Застосування методу Фур’є до рівнянь гіперболічного типу

Размещено на http://www.allbest.ru/

2011 рік

КУРСОВА РОБОТА НА ТЕМУ:

«Застосування методу Фур'є до рівнянь гіперболічного типу»

Зміст

Вступ

1. Рівняння вільних коливань струни

2. Неоднорідні рівняння

3. Загальна перша крайова задача

4. Крайові задачі зі стаціонарними неоднорідностями

5. Задачі без початкових умов

6. Загальна схема методу поділу змінних

Висновок

Список використаної літератури

Вступ

Вивчення багатьох питань теоретичної фізики в математичному плані зводять до інтегрування лінійних диференціальних рівнянь в частинних похідних другого порядку.

Загальний вигляд лінійного рівняння другого порядку відносно шуканої функції з двома незалежними зміними і такий:

(*)

де A, B, C, D, E, F - певні функції .

Якщо , рівняння (*) називають однорідним; якщо ж - неоднорідним.

У випадку, коли коефіцієнти A, B, C, D, E, F - сталі, рівняння називають лінійним рівнянням з сталими коефіцієнтами.

Більш загальним, ніж рівняння (*), є рівняння виду

, (**)

де - деяка (не обов'язково лінійна) функція незалежних змінних шуканої функції і її частинних похідних першого порядку. Рівняння (**) лінійне відносно похідних другого порядку.

Всю сукупність лінійних рівнянь можна поділити на три типи. Віднесення рівняння до того чи іншого типу залежить від співвідношення між коефіцієнтами A, B, C при похідних другого порядку.

За загальноприйнятою класифікацією вважають, що рівняння належить до:

1) гіперболічного типу, коли ;

2) еліптичного типу, коли ;

3) параболічного типу, коли .

Рівняння з частиними похідними другого порядку гіперболічного типу найчастіше зустрічаються у фізичних задачах пов'язаних з процесами коливання. Найпростіше рівняння гіперболічного типу зазвичай називають рівнянням коливання струни. Для розв'язання рівнянь такого типу існує багато різних методів і способів.

Одним з найбільш поширених в математичній фізиці методів є метод Фур'є. Зазначимо, що типовими задачами до розв'язання яких застосовується цей метод є крайові задачі в обмежених областях для рівнянь гіперболічного та параболічного типу.

Метод розподілу (метод Фур'є) не завжди є застосовним, але в тих випадках коли він використовується, цей метод є найпростішим. З його допомогою можна розкласти рівняння частинних похідних для функції від n незалежних змінних на n звичайних диференціальних рівнянь.

Отже, як стало зрозуміло, темою даної курсової роботи є «Застосування методу Фур'є до рівнянь гіперболічного типу». Метою та завданнями курсової роботи є:

1. розкриття сутності методу Фур'є і основних понять цієї теми;

2. формулювання основних теорем, розкриття їх змісту та доведення;

3. наведення прикладів рівнянь.

Структуру даної курсової роботи складають 6 питань в кожному з яких вивчається метод Фур'є для різних типів гіперболічних рівнянь, а саме в першому для рівнянь вільних коливань струни, в другому - для неоднорідних рівнянь, в третьому - розкривається загальна перша крайова задача, в четвертому - крайові задачі зі стаціонарними неоднорідностями, в п'ятому - метод Фур'є розкривається для задачі без початкових умов. Останнє питання присвячене опису загальної схеми методу розподілу змінних.

Дана курсова завершується наведенням прикладів розв'язання певних типів гіперболічних рівнянь за допомогою методу розподілу змінних (методу Фур'є).

фур'є гіперболічний рівняння

1. Рівняння вільних коливань струни

Метод розподілу змінних або метод Фур'є, є одним з найпоширеніших методів розв'язання рівнянь із частинними похідними. Виклад цього методу ми проведемо для задачі про коливання струни, закріпленої на кінцях.

Отже, будемо шукати розв'язання рівняння

, (1)

що задовольняє однорідним граничним умовам

(2)

і початковим умовам

(3)

_.

