Шар, сфера, сечение шара

Размещено на http://www.allbest.ru/

10

Историческая справка

Из истории возникновения

шар сфера уравнение теорема доказательство

Шаром принято называть тело, ограниченное сферой, т.е. шар и сфера - это разные геометрические тела. Однако оба слова « шар» и « сфера» происходят от одного и того же греческого слова « сфайра» - мяч. При этом слово « шар» образовалось от перехода согласных сф в ш.

В XI книге «Начал» Евклид определяет шар как фигуру, описанную вращающимся около неподвижного диаметра полукругом. В древности сфера была в большом почёте. Астрономические наблюдения над небесным сводом неизменно вызывали образ сферы.

Сфера всегда широко применялось в различных областях науки и техники.

Шаровой или сферической поверхностью называется геометрическое место точек пространства, удаленных от данной точки О (центра) на заданное расстояние R (радиус). Все пространство по отношению к данной шаровой поверхности разбивается на внутреннюю область (куда можно присоединить и точки самой поверхности) и внешнюю. Первая из этих областей называется шаром. Итак, шар -- геометрическое место всех точек, удаленных от заданной точки О (центра) на расстояние, не превышающее данной величины R (радиуса). Шаровая поверхность является границей, отделяющей шар от окружающего пространства.



Реферат

Шаровую поверхность и шар можно получить также, вращая окружность (круг) вокруг одного из диаметров.

Рассмотрим окружность с центром О и радиусом R (рис. 1), лежащую в плоскости Я. Будем вращать ее вокруг диаметра АВ. Тогда каждая из точек окружности, например М, в свою очередь опишет при вращении окружность, имеющую своим центром точку М0--проекцию вращающейся точки М на ось вращения АВ. Плоскость этой окружности перпендикулярна к оси вращения. Радиус ОМ, ведущий из центра исходной окружности в точку М, будет сохранять свою величину во все время вращения, и потому точка М все время будет находиться на сферической поверхности с центром О и радиусом R. Шаровая поверхность может быть получена вращением окружности вокруг любого из ее диаметров.

Сам шар как тело получается вращением круга; ясно, что для получения всего шара достаточно вращать полукруг около ограничивающего его диаметра.

Сфера и шар

Сфера - это фигура, состоящая из всех точек пространства, удалённых от данной точки на данном расстоянии.



Точка О называется центром сферы, R-радиус сферы.

Любой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы, называется радиусом сферы. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через её центр, называется диаметром сферы.

Шар - это фигура, состоящая из всех точек пространства, находящихся на расстоянии не большем данного от данной точки (или фигура, ограниченная сферой).

Уравнение сферы

M(x;y;z)-произвольная точка, принадлежащая сфере, след.

MC=т.к. MC=R,

то

если т. М не лежит на сфере, то MCR, т.е. координаты точки М

не удовлетворяют уравнению. Следовательно, в прямоугольной системе координат уравнение сферы радиуса R с центром C(x0;y0;z0;) имеет вид:

Основные геометрические формулы

Площадь сферы

Объем шара, ограниченного сферой

Площадь сегмента сферы

где H -- высота сегмента, а -- зенитный угол

Взаимное расположение сферы и плоскости

d - расстояние от центра сферы до плоскости, след. C(0;0;d), поэтому сфера имеет уравнение



плоскость совпадает с Оxy, и поэтому её уравнение имеет вид z=0

Если т. М (x; y; z) удовлетворяет обоим уравнениям, то она лежит и в плоскости и на сфере, т.е. является общей точкой плоскости и сферы.

След. возможны 3 решения системы:

1) d<R, d^2<R^2, x^2 + y^2 = R^2 - d^2 > 0

уравнение имеет б.м. решений, пересечение сферы и плоскости - окружность C(0;0;0) и r^2=R^2 - d^2

2) d=R, x^2 + y^2 =0, x=y=0 след. сфера пересекается плоскостью в точке О(0;0;0)

3) d>R, d^2>R^2 R^2 - d^2 < 0

x^2 + y^2 >=0, x^2+y^2=R^2 - d^2 не имеет решений

Касательная плоскость к сфере

Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы.

Теорема:

Радиус сферы, проведённый в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.

Доказательство:

Предположим, что ОА не перпендикулярен плоскости, след. ОА-наклонная к плоскости, след. ОА > R , но т.А принадлежит сфере, то получаем противоречие, след. ОА перпендикулярен плоскости.

ч.т.д.

Теорема:

Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.

Доказательство:

Из условия теоремы следует, что данный радиус является перпендикуляром, проведённым из центра сферы к данной плоскости. Поэтому расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, и, следовательно, сфера и плоскость имеют только одну общую точку. Это означает, что данная плоскость является касательной к сфере.

ч.т.д.

Площадь сферы:

Для определения площади сферы воспользуемся понятием описанного многогранника. Многогранник называется описанным около сферы (шара) , если сфера касается всех его граней. При этом сфера называется вписанной в многогранник.

