Статистическая обработка результатов эксперимента

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

КУРСОВАЯ РАБОТА

на тему: «Статистическая обработка результатов эксперимента»

Содержание

Введение

1. Анализ результатов эксперимента

1.1 Оценка надежности аналитической методики

1.2 Дисперсионный анализ результатов

1.3 Аппроксимация результатов эксперимента

2. Описание многофакторной системы

2.1 Расчет линейного уравнения связи (полинома I степени)

2.2 Расчет полного квадратного уравнения (полинома II степени)

3. Расчет технологического аппарата

3.1 Определение типа химического реактора

3.2 Определение объема химического реактора

Выводы

Список литературы

Введение

Целью курсовой работы является выполнение расчетов, связанных с оценкой факторов, определяющих течение технологического процесса, получение его математического описания, выполнение статистического анализа имеющейся информации, определение параметров технологического процесса и промышленного аппарата с использованием типовых моделей структуры потоков. дисперсионный линейный уравнение эксперимент

Перед студентом впервые за время обучения ставится комбинированная задача, решить ее он должен самостоятельно, используя комплексно теоретические знания, полученные по химии, физике, высшей математике, инженерной графике, вычислительной технике.

Основная часть курсовой работы разбита на 3 раздела и включает 7 расчетных заданий. Выполняются следующие расчеты:

- оценка надежности аналитической методики по данным опыта;

- дисперсионный анализ результатов опытов;

- аппроксимация результатов эксперимента;

- расчет коэффициентов линейного уравнения (полинома I степени);

- расчет коэффициентов полного квадратного уравнения (полином II степени);

- определение типа химического реактора по С - выходной кривой;

- расчет объема химического реактора.

1. Анализ результатов эксперимента

Эксперимент - это совокупность действий, направленных на установление взаимосвязи между входными и выходными параметрами системы. Входные параметры (воздействия, оказываемые на систему) иначе называют факторами, а выходные параметры (воздействия, оказываемые системой на окружающую среду) - откликами.

Приняты следующие обозначения: Х - входной параметр; Y - выходной параметр.

Основными этапами эксперимента являются:

- выбор объекта исследования;

- установление параметров (входных и выходных), значения которых должны быть определены в ходе эксперимента;

- выбор и оценка надежности аналитических методик для определения значений параметров;

- проведение дисперсионного анализа с целью установления существенности влияния выбранных факторов;

- проведение основного эксперимента;

- аппроксимация результатов эксперимента с целью получения уравнения связи, которое наилучшим образом будет их описывать;

- установление значений входных параметров, при которых получается оптимальные значения выходных параметров;

- графическая интерпретация полученных результатов с целью более наглядного их представления.

Эксперимент состоит из ряда опытов, в которых могут производиться параллельные определения. В опытах значения хотя бы одного фактора меняется, а параллельные определения осуществляются в строго идентичных условиях.

1.1 Оценка надежности аналитической методики

Аналитическая методика - это строгая последовательность действий, направленных на определение значений какого - либо параметра.

Аналитическая методикам считается надежной, если ее относительная максимальная погрешность не превышает некоторого установленного значения (обычно не более 5 %). При наличии нескольких методик для определения одного и того же параметра желательно выбрать ту, у которой погрешность наименьшая. Погрешность методики оценивается по результатам параллельных определений одного опыта.

Исходные данные для оценки аналитической методики:

X	X = const
Y	19,5	19,0	19,9	17,6	18,1	20,4	18,5

1) Определение среднего значения выходного параметра:

,

где m - число параллельных определений;

.

2) Определение выборочной дисперсии, которая характеризует меру отклонения (рассеивания) результатов параллельных определений от их среднего значения:

,

где f_u = m - 1 - число степеней свободы выборочной дисперсии; f_u = 7 - 1 = 6;

.

3) Определение средней квадратичной погрешности отдельного или единичного результата:

.

4) Проверка результатов на анормальность (на наличие промахов).

Анормальный результат (иначе промах, грубая ошибка) - это резко отклоняющийся результат из серии параллельных определений, полученный в результате грубой ошибки со стороны исследователя.

Обнаружение анормальных результатов проводится 2 способами:

а)с помощью критерия промаха К (грубый способ):

К = 3S_u; Y_ср - К ? Y ? Y_ср + К;

К = 31,0033 = 3,01;

19,00 - 3,01 ? Y ? 19 + 3,01;

15,99 ? Y ? 22,01

Вывод: анормальных результатов не обнаружено, так как все результаты параллельных определений попадают в данный интервал.