Оскільки рівняння (1) лінійне й однородне, його загальний розв'язок можна знайти як суму частинних розв'язків, тому, що сума цих розв'язків всякого лінійного і однорідного диференціального рівняння тому також є розв'язком цього рівняння.

Поставимо основну допоміжну задачу:

знайти розв'язок рівняння

,

не рівний тотожно нулю, що задовольняє однорідним граничним умовам

,

(4)

і який можна подати у вигляді добутку

, (5)

де Х(х) -- функція тільки змінної х, -- функція тільки змінної .

Підставляючи припущений вигляд розв'язку (5) у рівняння (1), одержимо:

або, після ділення на ХТ,

. (6)

Щоб функція (5) була розв'язком рівняння (1), рівність (6) повинна бути тотожністю, тобто для всіх значень незалежних змінних 0 < х < , > 0. Права частина рівності (6) є функцією тільки змінної , а ліва -- тільки х. Фіксуючи, наприклад, деяке значення х і змінюючи міняючи (або навпаки), одержимо, що права й ліва частини рівності (6) при зміні своїх аргументів зберігають постійне значення

(7)

Зі співвідношення (7) одержуємо звичайні диференціальні рівняння (а не в частинних похідних) для визначення функцій і :

(8)

. (9)

Граничні умови (4) дають:

,

.

Звідси випливає, що функція повинна задовольняти додатковим умовам

, (10)

тому, що інакше ми мали б

і ,

у той час як задача полягає в знаходженні нетривіального розв'язку. Для функції в основній допоміжній задачі ніяких додаткових умов немає.

Таким чином, у зв'язку зі знаходженням функції ми приходимо до найпростішої задачі про власні значення:

знайти ті значення параметра , при яких існують нетривіальні розв'язки задачі:

(11)

,

а також знайти ці рішення.

Такі значення параметра називаються власними значеннями, а відповідні їм нетривіальні розв'язки -- власними функціями задачі (11). Сформульовану в такий спосіб задачу часто називають задачею Штурма - Ліувілля.

Розглянемо окремо випадки, коли параметр від'ємний, дорівнює нулю або додатній.

1. При задача не має нетривіальних розв'язків. Дійсно, загальний розв'язок рівняння (8) має вигляд

.

Граничні умови дають:

Х(0) = = 0;

(), тобто

і .

Але в даному випадку -- дійсне й додатнє, так, що . Тому

,

і, отже,

.

2. При також не існує нетривіальних розв'язків. Дійсно, у цьому випадку загальний розв'язок рівняння (8) має вигляд

=.

Граничні умови дають:

Х(0) =,

,

звідси випливає, що

,

і, отже,

.

3.При загальний розв'язок рівняння може бути записаний у вигляді

.

Граничні умови дають:

Х(0) =,

.

Якщо Х(х) не рівна тотожно нулю, то , тому

(12)

Або

,

де -- будь-яке ціле число. Отже, нетривіальні розв'зки задачі (11) можливі лише при значеннях

.

Цим власним значенням відповідають власні функції

,

де -- довільна стала.

Отже, тільки при значеннях , рівних

, (13)

існують нетривіальні рішення задачі (11)

, (14)

що визначаються з точністю до довільного множника, який ми поклали рівним одиниці. Цим же значенням відповідають розв'зки рівняння (9)

, (15)

де А_п і В_п -- довільні сталі.

Повертаючись до задачі (1) -- (3), маємо, що функції

_п(х,t)=Х_п(х)Т_п(t)=(, (16)

є частинними розв'язками рівняння (1), що задовольняють граничним умовам (4) і подаються у вигляді добутку (5) двох функцій, одна з яких залежить тільки від х, інша -- від t. Ці розв'язки можуть задовольняти початкові умови (3) нашої вихідної задачі тільки для окремих випадків початкових функцій і .

Звернемося до розв'язання задачі (1) -- (3) у загальному випадку. У силу лінійності й однорідності рівняння (1) сума частинних розв'язків:

(17)

також задовольняє цьому рівнянню й граничним умовам (2). Початкові умови дозволяють визначити і . Нехай функція (17) задовільняє умови (3):

_,

(18)

.

