = ±

Проверка: x=, arcsin + arcsin = - верно, x=- корень уравнения.

x=- , аrcsin(-) + arcsin(-) = - неверно, x=- - пост. кор. ур. Ответ:.

Y. Уравнения, содержащие разные аркфункции

1. arcos x - arcsin x = arrcosx. cos (arcos x - arcsin x) = cos (arcosx)

cos (arcos x) cos (arcsin x) + sin (arcos x) sin (arcsin x) = x

x2+ x 2= x , 2x2 = x , 2x 2 - x = 0,

x (2 2 - ) = 0 , x=0 или 2 2 =

4 - 4x2 = 3 ,x2=, х Проверка: x=0, arrcos 0 - arcsin 0 = arrcos 0 - верно, x=0 - корень уравнения

х =, arrcos- arcsin = arrcos- неверно, x=- посторонний корень

x= -, arrcos (-) - arcsin (-)= arrcos (-)- неверно, x = --постор.корень.

Ответ: 0

2. arcsin x - arcos x = arcsin (3x - 2)

sin (arcsin x - arccos x) = sin (arcsin (3x - 2))

sin(arcsin x) cos(arccos x) - sin(arccos x) cos(arcsin x) = 3x - 2

x2 - (1 - x2) - 3x + 2 =0, x2 - 1 + x2 - 3x + 2 = 0, 2x2 - 3x + 1 = 0, x1=1 , x2=

Проверка: x1=1, arcsin 1 - arcos 1 = arcsin (3 - 2), - верно, х =1- корень ур.

x2=, arcsin - arсcos = arcsin (3. - 2), -верно, x2=-кор.ур.

Ответ:;1.

YI При решении уравнений, содержащих разноимённые обратные тригонометрические функции, можно пользоваться тригонометрическими тождествами.

При решении многих уравнений такого рода бывает целесообразно не обсуждать вопрос о равносильности преобразований, а сразу переходить к уравнению-следствию и после его решения делать необходимую проверку.

Рассуждения могут быть примерно следующими.

Пусть требуется решить уравнение аrcsin f(x) = arсcos g(x).

Предположим, что х - решение этого уравнения.

Обозначим аrcsin f(x) = arсcos g(x) через б. Тогда sin б = f(x), cos б. = g(x), откуда

f(x) + g(x) = 1.

Итак, аrcsin f(x) = arсcos g(x) f(x) + g(x) = 1.

Аналогично получаем :

arctg f(x) = arctg g(x) f(x) g(x) = 1. (По формуле tgx ctgx = 1.)

аrcsin f(x) = arcctg g(x) f(x) = . (По формуле sin x =

arctg f(x) = arсcos g(x) = g(x). . (По формуле cosx =

аrcsin f(x) = arctg g(x) f(x) . (По формуле sin x =

arсcos g(x) = arcctg g(x) f(x) . (По формуле соsx =

Приведём пример.

1. arсcos = аrcsin . ,

65х + 78х - 143 = 0, т.к. а+в+с = 0, то х = 1 и х =

Проверка: х = 1, arсcos = аrcsin - верно, х = 1 - корень уравнения.

Х = - посторнний корень, т.к. arсcos = аrcsin ,

arсcos (-) = аrcsin(-) - неверно. Ответ: 1.

YII. Использование свойств монотонности обратных тригонометрических функций.

Решить уравнение: arctg .

Решение: Пусть х2 + х = t. Тогда уравнение примет вид arctg .

Функции Z = Z = , y = arctg z и y = arcsin z являются монотонно

возрастающими. Поэтому функция y = arctg +arcsin также является

монотонно возрастающей.

Уравнение arctg .

имеет не более одного корня. Находим подбором t = 0 - корень данного уравнения.

Поэтому х2+ х = 0, х = 0, х = -1. Ответ: -1 ; 0.

YIII. Использование ограниченности обратных тригонометрических функций

Решить уравнение: аrcsin (х ( х+у )) + аrcsin (у ( х+у )) =

Т.к. аrcsin t при , то левая часть уравнения не превосходит .

Знак равенства возможен, лишь если каждое слагаемое левой части равно .

Таким образом, уравнение равносильно системе:

Итак, х = у, тогда получаем уравнение 2х = 1, х, у

Ответ: (

уравнение аркфункция тригонометрический

Литература.

1.В.С.Крамор, П.А.Михайлов. Тригонометрические функции.-2-е изд.-М.:Просвещение,1983.

2.А.Г.Цыпкин,А.И.Пинский. Справочное пособие по методам решения задач по математике.

Для средней школы.-М.: Наука.-Главная редакция ф.-матем.литературы,1983.

3.А.Р.Рязановский. 500 способов и методов решения задач по математике.Для школьников и поступающих в вузы.-М.:Дрофа,2001.

Размещено на Allbest.ru