б)с помощью критерия анормальности Н (самый точный способ):

; ;

Н_табл = f(б;m);

; ;

.

Вывод: так как оба расчетных значения критерия анормальности (для минимального и максимального результатов) не превышают табличного, то анормальных результатов среди параллельных определений нет.

5)Определение средней квадратичной погрешности среднего арифметического результата:

;

.

6)Определение табличного значения критерия Стьюдента, который представляет собой нормированную погрешность:

,

где б - уровень значимости, показывающий допустимую долю (или процент) ошибок; в расчетах чаще всего принимают значение б=0,05;

.

7)Определение абсолютной максимальной погрешности опыта:

;

.

8)Определение относительной максимальной погрешности опыта, %:

;

.

Главный вывод: так как относительная максимальная погрешность опыта не превышает 5%, то аналитическую методику можно считать надежной и она может быть использована для определения параметра Y в последующем эксперименте.

9)Установление доверительного интервала, т.е. интервала в котором находится истинное значение параметра Y с вероятностью Р = 1 - б:

;

P=1 - 0,05= 0,95 (95%);

;

10)Установление стабильности параметра Y по коэффициенту вариации, %:

;

.

Если 5%, то параметр Y стабилен, т.е. во времени не изменяется. Процесс, у которого все параметры стабильны, называется стационарным.

Вывод: так как коэффициент вариации превышает 5%, то параметр Y является нестабильным, т.е. изменяется во времени.

11)Установление необходимого числа параллельных определений для получения результатов с погрешностью, не превышающей 5%:

; ;

Вывод: в каждом опыте требуется производить не менее семи параллельных определений.

1.2 Дисперсионный анализ результатов опытов

Проведение дисперсионного анализа позволяет выделить факторы, существенно влияющие на систему. Факторы, влияние которых на процесс несущественно, в дальнейшем из рассмотрения исключают.

Для дисперсионного анализа требуется провести несколько опытов (с параллельными определениями), изменяя значения исследуемого фактора.

Исходные данные для дисперсионного анализа результатов опытов:

Опыт	Параллельные определения
	Y1	Y2	Y3	Y4
1	8,2	8,5	8,3	8,4
2	12,5	12,4	12,0	12,3
3	15,6	15,5	15,4	15,9

1) Определение среднего значения параметра в каждом опыте:

где m - число параллельных определений в i - том опыте;

2) Определение выборочной (построчной) дисперсии для каждого опыта - меры отклонения результатов параллельных определений в каждом из опытов от соответствующей им средней величины:

,

где - число степеней свободы дисперсии;

;

;

;

;

3) Проверка однородности дисперсий и воспроизводимости опытов по критерию Кохрена:

; ;

;

.

Вывод: G_max < G_табл, следовательно, дисперсии однородны, а опыты воспроизводимы, т.е. выполнены с заданной степенью точности.

4) Определение внутригрупповой дисперсии - средней меры отклонения всей совокупности результатов параллельных определений от соответствующих им средних значений в каждом из опытов:

,

где n - число опытов;

;

Число степеней свободы внутригрупповой дисперсии:

;

.

5) Определение среднего значения параметра во всем эксперименте:

;

.

6) Определение межгрупповой дисперсии - меры отклонения средних значений параметра в опытах от среднего значения этого параметра во всем эксперименте:

,

где - число степеней свободы межгрупповой дисперсии,

;

.

7) Определение критерия Фишера:

; ,

где б - уровень значимости;

; .

Если , то фактор X существенно влияет на систему и, следовательно, должен учитываться при нахождении уравнения связи.

Вывод: так как F > F_табл, то фактор Х существенно влияет на систему.

1.3 Аппроксимация результатов эксперимента

Аппроксимация проводится с целью установления уравнения связи между входными и выходными параметрами.

Аппроксимацию условно можно разделить на три части:

I часть - построение графика по опытным данным и установление по виду графика возможных видов уравнений связи для их описания;

II часть - определение коэффициентов предполагаемого уравнения связи (или нескольких уравнений);

III часть - оценка надежности полученного уравнения; при наличии нескольких уравнений оценивается надежность каждого уравнения и выбирается более точное.