З теорії рядів Фур'є відомо, що довільна частково неперервна і частково диференційована функція , задана на проміжку, розкладається в ряд Фур'є:

, (19)

де

. (20)

Якщо функції і задовільняют умови розкладу в ряд Фур'є, то

, (21)

. (22)

Порівняння цих рядів з формулами (18) показує, що для виконання початкових умов потрібно покласти

, , (23)

чим повністю визначається функція (17),що дає розв'язок досліджуваної задачі.

Ми визначили розв'язок у вигляді нескінченного ряду (17). Якщо ряд (17) розбіжний або функція, що визначається ним, не диференційовна, то він, звичайно, не може представляти розв розбіжний або функція, що визначається ним, не диференційовна, то він, звичайно, не може представляти розв'язок нашого диференціального рівняння.

2. Неоднорідні рівняння

Розглянемо неоднорідне рівняння коливань

_, , 0 < х < (24)

з початковими умовами



(25)

_,

і однорідними граничними умовами

,

. (26)

Будемо шукати розв'язок задачі у вигляді розкладу в ряд Фур'є по х

, (27)

розглядаючи при цьому як параметр. Для знаходження треба визначити функцію . Представимо функцію і початкові умови у вигляді рядів Фур'є:

, ;

, ; (28)

, .

Підставляючи передбачений вигляд розв'зку (27) у вихідне рівняння (24)

,

бачимо, що воно виконуэться, якщо всі коефіцієнти розкладу дорівнюють нулю, тобто

. (29)

Для визначення ми одержали звичайне диференціальне рівняння з сталими коефіцієнтами. Початкові умови дають:

,

,

звідки випливає:

,

(30)

.

Ці додаткові умови повністю визначають розв'язок рівняння (29). Функцію можна представити у вигляді

,

де

(31)

є розв'язком неоднорідного рівняння з нульовими початковими умовами і

(32)

-- розв'язок однорідного рівняння із заданими початковими умовами. Таким чином, шуканий розв'язок запишеться у вигляді

+

(33)

Друга сума представляє розв'язок задачі про вільні коливання струни при заданих початкових умовах і була нами досліджена раніше досить докладно. Звернемося до вивчення першої суми, що представляє вимушені коливання струни під дією зовнішньої сили при нульових початкових умовах. Користуючись виразом (49) для , знаходимо:

, (34)

де

 . (35)

3. Загальна перша крайова задача

Розглянемо загальну першу крайову задачу для рівняння коливань: знайти розв'язок рівняння

, 0 < х < , > 0 (24)

з додатковими умовами

; (25)

_,

,

. (26)

Введемо нову невідому функцію , поклавши :

,

так, що представляє відхилення функції від деякої відомої функції .

Ця функція буде визначатися як розв'язок рівняння

,

з додатковими умовами

_, ,

_, ;

, ,

, .

Виберемо допоміжну функцію , таким чином, щоб

і ;

для цього досить покласти

.

Тим самим загальна крайова задача для функції зведена до крайової задачі для функції при нульових граничних умовах. Метод розв'язанння цієї задачі викладений вище.

4. Крайові задачі зі стаціонарними неоднорідностями

Досить важливим класом задач є крайові задачі зі стаціонарними неоднорідностями, коли граничні умови й права частина рівняння не залежать від часу

, (24ґ )

(25ґ )

_,

, , (26ґ )

_.

У цьому випадку розв'язок природньо шукати у вигляді суми

,

де -- стаціонарний стан (статичний прогин) струни, обумовлений умовами

,

,

,

а -- відхилення від стаціонарного стану. Неважко бачити, що функція рівна:

.

Зокрема, якщо _, то

.

Функція , очевидно, задовільняє однорідне рівняння:

з однорідними граничними умовами

,

і початковими умовами

_, ,

.

Таким чином, є розв'язком найпростішої крайової задачі, розглянутої нами в п. 1 даного параграфа.

