Решение задач геометрического содержания на нахождение наибольшего и наименьшего значения

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Реферат на тему:

«Решение задач геометрического содержания на нахождение наибольшего и наименьшего значения»

Введение

«В мире не происходит ничего, в чем бы не был виден смысл какого-нибудь максимума или минимума». (Л. Эйлер)

Усилия почти всякой человеческой деятельности направлены на то, чтобы с наименьшей затратой сил достигать наиболее выгодного в определенном отношении результата (наиболее экономичного, наименее трудоемкого, наиболее производительного и т. п.). Не только человек в своей практической деятельности стремится достичь оптимального результата, действие сил природы неуклонно подчиняется принципу экстремальности: траектории света и радиоволны, движения маятников и планет, течение жидкостей и газов, клин журавлей, естественный отбор, форма мыльного пузыря и д. р. Решением экстремальных задач занимались такие ученые прошлых эпох как Евклид, Архимед, Герон, Кеплер, Ферма, Ньютон, Лейбниц, Иоганн и Якоб Бернулли и другие и в результате были выработаны приемы, позволяющие решать задачи самой разнообразной природы.

Аппарат дифференциального исчисления дает метод решения таких задач. Однако, своеобразие задачи позволяет зачастую решить ее проще, быстрее и красивее, используя методы и приемы элементарной математики.

В данной работе приведен ряд исторических задач: задачи, решаемые с помощью производной и без ее использования.

Например, задача Дидоны.

Среди замкнутых плоских кривых, имеющих заданную длину, найти кривую, охватывающую максимальную площадь.

Многие историки полагают, что это - первая экстремальная задача, обсуждавшаяся в научной литературе. Ее называют классической изопериметрической задачей. (Изопериметрические фигуры - это фигуры, имеющие одинаковый периметр.) Можно доказать, что кривая, решающая классическую изопериметрическую задачу, - это окружность.

Столько купили земли и дали ей имя Бирса, сколько смогли окружить бычьей шкурой. (Вергилий «Энеида».)

Приведенные строки относятся к событию, произошедшему, если верить преданию, в IX веке до н.э. Финикийская царевна Дидона, спасаясь от преследований своего брата, отправилась на запад вдоль берегов Средиземного моря искать себе прибежище. Ей приглянулось одно место на побережье нынешнего Тунисского залива. Дидона повела переговоры с местным предводителем Ярбом о продаже земли. Запросила она совсем немного - столько, можно «окружить бычьей шкурой». Дидоне удалось уговорить Ярба. Сделка состоялась, и тогда Дидона изрезала шкуру быка на мелкие тесемки, связала их воедино и окружила большую территорию, на которой основала крепость, а вблизи от нее - город Карфаген.

Этот эпизод дает повод задуматься над вопросом: сколько земли можно окружить бычьей шкурой?

Вопрос задачи можно понять иначе, если обойтись без шкуры быка.

Отмотаем от катушки кусочек нити. Отрежем его и свяжем концами. Положим эту связанную нить на лист бумаги. Получилась плоская замкнутая кривая. Если теперь вырезать кусок бумаги по контуру нити, получится образ площади, охватываемой этой кривой. Эту площадь можно измерить. И тогда вопрос задачи звучит так: как следует положить нашу нить, чтобы она охватила наибольшую площадь?

Среди тех, кто дал решение изопериметрической задачи, древние авторы называли и Архимеда. Считается, что первые строгие доказательства максимального свойства круга дал Г.А. Шварц. Но на самом деле Шварцу, а до него Вейерштрассу и после него - самому Бляшке, как и многим другим математикам XIX и XX столетий, принадлежит лишь оформление идей своих далеких предшественников, оформление, способное удовлетворить современным требованиям строгости. Основные же пути решения изопериметрической задачи были абсолютно правильно намечены еще в античные времена.

Рассмотрим решения еще некоторых задач на нахождение наибольших и наименьших значений величин с помощью производной и без нее.

Схема решения задачи на оптимизацию

1. Проанализировав условие задачи, выделите оптимизируемую величину.

2. Одну из участвующих в задаче неизвестных величин принять за независимую переменную и установить реальные границы ее изменения в соответствии с условиями задачи.

3. Исходя из условия задачи, составить функцию подлежащую исследованию, выразив оптимизируемую величину через независимую переменную и известные величины.

4. Для полученной функции найти наибольшее или наименьшее в зависимости от условия значение в промежутках реального изменения аргумента.

5. Исходя из результатов исследований, записать ответ в терминах предложенной задачи.

В данном работе приведен ряд исторических задач: задачи, решаемые с помощью производной и без ее использования.

Исторические задачи

Одним из первых открытий в области теории экстремальных значений величин является открытие александрийского ученого Герона, который установил, что путь светового луча от точки до точки при отражении от зеркала в точке является кратчайшим (минимальным) расстоянием от до с заходом на плоскость зеркала .

Задача Герона

Даны две точки и по одну сторону от прямой . Требуется найти на такую точку , чтобы сумма расстояний от до и от до была наименьшей.

Решение:

Рис. 1

Пусть - точка, симметричная точке относительно прямой (рис. 1). Проведем отрезок . Тогда точка - точка пересечения прямой с отрезком , будет искомой.

Действительно, для любой точки , отличной от точки ( лежит на , имеет место неравенство:

В неравенстве (2) были использованы свойства симметрии, из которых следуют равенства , и неравенство треугольника .

Замечание: Искомая точка обладает тем свойством, что , или, как говорят, угол падения равен углу отражения.

Задача Архимеда

Среди всех сегментов, имеющих заданную площадь сферической поверхности, найти шаровой сегмент, вмещающий максимальный объем.