Для определения коэффициентов уравнений связи можно использовать следующие методы:

Графический - используется в случае линейного уравнения или уравнения, приведенного к линейному виду (линеаризованного) - является самым грубым. Свободный коэффициент определяется как отрезок, отсекаемый прямой от оси ординат, а коэффициент при Х - как тангенс угла наклона прямой к положительной оси абсцисс.

Метод избранных точек - предполагает выбор двух (по числу коэффициентов уравнения) опытных точек, через которые проходит прямая, и решение системы из двух уравнений. Система уравнений составляется путем подстановки выбранных опытных значений X и Y в исходное уравнение.

Метод средних (метод уравновешенной погрешности) - предполагает использование всех опытных данных. Полученная при постановке опытных значений система из n уравнений делится настолько примерно равных частей, сколько коэффициентов. В каждой части уравнения почленно складываются.

Метод наименьших квадратов - основан на условии минимальности суммы квадратов разности опытных значений и соответствующих им расчетных значений.

Исходные данные для аппроксимации результатов эксперимента:

Х	1	2	3	4	5	6	7
Y	8,4	8,7	9,3	10,0	15,7	28,3	62,8

I часть. Построение графика по опытным данным.

Уравнение связи имеет вид .

II часть. Определение коэффициентов уравнения .

Так как уравнение нелинейное, проведем его линеаризацию путем замены переменной X: .

;

В результате получаем данные для определения коэффициентов уравнения:

Х*	2,718	7,389	20,086	54,598	148,413	403,429	1096,633
Y	8,4	8,7	9,3	10,0	15,7	28,3	62,8

Метод средних. Используем все пары значений Y и Х^*, полученную систему уравнений делим на 2 части, в каждом уравнении почленно складываем:

Полученное уравнение: .

Графический метод. Строим график зависимости Y = f(X^*).

По графику определяем: 8,3 (отрезок отсекаемый прямой от оси ординат):

;

.

Получаем уравнение: .

Метод избранных точек. Выберем первую и четвертую опытные точки и соответствующие пары значений X^* и Y подставим в уравнение

:

;

;

;

Получаем уравнение: .

Метод наименьших квадратов. Расчетная система уравнений имеет вид:

Найдём каждую сумму:

Полученные значения подставим в расчетную систему и решим ее:

;

;

Таким образом, уравнение имеет вид: .

III часть. Оценка надежности уравнения (используем уравнение полученное самым точным методом).

Способ 1. Данный способ не используем, так как в опытах параллельные определения не проводились.

Способ 2.

1) Определение среднего значения параметра в эксперименте:

;

.

2) Определение дисперсии относительно среднего:

;

.

Число степеней свободы .

3) Определение расчетных значений параметра Y:

;

;

;

;

;

;

;

4) Определение остаточной дисперсии:

;

.

Число степеней свободы .

5) Определение критерия Фишера:

; .

Вывод: так как F >> F_табл , то уравнение надежно описывает опытные данные и имеет смысл по сравнению со средней величиной выходного параметра.

Способ 3.

1) Определение среднего значения параметра в эксперименте:

;

.

2) Определение Q (числитель дисперсии относительно среднего):

;

.

3) Определение расчетных значений параметра Y:

;

;

;

;

;

;

;

4) Определение Q_ост (числитель остаточной дисперсии):

;

.

5) Определение Q₁:

;

.

6) Определение критерия Фишера:

; .

Вывод: так как F>>F_табл, то уравнение надежно описывает опытные данные.

Способ 4.

; ;

Х*	2,718	7,389	20,086	54,598	148,413	403,429	1096,633
Y	8,4	8,7	9,3	10,0	15,7	28,3	62,8

7) Определение средних значений параметров (с учетом замены переменной X):

.

8) Определение среднего квадратичного отклонения параметров:

;

9) Определение выборочного коэффициента корреляции:

Так как , то между величинами Х^* и Y существует строгая функциональная зависимость, причем с увеличением одной переменной другая также увеличивается и наоборот.

Вывод: результаты эксперимента надежно описываются уравнением .