5. Задачі без початкових умов

Як було показано вище, задача про коливання струни при заданому граничному режимі може бути зведена до розв'язання неоднорідного рівняння з нульовими граничними умовами.

Однак цей прийом найчастіше ускладнює розв'язання задачі, яке може бути знайдене безпосередньо.

При вивченні впливу граничного режиму важливо знайти який-небудь частинний розв'язок (однорідного рівняння), що задовольняє заданим граничним умовам, тому, що обчислення похибок початкових даних зводиться до розв'язання того ж рівняння з нульовими граничними умовами.

Досить важливим класом задач про поширення граничного режиму є «задачі без початкових умов».

Якщо граничний режим діє досить довго, то завдяки тертю, властивому всякій реальній фізичній системі, вплив початкових даних із часом слабшає. Таким чином, ми природньо приходимо до задачі без початкових умов (І):

знайти розвязок рівняння

(),, (36)

при заданих граничних умовах:

,

.

Цю задачу назвемо задачею ().

Доданок у правій частині рівняння відповідає тертю, пропорційному швидкості.

Розглянемо спочатку задачу про поширення періодичного граничного режиму:

(або ), (37)

. (38)

Для подальшого, нам зручніше записати граничну умову у комплексній формі

. (39)

Якщо

задовільняє рівняння (36) із граничними умовами (37) і (39), то і - його дійсна й уявна частини - окремо задовольняють те ж рівняння (в силу його лінійності), умову (38) і граничні умови при :

,

.

Отже, знайдемо розв'язок задачі:

,

, (40)

.

Припустивши,

і підставляючи цей вираз в рівняння, одержимо для функції Х(х) наступну задачу:

(), (41)

, (42)

. (43)

З рівняння (41) і граничної умови (42) знаходимо:

.

Умова при х = дає:

, (44)

так, що

, (45)

де і -- дійсна й уявна частини Х(х).

Шуканий розв'язок можна представити у вигляді:

,

де

,

.

Перейшовши до границі, при , отримаємо, що

(46)

і, відповідно,

=, (47)

=. (48)

Розглянемо наступну задачу:

, , ;

, ;

,

яку будемо називати задачою (. Очевидно, що і є розв'язками задачі ( при граничних умовах:

, ,

.

Розв'язок задачі при існує не завжди. Якщо частота вимушених коливань збігається із власною частотою коливань струни із закріпленими кінцями

,

то знаменник у формулах для і перетворюється в нуль і розв'язок задачі без початкових умов не існує.

При наявності тертя () режим, що встановився, можливий при будь-якому , тому, що при комплексному .

Якщо ,а - періодична функція, що може бути представлена у вигляді ряду:

, (49)

де -- найменша частота, і -- коефіцієнти Фур'є, то розв'язання задачі для випадку отримує вигляд

,

якщо тільки жодна із частот не збігається із власними частотами закріпленої струни.

Якщо ж неперіодична функція, то, розкладаючи її в інтеграл Фур'є, аналогічним методом можна одержати розв'язання в інтегральній формі.

Відмітимо, що розв'язання задачі без початкових умов при визначене неоднозначно, якщо тільки не накладати яких-небудь додаткових умов. Насправді, додаючи до якого-небудь розв'язку цієї задачі будь-яку комбінацію стоячих хвиль

,

де і -- довільні сталі, бачимо, що ця сума буде задовільняти те ж рівняння й ті ж граничні умови.

Щоб одержати єдине розвязання задачі при , введемо додаткову умову «зникаючого тертя»: розв'язання задачі ми називаємо задовільняючим умові «зникаючого тертя», якщо воно є розв'язком задачі при .

Аналогічно розв'язується задача, якщо кінець закріплений, а при х = 0 заданий граничний режим.

Розвязок загальної задачі без початкових умов

,

визначається у вигляді суми двох доданків, для кожного з яких неоднорідна лише одна із граничних умов.