Пусть описанный около сферы многогранник имеет n-граней. Будем неограниченно увеличивать n таким образом, чтобы наибольший размер каждой грани стремился к нулю. За площадь сферы примем предел последовательности площадей поверхностей описанных около сферы многогранников при стремлении к нулю наибольшего размера каждой грани. Можно доказать, что этот предел существует, и получить формулу для вычисления площади сферы радиуса R: S=4ПR:2

Сечение шара

Теорема. Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.

Доказательство. Пусть б -- секущая плоскость и О -- центр шара (рис. 453). Опустим перпендикуляр из центра шара на плоскость б и обозначим через О' основание этого перпендикуляра.

Пусть X -- произвольная точка шара, принадлежащая плоскости б . По теореме Пифагора 0X2 = 00'2+О'Х2. Так как ОХ не больше радиуса R шара, то т. е. любая точка сечения шара плоскостью б находится от точки О' на расстоянии, не большем , следовательно, она принадлежит кругу с центром О' и радиусом .

Обратно: любая точка X этого круга принадлежит шару. А это значит, что сечение шара плоскостью есть круг с центром в точке О'. Теорема доказана.

Плоскость, проходящая через центр шара, называется диаметральной плоскостью. Сечение шара диаметральной плоскостью называется большим кругом (рис. 454), а сечение сферы -- большой окружностью.



Задачи

Задача 1. Два сечения шара радиуса 10 см параллельными плоскостями имеют радиусы, равные 6 еж и 8 см. Найти расстояние между секущими плоскостями.

Решение. Находим расстояние каждой из параллельных плоскостей до центра шара:

в зависимости от того, лежит ли центр шара между плоскостями или нет, получаем два различных ответа к задаче:

Задача 2. Расстояние между центрами двух шаров равно d; радиусы их R1 и R2. Найти радиус окружности, по которой они пересекаются.

Решение. Искомый радиус служит высотой треугольника OMO1 (рис. 5). Площадь S треугольника ОМО2 находится по трем сторонам 001 = d, R1 R2 и искомый радиус равен r=2S/d. Прямая линия также может занимать по отношению к шару три существенно различных положения. Именно, она может пересечь поверхность шара в двух различных точках, не пересе­кать ее или иметь с ней одну общую точку. В последнем случае она будет называться касательной к шару



Задача 3 Через середину радиуса шара проведена перпендикулярная ему плоскость. Как относится площадь полученного сечения к площади большого круга?

Решение. Если радиус шара R (рис. 455), то радиус круга в сечении будет. Отношение площади этого круга к площади большого круга равно



Вывод

В результате проделанной работы, мы пришли к выводу о том, что на протяжении довольно продолжительного времени определения сферы и шара не изменялись. Шар и сфера - это разные геометрические тела. Однако оба слова « шар» и « сфера» происходят от одного и того же греческого слова «сфайра» - мяч.

Сфера - это фигура, состоящая из всех точек пространства, удалённых от данной точки на данном расстоянии.

Шар - это фигура, состоящая из всех точек пространства, находящихся на расстоянии не большем данного от данной точки



Список литературы

1. Адамар Ж. Элементарная геометрия. - Ч.2.: Стереометрия : Пособие - 3-е изд. - М.: Учпедгиз, 1958.- 760 с.

2. Абрамов А.М, Виленкин Н.Я, Дорофеев Г.В, и др Избранные вопросы маиематики 10 кл.: Факультативный курс./Под ред. Фирсова В.В/-М.: Просвещение 1980.

3. Александров А.Д. и др. Геометрия для 10-11 классов: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. /А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик. - 3-е изд., перераб. -М.: Просвещение, 1992.- 464с.

4. Атанасян Л.С. Геометрия: учебник для 10-11 классов средней школы. -М: Просвещение, 1992.- 208.

5. Гильберт Д. Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия: Пер. с нем. - 3-е изд. - М.: Наука, 1981.- 344 с.

6. Глаголев Н. А. Проективная геометрия: Учеб. Пособие. - 2 -ое изд. испр. и доп. - М.: высш. школа, 1963. - 344 с.

7. Давидов А. Начала тригонометрии: 3-е изд., 1885 г.

8. Клайн М. Математика. Поиск истины: Пер. с англ / Под ред. И с предсл. В. И. Аршинова, Ю. В. Сачкова. - М.: Мир, 1988. - 295 с., ил.

9. Перепелкин Д.И. Курс элементарной геометрии. Ч II. Геометрия в пространстве: учеб. для пед. инст-ов. -М. Л.: гос. изд-во техн-теоретич. литер. 1949 г. - 333 с.

10. Трайнин Я.А. Основания геометрии: Пособие для пед. институтов /Под ред. Ю. И. Сорокина. - М.: гос. учеб. под-ое изд-во мин. просв. РСФСР 1961.-326 с.

11. Саранцев Г.И. Упражнения в обучении математике. -М.: Просвещение, 1995.-240 с.

Размещено на www.allbest.ru