Применение графиков в решении уравнений

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Применение графиков в решении уравнений

I) Графическое решение квадратного уравнения:

Рассмотрим приведённое квадратное уравнение: x2+px+q=0;

Перепишем его так: x2=-px-q. (1)

Построим графики зависимостей: y=x2 и y=-px-q.

График первой зависимости нам известен, это есть парабола; вторая зависимость - линейная; её график есть прямая линия. Из уравнения (1) видно, что в том случае, когда х является его решением, рдинаты точек обоих графиков равны между собой. Значит, данному значению х соответствует одна и та же точка как на параболе, так и на прямой, то есть парабола и прямая пересекаются в точке с абциссой х.

Отсюда следующий графический способ решения квадратного уравнения: чертим параболу у=х2, чертим (по точкам) прямую у=-рх-q.

Если прямая и парабола пересекаются, то абциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения. Этот способ удобен, если не требуется большой точности.

Примеры:

1. Решить уравнение: 4x2-12x+7=0

Представим его в виде x2=3x-7/4.

Построим параболу y=x2 и прямую y=3x-7/4.

Рисунок 1.

Для построения прямой можно взять, например, точки (0; - 7/4) и (2; 17/4).Парабола и прямая пересекаются в двух точках с абциссами x1=0.8 и x2=2.2 (см. рисунок 1).

2. Решить уравнение: x2-x+1=0.

Запишем уравнение в виде: x2=x-1.

Построив параболу у=х2 и прямую у=х-1, увидим, что они не пересекаются (рисунок 2), значит уравнение не имеет корней.

Рисунок 2.

Проверим это. Вычислим дискриминант:

D=(-1) 2-4=-3<0,

А поэтому уравнение не имеет корней.

3. Решить уравнение: x2-2x+1=0

Рисунок 3.

Если аккуратно начертить параболу у=х2 и прямую у=2х-1, то увидим, что они имеют одну общую точку (прямая касается параболы, см. рисунок 3), х=1, у=1; уравнение имеет один корень х=1 (обязательно проверить это вычислением).

II) Системы уравнений

Графиком уравнения с двумя переменными называется множество точек координатной плоскости, координаты которых обращают уравнение в верное равенство. Графики уравнений с двумя переменными весьма разнообразны. Например, графиком уравнения 2х+3у=15 является прямая, уравнения у=0.5х2 -2 - парабола, уравнения х2 +у2=4 - окружность, и т.д.

Степень целого уравнения с двумя переменными определяется так же, как и степень целого уравнения с одной переменной. Если левая часть уравнения с двумя переменными представляет собой многочлен стандартного вида, а правая число 0, то степень уравнения считают равной степени многочлена. Для того чтобы выяснить, какова степень какого-либо уравнения с двумя переменными, его заменяют равносильным уравнением, левая часть которого - многочлен стандартного вида, а правая - нуль. Рассмотрим графический способ решения.

Пример 1: решить систему ? x2 +y2 =25 (1)

?y=-x2+2x+5 (2)

Построим в одной системе координат графики уравнений (Рисунок 4):

Построим в одной системе координат графики

х2 +у2=25 и у=-х2+2х+5

Координаты любой точки построенной окружности являются решением уравнения 1, а координаты любой точки параболы являются решением уравнения 2. Значит, координаты каждой из точек пересечения окружности и параболы удовлетворяют как первому уравнению системы, так и второму, т.е. являются решением рассматриваемой системы. Используя рисунок, находим приближённые значения координат точек пересечения графиков: А (-2,2; -4,5), В (0; 5), С (2,2; 4,5), D (4; - 3).Следовательно, система уравнений имеет четыре решения:

х1?-2,2, у1?-4,5; х2?0, у2?5;

х3?2,2, у3?4,5; х4?4, у4?-3.

Подставив найденные значения в уравнения системы, можно убедиться, что второе и четвёртое из этих решений являются точными, а первое и третье - приближёнными.

III) Тригонометрические уравнения:

Тригонометрические уравнения решают как аналитически, так и графически. Рассмотрим графический способ решения на примере.

Пример1:sinx+cosx=1. Построим графики функций y=sinx u y=1-cosx. (рисунок 5)

Рисунок 5.

Из графика видно, что уравнение имеет 2 решения: х=2рп, где пЄZ и х=р/2+2рk, где kЄZ (Обязательно проверить это вычислениями). Рисунок 6.

Пример2: Решить уравнение: tg2x+tgx=0. Решать это уравнение будем по принципу решения предыдущего. Сначала построим графики (См. рисунок 6) функций: y=tg2x u y=-tgx. По графику видно что уравнение имеет 2 решения: х=рп, пЄZ u x=2рk/3, где kЄZ. (Проверить это вычислениями)

Применение графиков в решении неравенств

график уравнение координатный неравенство

1) Неравенства с модулем.

Пример1.

Решить неравенство |x-1|+|x+1|<4.

