Многочлени Чебешева

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Многочлени Чебешева

Розглянемо функції

задані на відрізку [-1; 1]. Перша з них називається многочленом Чебешева степеня, найменш відхиляється від нуля в області неперервних функцій. Друга (яку називають многочленом Чебешева другого роду), як ми побачемо нижче, являється многочленом степеня , найменш відхиляється від нуля в області (або в метриці L сумуємих функцій).

являється похідною від многочленна Чебешева .

Спочатку переконаємося в тому, що і дійсно являються алгебраїчними многочленами степеня з коефіцієнтами при , рівними одиниці, та інш. в тому, що дві ці функції можна представити у вигляді:

де - деякі числа. Цей факт доводиться за допомогою індукції по .

Насправді наше твердження правильне при , так як тоді припустимо що твердження вірне при то

рівність справджується і для .

Відмітимо що многочлен Чебешева має наступну властивість:

При цьому максимум досягається в точках відрізка де

і значення многочленна в цих точках рівні для , позмінно то , то , та інш. послідовно змінюють знак.

З вище написаного випливає наступна важлива властивість мноочлена:

Серед многочленів

степені з коефіцієнтом рівні одиниці, многочлен Чебешева єдиний, для якого максимум модуля на відрізку досягає свого мінімуму.

Насправді якщо алгебраїчний многочлен степеня з коефіцієнтом при рівний одиниці, відмінний від , то обов'язково

Якщо б це було не так то представивши в вигляді суми

То ми б одержали, що являється многочленом степеня для якого в означеннях вище рівностями (15,3) в точках виконується нерівність

Але коли використовуємо теорему Ролля ми приходимо до того що многочлен степеня перетворюється в нуль в точках і тотожно рівний нулю , що суперечить тому факту що і відмінні один від одного. Доведена властивість многочленна і дало право називати його многочленом, який найменше відхиляється від нуля на відрізку в метриці неперервних функцій.

Доведемо тепер аналогічну властивість многочленна.

Серед многочленів степеня з коефіцієнтом при , рівний одиниці, многочлен - єдиний, для якого інтеграл

Досягає свого мінімуму

Цю властивість многочленна можна встановити опираючись на той факт, що функція с, 24)

Ортогональна на відрізку до всіх многочленів степеня . Інакше кажучи для всіх многочленів степеня має місце рівність

Насправді, нехай - відмінний від многочлен степеня з коефіцієнтом при , рівний одиниці. Тоді якщо рахувати що

де - деякі многочлен степеня , то в силу (15,5)

Той факт що в цих рівностях стоїть знак строгої нерівності випливає по-перше з того що для всіх, за виключенням скінченого числа точок, і по-друге з того що в силу припущення що многочлен і різні, але мають рівні коефіцієнти при , знаки цих функцій не можуть співпадати на відрізку .

Тепер залишилося довести рівність (15,5). Ряд Фур'є функції має такий вигляд:

Звідси для

Так як функція являється непарним тригонометричним поліномом порядку то вона може бути представлена в наступному вигляді:

а розклад функції в ряд Фур'є містить синус тільки кратності . Треба мати на увазі що для натуральних і .

З рівності (15,6), правильних для випливає рівність (15,5) для всіх многочленів степеня .

Нижче наведемо приклад многочленна Чебешева і многочленів , які найменше відхиляються від нуля (в метриках і ) на відрізку для малих .

Многочленни Чебешева :

Многочленни Чебешева :

Про деякі властивості многочленів Чебешева будемо розглядати в наступному параграфі.

Многочленни які найменше відхиляються від нуля в метриці

Більш загальним випадком являється многочлен степеня , який найменше відхиляються від нуля на відрізку в метриці . Це многочлен

для якого інтеграл

Досягає свого мінімуму серед довільних многочленів степеня з коефіцієнтами при , рівними одиниці.

При парному многочлен , найменше відхиляються від нуля, парний містить тільки парні степені . Дійсно якщо в інтегралі

провести заміну змінної на то одержимо рівний йому інтеграл

при цьому являється многочленом степеня , але відрізняється від тим, що члени його при непарних степенях протилежні за знаком відповідним членам .

Оскільки

і , так як і , має коефіцієнти при рівні одиниці, то і являється многочленом який найменше відхиляються від нуля. Але вразі єдності такого многочленна

що можливе тільки тоді коли всі коефіцієнти при непарних степенях рівні нулю.

Подібним чином доводиться, що при непарному многочлен, найменше відхиляється від нуля, і містить тільки непарні степеня

Для ці властивості випливають з рівностей:

Подібні властивості має і :

.

Відмітимо ще одну важливу властивість, многочленна який найменше відхиляється від нуля.