6. Загальна схема методу поділу змінних

Метод поділу змінних застосуємо не тільки для рівняння коливань однорідної струни, але й для рівняння коливань неоднорідної струни. Розглянемо наступну задачу:

знайти розв'язок рівняння

,,, (50)

що задовільняє умови

, , (51)

, , . (52)

Тут -- неперервні на відрізку додатні функції ().Проведемо розв'язання цієї задачі методом поділу змінних.Для відшукання частинних розв'язків звернимося,як і раніше, до допоміжної задачі про існування стоячих хвиль:

знайти нетривіальний розв'язок рівняння (50), що задовільняє граничні умови

,

і подається у вигляді добутку

.

Підставляючи припущений вигляд розв'язку у рівняння і використовуючи граничні умови, після поділу змінних отримуємо :

,

.

Для визначення функції ми отримали наступну крайову задачу на власні значення:

знайти ті значення параметра , при яких існують нетривіальні розв'язки задачі:

, (53)

, Х() = 0, (54)

а також знайти ці розв'язки. Такі значення параметра , називаються власними значеннями, а відповідні їм нетривіальні розв'язки -- називаються власними функціями задачі (53) - (54).

Сформулюємо основні властивості власних функцій і власних значень крайової задачі (53) і (54), необхідні для подальшого викладу.

1. Існує злічена множина власних значень , яким відповідають нетривіальні розв'язки задачі -- власні функції

2. При всі власні значення додатні.

3. Власні функції та при ортогональні між собою з вагою на відрізку :

(). (55)

4. (Теорема розкладу В.А. Стєклова.) Довільна функція , двічі неперервно диференційовна і задовільняє граничні умови , розкладається у рівномірно і абсолютно збіжний ряд по власним функціям :

, , (56)

.

Доведення тверджень 1 і 4 ґрунтується звичайно на теорії інтегральних рівнянь, і ми не будемо тут його приводити. Ми зупинимося на доведенні властивостей 2 і 3.

Перш, ніж ми перейдемо до доведення цих властивостей, виведемо так звану формулу Гріна. Нехай і -- довільні функції, двічі дифференційовні на інтервалі а < х < b і мають неперервну першу похідну по відрізку . Розглянемо вираз:

u.

Інтегруючи цю рівність по від a до , отримаємо формулу Гріна:

?_a^b. 7)

Доведемо властивість 3. Нехай і - дві власні функції,що відповідають власним значенням і . Поклавши у формулі (57) , і враховуючи граничні умови (54), будемо мати:

 (a = 0, ),

звідки, користуючись рівнянням (87), одержуємо:

.

Таким чином, якщо , то має місце умова

, (58)

що виражає ортогональність із вагою власних функцій і _.

Доведемо тепер, що кожному власному значенню відповідає з точністю до постійного множника тільки одна власна функція. Насправді, усяка власна функція визначається однозначно як розв'язок диференціального рівняння 2-го порядку за значенням самої функції і її першої похідної при х = 0. Допустивши існування двох функцій і ,що відповідають тому самому значенню і, що перетворюються в нуль при , і беручи функцію

,

бачимо, що ця функція задовольняє те ж рівняння 2-го порядку (53) і ті ж початкові умови, що й функція :

,

.

Тим самим доведено, що і що

( ).

Відзначимо, що в процесі доведення ми використали умову , яке безумовно виконується,тому,що розв'язок лінійного рівняння (53), обумовлене початковими умовами

, ,

тотожно дорівнює нулю й тим самим не може бути власною функцією.

У силу лінійності й однорідності рівняння й крайових умов очевидно, що якщо є власною функцією при власнім значенні , то функція ( -- довільна стала) також є власною функцією для того ж . Вище було доведено, що цим цілком вичерпується клас власних функцій. Власні функції, що відрізняються множником, ми, зрозуміло, не вважаємо суттєво різними. Щоб виключити невизначеність у виборі множника, можна власні функції нормувати (поставити таку вимогу):

.

Якщо деяка функція не задовольняє цю вимогу, то її можна «нормувати», помноживши на коефіцієнт :

, .

