Системы линейных уравнений

Размещено на http://www.allbest.ru/

Системы линейных уравнений

Содержание

1. Введение

2. Основные понятия и определения. Матричная запись линейной системы. Матричный метод решений

3. Правило Крамера

4. Теорема Кронекера-Капелли

5. Метод Гаусса

1. Введение

При исследовании количественных характеристик физических явлений мы прежде всего вскрываем простейшие связи между ними - линейные.

Так возникают линейные системы.

Например, в статических явлениях механики, электротехники, гидравлики и др. зависимость между физическими компонентами (сопротивление, напряжение, давление, движение рычага и др.) нередко является линейной.

Именно поэтому система линейных уравнений

.

Выражает:

А) в механике - равновесие сил для системы рычагов или пружин;

Б) в электромеханике - зависимость между величиной тока и активным сопротивлением в электрической цепи;

В) в строительстве - зависимость между силой и деформацией определенной конструкции.

Линейные системы, описывая качественно разные явления, вскрывают поразительное единство материального мира.

Поэтому решение линейных систем всегда интересовало математиков. В 1750 г. швейцарским математиком Г. Крамером на основе теории определителей был предложен метод исследования линейных систем, у которых число уравнений совпадает с числом неизвестных, носящий теперь название правила Крамера.

Через 100 лет немецким математиком Л. Кронекером и итальянским математиком Капели на основе понятия ранга матрицы было проведено полное исследование произвольной линейной системы.

И если вопросы, касающиеся числа решений линейной системы, решены давно, то численные методы, такие как правило Крамера, требуют больших вычислительных усилий, даже если они ведутся на ЭВМ.

2. Основные понятия и определения. Матричная запись линейной системы. Матричный метод решений

1. Системой из линейных уравнений с неизвестными называются соотношения вида

Здесь - неизвестные, - коэффициенты системы, - свободные члены или правые части системы.

Решением системы (1) называется совокупность таких чисел

,

которые обращают все уравнения системы в тождества. Если система имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной. В противном случае - несовместной. Совместная система, имеющая единственное решение, называется определенной, а система, имеющая более одного решения - неопределенной.

Составим из коэффициентов матрицу

которую назовем матрицей системы (1), векторы столбцы из неизвестных и из свободных членов:

Тогда систему (1) можно записать в матричном виде:

Пусть матрица - квадратная, т.е. рассмотрим систему из уравнений с неизвестными. Пусть

,

тогда решение можно найти с помощью обратной матрицы:

.

Действительно,

,

Так как

.

Пример. Решить матричным способом систему

Решение. Имеем

.

Находим алгебраические дополнения

.

Записываем вспомогательную и обратную матрицы:

Тогда решение имеет вид:

.

3. Правило Крамера

Рассмотрим систему порядка вида

(2)

Определитель матрицы , составленной из коэффициентов при неизвестных, назовем главным:

С каждым неизвестным свяжем определитель , который получается из главного заменой - ого столбца из коэффициентов при на столбец из правых частей системы:

,…..,

Правило Крамера заключается в следующем:

1. если

,

то система (2) имеет единственное решение

, , …….., ;

2. если и хотя бы один из определителей не равен нулю, то система (2) несовместна;

3. если

,

то система (2) неопределенна.

Пример. Решить систему

Решение.

4. Теорема Кронекера-Капелли.

Система (1) совместна, т.е. имеет хотя бы одно решение, тогда и только тогда, когда

, где

- расширенная матрица системы (1), причем

1) если

,

то система (1) несовместна;

2) если ( - число неизвестных), то система (1) неопределенная;

3) если

,

то система (1) имеет единственное решение.

У Кронекера эта теорема содержится в его лекциях, читавшихся в Берлинском университете в 1883-1891 г. Капели впервые дал формулировку теоремы с использованием термина «ранг матрицы».

Из сформулированной теоремы вытекает алгоритм решения системы (1):

Пусть

.

В матрице выделяем базисный минор порядка . С этим минором связаны уравнений и неизвестных системы (1). Эти уравнения и неизвестные назовем базисными; все остальные уравнения системы отбросим, а все остальные неизвестных в базисных уравнениях перенесем направо. Получим систему из базисных уравнений с базисными неизвестными. Т.к. ее определитель, являясь базисным минором, отличен от нуля, то по правилу Крамера полученная система имеет единственное решение. Это решение, зависящее от произвольных постоянных, соответствующих небазисным неизвестным, и будет решением исходной системы (1).

Пример. Решить систему

Решение.

,

т.к. все миноры третьего порядка равны нулю.

, т.к.

, ,

следовательно, система несовместна.

5. Метод Гаусса

Переходим к исследованию общих линейных систем. Рассмотрим систему из линейных уравнений и с неизвестными:

Наряду с матрицей составим так называемую расширенную матрицу системы (3) из коэффициентов при неизвестных и правых частей.

Метод Гаусса или метод исключения неизвестных состоит в приведении расширенной матрицы с помощью элементарных преобразований над ее строками к ступенчатому виду:

К элементарным преобразованиям над строками относятся следующие:

1) перемена местами двух строк;

2) умножение строки на число, отличное от нуля;

3) прибавление к строке другой строки, умноженной на произвольное число;

4) выбрасывание нулевой строки.

Расширенной матрице, приведенной к ступенчатому виду, соответствует линейная система, эквивалентная исходной, решение которой не вызывает затруднения. Реализацию метода Гаусса рассмотрим на примерах. Переход от при помощи элементарных преобразований будем обозначать значком эквивалентности .

Пример. Решить систему с помощью метода Гаусса.

Решение.

Ко второй строке прибавим первую, умноженную на (-4), к третьей - первую, умноженную (-2).

Поменяем местами вторую и третью строки:

К третьей строке прибавим вторую, умноженную на 7:

Полученной ступенчатой матрице соответствует эквивалентная система:

система линейное уравнение матричный метод

Заключение

Системы линейных алгебраических уравнений играют важную роль при построении математических моделей реальных механических объектов и механических процессов. Рассмотренная в предыдущих лекциях теория матриц позволяет простыми алгебраическими методами исследовать основные вопросы, связанные с системой линейных уравнений: вопрос о ее совместности и вопрос о способах ее решения.

Размещено на Allbest.ru