Рис. 2

Решение:

I способ.

Рассмотрим шар радиуса и его шаровой сегмент высоты . Так же рассмотрим полу шар той же боковой поверхности с радиусом . Тогда

, ;

Из равенства боковых поверхностей сегмента и полу шара получаем:

Докажем неравенство:

а)

b)

Складывая (3) и (4) и умножая на , получаем:

Заменим в (5) :

Итак, полу шар той же боковой поверхности имеет больший объем в сравнении с шаровым сегментом, или, говоря словами Архимеда «из всех сферических сегментов, ограниченных равными поверхностями, наибольшим будет полушарие».

Решение задачи имеется в сочинении Архимеда «О шаре и цилиндре».

II способ. Язык Архимеда - язык геометрии.

Рис. 3

На прямой отложим, следуя Архимеду, отрезок такой величины, чтобы конус с высотой и радиусом основания был бы равновелик шаровому сегменту . На продолжении отрезка отложим отрезок , равный по длине радиусу .

Равновеликость конуса и сегмента приводит Архимеда к пропорции:

Проверим, что это равенство действительно имеет место:

Мы воспользовались тем, что длина отрезка есть среднее геометрическое длин отрезков и . Из формула следует сразу.

Равенство поверхностей полу шара и сегмента приводит к тому, что

Действительно, , (используем свойство треугольника, вписанного в окружность и опирающегося на диаметр), значит,

Далее Архимед откладывает отрезок равный по длине и доказывает неравенство:

Обоснование: из двух прямоугольников с одинаковым периметром площадь больше у того, у которого больше длина меньшей стороны.

Далее имеем (из равенства боковых поверхностей сегмента и полу шара):

Складывая последнее неравенство с этим равенством, получаем:

Умножая на и используя (**), получим

.

Ранее были доказаны соотношения

(по построению), откуда из получим:

Задача Евклида.

В данный треугольник вписать параллелограмм наибольшей площади.

Решение:

Докажем, что точки и середины сторон и соответственно. Пусть вписанный в параллелограмм, отличный от параллелограмма . Тогда , . Проведем в высоту , а в высоту и обозначим , , . подобен по трем углам. Из подобия треугольников следует:

получаем, что

Задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения геометрического содержания

Задача 1.

Из квадратного листа жести со сторонами, нужно изготовить открытую сверху коробку наибольшей вместительности, вырезав по углам квадратики.

Решение

Пусть x є [0;a/2], тогда V(x)=(a-2x)²x

Найдем производную от V(x):

V'(x)=(a-2x)²+2x(a-2x)(-2)=a²-4ax+4x²-4x(a-2x)=a²-4ax+4x²-4ax+8x²=a²-8ax+12x². Приравняем производную к 0:

12x²-8ax+a²=0;

D=64a²-48a²=16a²;

X₁=(8a+4a)/24=12a/24=a/2;

X₂=(8a-4a)/24=4a/24=a/6

Подставим X₁ и X₂ в функцию V(x), имеем:

V(a/2)=(a- a)² a/2=0;

V(a/6)=(a-a/3) a/6=a/6 (a- a/3)=a²/9;

V(0)=(a- 0)² 0=0

Значит V=a/9 наибольший возможный объем коробки.

Задача 2.

Под каким углом следует три одинаковые доски, чтобы получить водяной желоб наибольшей вместительности?

Решение

Пусть x є [0;a], тогда S=(a+x) h/2

h=

Найдем производную от S(x):

=

Приравняем производную к 0:

X₁==a; X₂= (не принадлежит отрезку [0;a]).

Подставим X₁ в функцию S(x), имеем: =a²

²/4.

Наибольшая площадь сечения равняется a², значит, для максимальной вместительности желоба три доски нужно сбить под углом 90°.

Задача 3.

На лесопильных рамах бревна часто распиливают на квадратный брус и четыре доски (горбыль) с максимально возможной площадью поперечного сечения. Какой толщины доски получаются при такой распиловке из бревна диаметром d?

Решение

Пусть б є [0;р], тогда S_сеч

S (б) = Найдем производную от S(б):

S`(б) Приравняем производную к 0:

;

, если n=1, n=1, то (не принадлежит отрезку [0;a]).

Подставим б в функцию S(б), имеем:

-толщина доски, при распиловке с максимально возможной площадью поперечного сечения.

Заключение

оптимизационный задача дифференциальный исчисление

Таким образом, применяя дифференциальное исчисление и используя приемы элементарной математики, мы можем решать практические задачи, встающие перед человеком почти во всей его деятельности: механике, строительстве, производстве, оптики и многих других отраслях.

Вопрос, связанный с нахождением наибольших и наименьших значений, интересовал людей издавна. Такие ученые как Архимед, Герон, Кеплер, Ферма, Ньютон, Лейбниц, Иоганн и Якоб Бернулли решали оптимизационные задачи, получая очень громоздкие решения, затрачивая на это много времени. В наше же время, используя в повседневной жизни метод дифференциального исчисления, мы можем найти выход из неразрешимой на первый взгляд ситуации быстро и без особых усилий, что очень упрощает жизнь человеку.

Мне близок этот способ решения, так как по складу характера я всегда стараюсь найти наиболее оптимальный и рациональный выход.

Список используемой литературы

1) Егерев В.К, Зайцев В.В. 2500 задач по математике с решениями. Москва: Оникс 21 век, 2003 г.

2) Баврин Иванн Иванович. Высшая математика. Москва: Владос, 2004 г.

3) Фихтегольц Григорий Михайлович. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Москва: Огиз. 1999 г.

4) Рудин Уолтер. Основы математического анализа. Санкт-Петербург 2002 г.

Размещено на Allbest.ru