Решение системы уравнений. Исследование функций. Определение производных, интегралов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Негосударственное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

Западно-Сибирский Институт Финансов и Права

Экономико-правовой факультет

Кафедра «менеджмента»

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине: математика

Вариант № 7

Нижневартовск 2012г.

№ 1. Исследовать систему на совместность и в случае совместности решить методом Гаусса

Решение:

Запишем расширенную матрицу системы и путем элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду.

Видим, что ранг матрицы системы равен рангу ее расширенной матрицы, т.е. , поэтому система совместна.

Ранг матрицы системы , число неизвестных , .

Следовательно, независимых неизвестных будет две. Возьмем в качестве их переменные и , тогда зависимые переменные -- и .

Последней матрице соответствует система: (2)

Перепишем систему в виде:

Решая систему снизу вверх, выражаем зависимые переменные через свободные:



Итак, общее решение системы уравнений:

Придавая независимым переменным произвольные числовые значения, можно получить различные частные решения системы. Например, при , получим , .

№ 2. Решить систему линейных алгебраических уравнений двумя способами:

1) методом Крамера; 2) средствами матричного исчисления;

(1)

Решение:

Составим расширенную матрицу системы:

Выполним элементарные преобразования строк матрицы .

Умножив третью строку на (-2), прибавим ее ко второй. Затем третью же строку умножим на (-3) и прибавим к первой.

Получаем:

Поменяем местами первую и третью строки. Затем, умножив вторую строку на (-1), прибавим к третьей:

Полученная матрица имеет треугольный вид. Видим, что ранг матрицы системы равен рангу ее расширенной матрицы, т.е. , значит, система (1) совместна.

1. Решим систему по формулам Крамера.

Запишем определители и вычислим их.

.

; ;

Ответ: , ,

2. Решим систему средствами матричного исчисления.

система (1) в матричной форме имеет вид:

где ; ;

Тогда решение запишется в виде: , где -- обратная к матрице

Для решения матричного уравнения воспользуемся формулой:

,

где -- матрица, составленная из алгебраических дополнений элементов матрицы

Найдем обратную матрицу . Для этого вычисляем определитель матрицы :

Находим алгебраические дополнения к элементам матрицы :

; ; ;

; ; ;

; ;

Составляем матрицу: и транспонируем ее:

Тогда обратная матрица:

.

Теперь находим решение системы:

.

Итак, , ,

№ 3. Даны координаты точек М₁, М₂, М₃, М₄ в пространстве

1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки М₁, М₂, М_3.

2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М₄,параллельно плоскости М₁М₂М₃.

3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М₄, перпендикулярно вектору

4. Вычислить объем пирамиды с вершинами в данных точках

Решение:

1. Уравнение плоскости, проходящей через точки , , :

. (4)

Тогда уравнение плоскости :

или, .

Раскрываем определитель:

,

-- уравнение плоскости .

2. Известно, что уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярно вектору , имеет вид:

.

Теперь запишем уравнение связки плоскостей, проходящих через данную точку:

, или, .

Нормальный вектор искомой плоскости совпадает с нормальным вектором плоскости , следовательно, и уравнение искомой плоскости примет вид:

, или, .

3. Найдем координаты вектора .

Уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярно вектору , имеет вид:

.

Тогда для точки и вектора получим:

, или,

.

4. Объем V пирамиды равен объема параллелепипеда, построенного на векторах , , , т.е.

. (2)

,

,

.

Найдем смешанное произведение:

.

Получаем:

№ 4. Вычислить следующие пределы

1) т.к. при дроби ;

2) ;

3)

;

4)

;

уравнение функция производный интеграл

5)

№ 5. Найти производные данных функций, используя правила вычисления производных.

а) .

;

б) .

;

в)

;

г) .

;

д) .

;

е) .

Применяя логарифмическое дифференцирование, последовательно находим:

,

,

,

,

, ,

ж) .

Дифференцируем функцию, полагая, что y -- функция от x.

,

,

,

,

,

.

з) .

, ,

.

№ 6. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и, используя результаты исследования построить график.

.

Решение:

1. D(у) =

2. Т.к. и , то функция ни четной, ни нечетной не является. Поэтому график не симметричен ни относительно оси OY, ни относительно начала координат.

3. Найдем точки пересечения графика с осями координат.

Т.к. у(0) = 0, то (0, 0) -- точка пересечения с ОУ.

Т.к. у = 0 при х = 0, то (0,0) -- единственная точка пересечения с осями ОХ и ОУ.

4. Найдем асимптоты графика функций:

а) ,

прямая х = 0 -- вертикальная асимптота.

б) Т.к. то у = 4 -- горизонтальная асимптота.

в) k =, наклонных асимптот нет.

5. Найдем промежутки возрастания, убывания точки экстремума.

Найдем и точки, в которых = 0 или не существует.

=

= 0 при х = 0 и не существует при х = 1 но х = 1 D(у), значит, критической не является.

при любых

Поэтому функция убывает на всей области определения.

6. Найдем промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба.



. при , .

При график вогнутый,

а при график выпуклый.

При переходе через точки и вторая производная меняет свой знак. Поэтому х₁, х₂ является точками перегиба.

7. Строим график:

№ 7. Найти неопределенные интегралы:

а) ;

где C -- const;

б)

где C -- const;

в)

где C -- const;

г)

; где C -- const.

№ 8. Вычислить определенные интегралы:

а)

б) .

в)

№ 9. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , .

Решение:

Сделаем чертеж.

Воспользуемся формулой для нахождения площади фигуры

, где .

Тогда (кв.ед.)

б) Вычислить длину дуги кривой от до .

Решение:

Воспользуемся формулой:

.

Найдем и :

; .

Тогда

(ед.)

Ответ: l = ед.

№ 10. Найти общее решение дифференциального уравнения (или частное решение, удовлетворяющее данному начальному условию).

а) ;

Решение:

Разделяем переменные:

, .

Интегрируем обе части:

,

, , ,

.

Так как , то можно найти значение постоянной С, и частное решение исходного уравнения:

.

Тогда искомое решение: .

б) .

Решение:

Полагая , получим

,

,

,

, .

Интегрируем: , получаем: , , .

Возвращаясь к исходным переменным, получаем: , тогда искомое решение:

.

в) (1)

Решение:

Рассмотрим сначала однородное уравнение (2)

,

,

интегрируем: .

Для вычисления второй дроби разложим подынтегральную дробь на сумму элементарных дробей:

,

, -- решение однородного уравнения (2).

Решение неоднородного уравнения (1) ищем методом вариации произвольных постоянных в виде

.

,

Подставим выражения для y и в исходное уравнение (1), получим

,

,

,

, .

Значит,

,

где -- некоторая постоянная.

Итак,

, и .

Зная начальные условия , находим значение постоянной :

.

Тогда искомое частное решение: .

Размещено на Allbest.ru