Якщо піддати власні функції задачі (53) -- (54) умові нормування (= 1), то вони утворять ортогональну й нормовану систему

Звернемося до доведення властивості 2. Доведемо, що при .Нехай -- нормована власна функція, відповідна до власного значення , так що

.

Помноживши обидві частини цієї рівності на і інтегруючи по від 0 до ,отримаємо:

,

або

,

так як функція передбачається нормованою. Інтегруючи частинами і використовуючи граничні умови (54), отримуємо:

?₀^l +

, (59)

звідки й випливає, що

,

тому, що за умовою і .

Залишаючи доведення теореми розкладу осторонь, зупинимося коротенько на обчисленні коефіцієнтів розкладу.

Неважко бачити, що

. (60)

Насправді, помноживши обидві частини рівності

на , інтегруючи по від 0 до та враховуючи ортогональність власних функцій, отримаємо записаний вище вираз для коефіцієнтів (коефіцієнтів Фур'є).

Повернемося тепер до рівняння із частинними похідними. Для функції ми маємо рівняння

(61)

без яких-небудь додаткових умов. У силу доведення його розв'язок має вигляд

,

де і -- невизначені коефіцієнти. Таким чином, допоміжна задача має незлічену множину розв'язків виду

.

Звернемося до розв'язання задачі із заданими початковими умовами. Будемо шукати розв'язок у вигляді

(62)

Формальна схема виконання початкових умов (52) ґрунтується на теоремі розкладу 4 і проводиться зовсім так само, як і для однорідної струни. З рівностей

,

знаходимо, що

, , (63)

де і -- коефіцієнти Фур'є функцій і при розкладі по ортогональній з вагою у системі функцій {}.

Обмежуючись загальною схемою методу поділу змінних, ми не приводимо умов застосування цього методу як відносно коефіцієнтів рівняння, так і відносно початкових функцій.

Основні роботи з обґрунтування цього методу належать В. А. Стєклову.

Висновки

В даній курсовій роботі було розкрито поняття гіперболічного рівняння і сутність методу Фур'є. Цей метод досить часто використовується і його сутність полягає у наступному:

1. знаходимо розв'язок гіперболічного рівняння, що задовільняє лише крайові умови (3), серед функцій виду ;

2. розв'язуєм задачу Штурма-Ліувіля для функції ;

3. для кожного власного значення знаходемо розв'язок рівняння (8). Загальний розв'язок якого має вигляд ;

4. частинними розв'язками гіперболічного рівняння, що задовільняє умови (2), є функції виду _п(х,t)=Х_п(х)Т_п(t)=(;

5. беремо суму таких частинних розв'язків по всім власним функціям , що й буде розв'язком даного рівняння.

Отже, метод Фур'є є найважливішим методом розв'язання рівнянь в частинних похідних, що використовуються у фізичній теорії. Дуже важливою є формула (17) -розклад загального розв'язку по власним функціям задачі. Такий розклад можливий в будь-яких крайових задачах. Звичайно, вигляд власних функцій може бути іншим (він визначається виглядом диференціального рівняння

Список використаної літератури

1. Тихонов А.Н., Самарский Д.А. Уравнения математической физики. М., Гостехиздат, 1966.

2. Очан Ю.С. Методы математической физики. М., «Высшая школа», 1965.

3. Араманович И.Г., Левин В.И. Уравнения математической физики, М., «Наука», 1964.

4. Лагалли М. Векторное исчисление. М., ОНТИ, 1936.

5. Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. М., ОНТИ, 1934.

6. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М., «Наука», 1964.

7. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М., Гостехиздат, 1950.

8. Смирнов Н.В., Дунин-Барковский И.В. Курс теории вероятностей и математической статистики. М., «Наука», 1965.

9. Мисюркеев И.В. Сборник задач по методам математической физики. М., «Просвещение», 1964.

10. Очан Ю.С. Сборник задач по методам математической физики. М., «Высшая школа», 1967.

11. Семянистый В.И. Задачник-практикум по курсу «Методы математической физики». М., «Просвещение», 1965.

Размещено на Allbest.ru