Кривые на плоскости

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки РФ

Федеральное Агентство по образованию

Национальный исследовательский

Иркутский Государственный Технический Университет

Кафедра математики

Реферат

На тему: Кривые на плоскости

Иркутск, 2011 г.

Общее уравнение кривой второго порядка имеет вид:

a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2a1x +2a2y +a = 0.

Предполагается, что среди коэффициентов уравнения a11, a12, a22 есть отличные от нуля.

Уравнение окружности с центром в точке С(a, b) и радиусом, равным R:

(x - a)2 + (y - b)2 = R2.

Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний которых от двух данных точек F1 и F2 (фокусов) есть величина постоянная, равная 2a.

Каноническое (простейшее) уравнение эллипса:

x2/a2 + y2/a2 = 1.

Эллипс, заданный уравнением (2.10), симметричен относительно осей координат. Параметры a и b называются полуосями эллипса.

Пусть a>b, тогда фокусы F1 и F2 находятся на оси Оx на расстоянии c=  от начала координат. Отношение c/a = e < 1 называется эксцентриситетом эллипса. Расстояния от точки M(x, y) эллипса до его фокусов (фокальные радиусы-векторы) определяются формулами:

r1 = a - x, r2 = a +ex.

уравнение кривая эллипс гипербола

Если же a < b, то фокусы находятся на оси Оy, c=, e = c/b, r1 = b + ex, r2 = b - x. <1--уравнение-->

Если a = b, то эллипс является окружностью с центром в начале координат радиуса a.

Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний которых от двух данных точек F1 и F2 (фокусов) равна по абсолютной величине данному числу 2a.

Каноническое уравнение гиперболы:

x2/a2 - y2/b2 = 1.

Гипербола, заданная уравнением (2.11), симметрична относительно осей координат. Она пересекает ось Оx в точках A (a,0) и A (-a,0) - вершинах гиперболы и не пересекает ось Оy. Параметр a называется вещественной полуосью, b - мнимой полуосью. Параметр c= есть расстояние от фокуса до начала координат. Отношение c/a = >1 называется эксцентриситетом гиперболы. Прямые, уравнения которых y = b/a x называются асимптотами гиперболы. Расстояния от точки M(x,y) гиперболы до ее фокусов (фокальные радиусы-векторы) определяются формулами:

r1 = x - a, r2 = x + a.

Гипербола, у которой a = b, называется равносторонней, ее уравнение x2 - y2 = a 2, а уравнение асимптот y = ± x. Гиперболы x2/a2 - y2/b2 = 1 и y2/b2 - x2/a2 = 1 называются сопряженными.

Параболой называется геометрическое место точек, одинаково удаленных от данной точки (фокуса) и данной прямой (директрисы).

Каноническое уравнение параболы имеет два вида:

1) y2 = 2рx - парабола симметрична относительно оси Оx.

2) x2 = 2рy - парабола симметрична относительно оси Оy.

В обоих случаях р>0 и вершина параболы, то есть точка, лежащая на оси симметрии, находится в начале координат.

Парабола, уравнение которой y 2 = 2рx имеет фокус F( р/2,0) и директрису x = - р/2, фокальный радиус-вектор точки M(x,y) на ней r = x+ р/2.

Парабола, уравнение которой x2 =2рy имеет фокус F(0, р/2) и директрису y = - р/2; фокальный радиус-вектор точки M(x,y) параболы равен r = y + р/2.

Уравнение F(x, y) = 0 задает линию, разбивающую плоскость на две или несколько частей. В одних из этих частей выполняется неравенство F(x, y)<0, а в других - неравенство F(x, y)>0.

Иными словами, линия F(x, y)=0 отделяет часть плоскости, где F(x, y)>0, от части плоскости, где F(x, y)<0.

Прямая, уравнение которой Ax+By+C = 0, разбивает плоскость на две полуплоскости.

На практике для выяснения того, в какой полуплоскости мы имеем Ax+By+C<0, а в какой Ax+By+C>0, применяют метод контрольных точек. Для этого берут контрольную точку (разумеется, не лежащую на прямой, уравнение которой Ax+By+C = 0) и проверяют, какой знак имеет в этой точке выражение Ax+By+C. Тот же знак имеет указанное выражение и во всей полуплоскости, где лежит контрольная точка. Во второй полуплоскости Ax+By+C имеет противоположный знак.

Точно так же решаются и нелинейные неравенства с двумя неизвестными.

Например, решим неравенство x2-4x+y2+6y-12 > 0. Его можно переписать в виде (x-2)2 + (y+3)2 - 25 > 0.

Уравнение (x-2)2 + (y+3)2 - 25 = 0 задает окружность с центром в точке C(2,-3) и радиусом 5. Окружность разбивает плоскость на две части - внутреннюю и внешнюю.

Чтобы узнать, в какой из них имеет место данное неравенство, возьмем контрольную точку во внутренней области, например, центр C(2,-3) нашей окружности.

Подставляя координаты точки C в левую часть неравенства, получаем отрицательное число -25. Значит, и во всех точках, лежащих внутри окружности, выполняется неравенство x2-4x+y2+6y-12 < 0. Отсюда следует, что данное неравенство имеет место во внешней для окружности области.

Размещено на Allbest.ru