На интеграле (-1;-?) по определению модуля имеем |х-1|=-х+1,|х+1|=-х-1, и, следовательно, на этом интеграле неравенство равносиьно линейному неравенству -2х<4, которое справедливо при х>-2. Таким образом, в множество решений входит интеграл (-2; - 1).На отрезке [-1,1] исходное неравенство равносильно верному числовому неравенству 2<4. Поэтому все значения переменной, принадлежащие этому отрезку, входят в множество решний.

На интеграле (1;+?) опять получаем линейное неравенство 2х<4, справедливое при х<2. Поэтому интеграл (1; 2) также входит в множество решений. Объединяя полученные результаты, делаем вывод: неравенству удовлетворяют все значения переменной из интеграла (-2; 2) и только они.

Однако тот же самый результат можно получить из наглядных и в то же время строгих геометрических соображений. На рисунке 7 построены графики функций: y=f(x)=|x-1|+|x+1| и y=4.

Рисунок 7.

На интеграле (-2; 2) график функции y=f(x) расположен под графиком функции у=4, а это означает, что неравенство f(x)<4 справедливо. Ответ: (-2; 2)

II) Неравенства с параметрами.

Решение неравенств с одним или несколькими параметрами представляет собой, как правило, задачу более сложную по сравнению с задачей, в которой параметры отсутствуют.

Например, неравенствоvа+х+vа-х>4, содержащее параметр а, естественно, требует, для своего решения гораздо больше усилий, чем неравенство v1+х + v1-х>1.

Что значит решить первое из этих неравенств? Это, по существу, означает решить не одно неравенство, а целый класс, целое множество неравенств, которые получаются, если придавать параметру а конкретные числовые значения. Второе же из выписанных неравенств является частным случаем первого, так как получается из него при значении а=1.

Таким образом, решить неравенство, содержащее параметры, это значит определить, при каких значениях параметров неравенство имеет решения и для всех таких значений параметров найти все решения.

Пример 1:

Решить неравенство|х-а|+|х+а|<b, a<>0.

Для решения данного неравенства с двумя параметрами a u b воспользуемся геометрическими соображениями. На рисунке 8 и 9 построены графики функций.

Y=f(x)=|x-a|+|x+a| u y=b.

Очевидно, что при b<=2|a| прямая y=b проходит не выше горизонтального отрезка кривой y=|x-a|+|x+a| и, следовательно, неравенство в этом случае не имеет решений (рисунок 8). Если же b>2|a|, то прямая y=b пересекает график функции y=f(x) в двух точках (-b/2; b) u (b/2; b) (рисунок 6) и неравенство в этом случае справедливо при - b/2<x<b/2, так как при этих значениях переменной кривая y=|x+a|+|x-a| расположена под прямой y=b.

Ответ: Если b<=2|a|, то решений нет,

Если b>2|a|, то x €(-b/2; b/2).

III) Тригонометрические неравенства:

При решении неравенств с тригонометрическими функциями существенно используется периодичность этих функций и их монотонность на соответствующих промежутках. Простейшие тригонометрические неравенства. Функция sin x имеет положительный период 2р. Поэтому неравенства вида: sin x>a, sin x>=a,

sin x<a, sin x<=a.

Достаточно решить сначала на каком-либо отрезке лдины 2р. Множество всех решений получим, прибавив к каждому из найденных на этом отрезке решений числа вида 2рп, пЄZ.

Пример 1: Решить неравенство sin x>-1/2. (рисунок 10)

Сначала решим это неравенство на отрезке [-р/2; 3р/2]. Рассмотрим его левую часть - отрезок [-р/2; 3р/2].Здесь уравнение sin x=-1/2 имеет одно решение х=-р/6; а функция sin x монотонно возрастает. Значит, если -р/2<=x<= -р/6, то sin x<=sin (-р/6)=-1/2, т.е. эти значения х решениями неравенства не являются. Если же -р/6<х<=р/2 то sin x>sin (-р/6) = -1/2. Все эти значения х не являются решениями неравенства.

На оставшемся отрезке [р/2; 3р/2] функция sin x монотонно убывает и уравнение sin x = -1/2 имеет одно решение х=7р/6. Следовательно, если р/2<=x<7р/, то sin x>sin (7р/6)=-1/2, т.е. все эти значения х являются решениями неравенства. Для x Є [7р/6; 3р/2] имеем sin x<= sin (7р/6)=-1/2, эти значения х решениями не являются. Таким образом, множество всех решений данного неравенства на отрезке [-р/2; 3р/2] есть интеграл (-р/6; 7р/6).

В силу периодичности функции sin x с периодом 2р значения х из любого интеграла вида: (-р/6+2рn; 7р/6 +2рn), nЄZ, также являются решениями неравенства. Никакие другие значения х решениями этого неравенства не являются.

Ответ: -р/6+2рn<x<7р/6+2рn, где nЄZ.

график уравнение координатный неравенство

Рисунок 10.

Размещено на Allbest.ru