2. Описание многофакторной системы

Многофакторная система - это система, на которую действуют несколько факторов. Для математического описания таких систем часто используются алгебраические полиномы. В случае двухфакторной системы полином первой I степени (линейное уравнение связи) имеет вид неполный полином II степени (неполное квадратное уравнение) - полный полином II степени -

2.1 Расчет линейного уравнения связи (полинома I степени)

Исходные данные для расчёта линейного уравнения:

X1	X2	Y
45,0	13	1,3
14,2	12	2,5
6,6	11	3,8

Подставляем опытные данные в уравнение: получаем следующую систему:

Решаем систему линейных уравнений по методу Крамера. Определители третьего порядка решаем разными способами (метод треугольников, разложение по элементам строки или столбца без зануления элементов и с занулением):

;

;

;

.

Рассчитаем значения коэффициентов:

Линейное уравнение связи имеет вид

Данное уравнение справедливо для области исследования факторов .

Построим линии равного отклика Y = 1,3 и Y = 2,5 (рисунок 3)

Так как уравнение линейное, то линии равного отклика представляют собой прямые, для построения которых достаточно двух точек. Координаты точек определяем, задав значение одного из факторов в пределах области его исследования (лучше брать минимальное или максимальное) и определив соответствующее ему значение другого фактора. Желательно, чтобы значение другого фактора тоже находилось в пределах соответствующей ему области исследования.

Расчет точек для построения линий равного отклика:

Линия	1-я точка	2-я точка
Y=1,3	(45 ; 13,0)	(6,6 ; 12,9)
Y=2,5	(45 ; 12,1)	(6,6 ; 12)

2.2 Расчет полного квадратного уравнения (полинома II степени)

Исходные данные для расчета полного квадратного уравнения:

X1	45	14,2	6,6	4,6	4,2	4,0
X2	13	12	11	10	9	8
Y	1,3	2,5	3,8	5,0	6,2	7,5

Подставляем исходные данные в полином II степени и получаем следующую систему:

Вычитаем первое уравнение из всех последующих с целью избавления от b₀ и получаем следующую систему:

Следовательно, полное квадратное уравнение (полином II степени) имеет вид: .

3. Расчет технологического аппарата

3.1 Определение типа химического реактора

Исходные данные для определения типа реактора:

ф, мин	0	1	2	3	4	5	6	7	8
Сп, г/л	7	4	3	2,4	1,8	1,3	0,8	0,4	0

Среднее время пребывания индикатора в системе:

мин.

Уравнение для расчета безразмерного времени:

Условная концентрация индикатора на входе:

где Дф - интервал отбора проб.

Так как по условию задачи Дф = const, то

.

Уравнение для расчета безразмерной концентрации:

В результате получаем безразмерные величины для построения С - выходной кривой:

и	0	0,54	1,08	1,61	2,15	2,69	3,23	3,76	4,3
С	0,63	0,36	0,27	0,22	0,16	0,12	0,07	0,04	0

Строим С - выходную кривую C = f(и) в равных масштабах по осям.

Согласно визуальной оценке С - выходной кривой реактор следует модели идеального смешения и называется реактором смешения.

Для окончательного вывода о типе реактора проведем статистическую оценку С - выходной кривой.

1) Определение размерной дисперсии:

2) Определение безразмерной дисперсии:

;

.

3) Определение обратной величины диффузионного критерия Пекле:

;

.

Так как , то реактор следует модели идеального смешения и называется реактором смешения.

3.2 Определение объема химического реактора

Реакция 3А + В ^k С.

;

моль/м³;

;

м³/с.

1) Найдем конечную концентрацию реагента А:

моль/м³.

2) Установим размерность константы скорости химической реакции, используя уравнение скорости реакции по закону действующих масс:

;

3) Рассчитаем реактор смешения:

Выбираем стандартный аппарат объемом 25 м³.

Выводы

1.1 Аналитическая методика надёжна, т.к. ее относительная максимальная погрешность не превышает 5 %.

1.2 Фактор существенно влияет на систему, т.к расчетное значение критерия Фишера превышает табличное.

1.3 Результаты эксперимента надежно описываются уравнением .

2.1 Линейное уравнение связи имеет вид

2.2 Полное квадратное уравнение связи имеет вид .

3.1 Химический реактор следует модели идеального смешения и называется реактором смешения.

3.2 Необходимый объём реактора смешения составляет 25 м³.

Список литературы

1. Цаплина С.А. Методы математического моделирования.: учебное пособие. - Архангельск: Издательство Архангельского государственного университета, 2007.

2. СТО 01.04 - 2005 Работы студентов. Общие требования и правила оформления.

Размещено на Allbest.ru