Многочлен, який найменше відхиляється від нуля, має різних дійсних нулів які розміщені строго всередині відрізка . Таким чином: .

Насправді це твердження було б невірним, то строго всередині відрізка наш многочлен перетворювався в нуль з перемінного знака не більше чим в точках, де Нехай ці точки будуть . Визначимо многочлен

(при ). Знак «+ «або «- «підібраний так, щоб знак на відрізку співпадав з знаком .

Оскільки являється многочленом який найменше відхиляється від нуля, то і відповідно

Але ця рівність неможлива, так як многочлен який містить коефіцієнти при , рівні одиниці, рівний нулю тільки в скінченому числі точок , очевидно має тіж самі властивості.

Доведення властивості коли випливає коли розглянути ефективний вираз (15,2) для . Воно очевидно має місце і для .

Відмітимо що лінійна функція

перетворить відрізок точок в відрізок точок . Звідси можна вивести що многочлен степеня з коефіцієнти при рівні одиниці, являється многочленом який найменше відхиляються від нуля на відрізку в метриці має вигляд

Нехай і суть многочлени степеня з коефіцієнтом при рівний одиниці, являється многочленом який найменше відхиляються від нуля на відрізку відповідно в метриці і метриці неперервних функцій. Поставимо

Справедлива наступна теорема.

Теорема. Має місце рівність

Доведення теореми ґрунтується на такій Лемі

Лема. Нехай задана послідовність многочленів даної степені з нормами в метриці обмежена константою

незалежної від . З цієї послідовності можна виділити послідовність яка рівномірно збігається на відрізку , або послідовність для якої існує границя

.

Доведення.

Нехай - натуральне число, яке задовольняє нерівності . Тоді з формули (16,2) в силу того що на відрізку функція не перевищує одиниці, і на основі нерівності Гельдера випливає

Звідси для кожного система лінійних рівнянь

з невизначеними має праві частини які задовольняють нерівність

і в силу того, що визначник цієї системи

який не дорівнює нулю і не залежить від , очевидно існує константа , яка залежить від , але невід для якої мають місце нерівності

(16,7)

Розглянемо тепер послідовність Вона обмежена в силу формули (16,7) тому з неї можна вибрати підпослідовність яка збігається до деякого числа, яки ми позначимо через . Послідовність так само за формулою (16,7) обмежена, і з неї можна вибрати підпослідовність яка збігається до деякого числа, яке ми позначимо через . Якщо будемо проводити це м на кінець одержимо підпослідовності натуральних чисел для якої будуть мати місце всі рівностей (16,6), а це що рівномірно на відрізку де .

Перейдемо до доведення рівності (16,3).

Нехай

Очевидно що

,

де - константа, яка не залежить від .

На основі доведеної Леми з взятої послідовності чисел можна виділити підпослідовність, яку ми знов позначмо таку що

рівномірно на відрізку , де являється деяким многочленом степеня з коефіцієнтом при рівний одиниці. Тому

Приймемо до уваги, що функція

Коли неперервна на , являється неперервна функція від для . При цей факт випливає з формули (2,7). Тоді для будь-якого , який задовольняє нерівність і для можна вибрати таке , що Коль скоро

Справедливо

При нерівність (16,11) тоже зберігається, якщо замість умови (16,10) рахувати, що довільно великий.

Звідси для будь-яких завгодно великих

і переходячи до границі при одержимо

Многочлени Лежандра. Квадратична формула Гауса.

Випадок являється важним частим випадком метрики . Про многочлен, який найменше відхиляється від нуля в метриці , говорять, що він відхиляється від нуля в смислі середнього квадратичного. Це являється добре знайомий в математиці многочлен Лежандра.

Многочленом Лежандра степеня називають часто функцію де - константа, підібрана так, щоб

або так щоб

таким чином

де мінімум поширений на всі можливі коефіцієнти . З рівності (17,1) випливає, що частинна похідна по коефіцієнтам від інтеграла, який знаходиться в його правій частині, рівна нулю, звідки одержуємо

Відома властивість ортогональності многочленна Лежандра степеня до могочленів нижчих степенів.

Покажемо, що многочлен Лежандра степеня володіє чудовою властивістю, якщо

суть його нулі, то квадратична формула

де підібрані так, що вона точна для всіх многочленів степеня , насправді точна для всіх многочленів степеня . Це і є квадратична формула Гауса, яка відповідає вузлам.

З параграфа 1 (с, 16) ми знаємо, що веса нашої квадратичної формули обчислюються за допомогою рівності

,

де можна записати у вигляді

чебишев лежандр гаус многочлен

Якщо являється многочленом степеня , то

Размещено на Allbest.ru