Расчет вероятности событий

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Пример 1. Работа устройства прекратилась из-за выхода из строя одного из пяти одинаковых блоков. Тестировать прибор для определения неисправности в данных условиях невозможно. Поэтому решено последовательно производить замену каждого блока новым до тех пор, пока устройство не начнет работать. Какова вероятность того, что при таком способе придется заменить ровно 4 блока.

Решение

Обозначим через A_i событие «i-й заменяемый блок исправен», i=1,2,3,4, а через В-событие «будет заменено ровно 4 блока». Тогда событие В есть произведение событий . По формуле умножения вероятностей имеем:

поскольку

Ответ: 1/5.

Пример 2. Вероятность одного попадания в цель при одном залпе из двух орудий равна 0.38. Найти вероятность попадания в цель первым из орудий, если известно, что для второго орудия эта вероятность равна 0.8.

Решение

Обозначим через A_i событие «i-е орудие при одном выстреле попадает в цель», i=1,2, а через В-событие «одно попадание в цель при одном залпе». Тогда . Воспользуемся теоремой сложения: поскольку события и несовместны, то . Теперь воспользуемся теоремой умножения вероятностей: поскольку события и , и независимы, то

.

В итоге имеем:

откуда .

Ответ: 0.7.

Пример 3. Из партии в 20 деталей случайным образом для проверки отбирают три детали. Известно, что в партии содержится пять бракованных деталей. Найти вероятность того, что в числе отобранных есть хотя бы одна годная деталь.

Решение

Обозначим через В событие «среди отобранных трех деталей есть хотя бы одна годная». Тогда противоположное событие будет заключаться в том, что среди отобранных деталей нет годных вообще. Отсюда имеем: . Вероятность события определим с помощью классического определения вероятности: число всех возможных случаев отбора трех деталей из партии равно ; число случаев, благоприятствующих событию , равно . Отсюда . Итоговый ответ: .

Пример 4. Больница специализируется на лечении заболеваний А, Б и В. Количества больных, поступаюцих в эту больницу с заболеваниями А, Б, В находятся в отношении 5:3:2 соответственно. Вероятность полного излечения болезни А равна 0.7, для болезней Б и В эти вероятности соответственно равны 0.8 и 0.9. Найти вероятность того, что поступающий в больницу больной будет выписан здоровым.

Решение

Обозначим через Н₁, Н₂, Н₃ соответственно следующие события: «больной страдает болезнью А», «больной страдает болезнью Б», «больной страдает болезнью В».Пусть С означает событие «больной будет выписан здоровым». Поскольку Н₁, Н₂, Н₃ составляют полную группу попарно несовместных событий, то для определения вероятности события С применим формулу полной вероятности:

.

По условию, , . Кроме того, поскольку количества больных, страдающих болезнями А, Б и В, находятся в отношении 5:3:2, то , , .

В итоге имеем:

Ответ: 0.77

Пример 5. Решить предыдущую задачу при условии, что требуется найти вероятность того, что выписанный здоровым больной страдал болезнью В.

вероятность болезнь блок попадание

Решение

Сохраним обозначения, использованные при решении предыдущей задачи. В этих обозначениях требуется найти условную вероятность , где событие означает «выздоровевший больной страдал болезнью В». Воспользуемся формулой Байеса:.

Ответ: 2/11.

Пример 6. Отрезок разделен на две равные части. На отрезок наудачу брошено 20 точек. Найти вероятность того, что на левую часть отрезка попадет не менее трех, но не более пяти точек. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.

Решение

Будем считать, что точки бросаются на отрезок последовательно, и каждое бросание - отдельное испытание. Обозначим через А событие, что «очередная точка упала в левой части отрезка». По условию Р(А)=1/2. Вопрос задачи можно теперь переформулировать так: проводится 20 независимых испытаний; найти вероятность того, что событие А произойдет в трех, четырех или пяти из них. Если теперь обозначить через B_i событие, что «А произойдет ровно в i испытаниях», то А=B₃+B₄+B₅. Поскольку события B₃, B₄, B₅ попарно несовместны, то Р(А)=Р(B₃)+Р(B₄)+Р(B₅). Вероятности Р(B_i) найдем по формуле Бернулли:

.

В итоге имеем ответ: .

Размещено на Allbest.ru