Формула Гріна-Остроградського

Размещено на http://www.allbest.ru/

Формула Гріна-Остроградського

Покажемо, що між деяким подвійним інтегралом по області (D) і деяким криволінійним інтегралом по контурі (L), що обмежує цю область, може існувати певний зв'язок. Ми будемо користуватися такими поняттями, як замкнута область, однозв'язна й багатозв'язна області.

Означення. Під однозв'язною областю (D) будемо розуміти область "без дірок", тобто область, що володіє тією властивістю, що будь-яка проведена в ній замкнута крива може бути за допомогою неперервної деформації стягнута в точку, залишаючись при цьому процесі деформації увесь час в області (D).

Якщо область не однозв'язна (тобто має "дірки"), то її називають багатозв'язною.

Теорема. Нехай у простій замкнутій області (D), обмеженої контуром (L), визначені неперервні функції Р (х, у) і Q(x, у), що мають неперервні частинні похідні та

Тоді справедливе наступне рівняння:

яке називається формулою Гріна - Остроградского. В цій формулі інтеграл по контурі (L) береться в позитивному напрямку.

Доведення:

а) Обчислимо інтеграли і Нехай контур (L) заданий неявним рівнянням F(x, y) =0. Оскільки (L) це замкнена крива, то, рішаючи F(x, y) =0 відносно х, отримаємо два рівняння: x₁=₁ (y) і x₂= ₂(y), (с уd). Тоді подвійний інтеграл задасться через повторний таким чином:

Тому що при фіксованому у функція Q (х, у) є похідною для , то

(36)

Отже, можемо записати:

(37)

Криволінійний інтеграл по всьому контурі (L) представимо у

виді суми криволінійних інтегралів, узятих по його частинах, тобто

Перетворимо кожний з інтегралів, які стоять праворуч, до звичайних визначених інтегралів. Рівнянням дуги (АmB) буде x₂=₂(y) (с уd). Отже,

вздовж цієї дуги криволінійний інтеграл виразиться через звичайний визначений інтеграл таким чином:

(), ) d.

Аналогічно, дуга (ВnA) задана рівнянням x₁=₁ (y) (с уd) і

Остаточно одержимо, що криволінійний інтеграл по всьому контурі (L) запишеться таким чином:

(, - -Q((), )]d.

Порівнюючи (37) і (41), бачимо, що

б) Обчислимо інтеграли

Аналогічно, одержимо:

де y₁=₁(x) і y₂=₂(x) (a x b) - рівняння відповідних частин контуру (L). Функція Р (х, у) є похідною для Отже,

Враховуючи останнє рівняння, можна записати:

Криволінійний інтеграл

Тобто

Порівнюючи (45) і (47) одержимо

Віднімаючи почленно рівність (48) з рівності (42), одержимо формулу (34).

Наслідок. Формула Гріна - Остроградського залишається справедливою для будь-якої замкнутої області (D), яку можна розбити на кінцеве число простих замкнутих областей проведенням додаткових ліній.

Нехай дано область (D). Її можна розбити прямою (АВ) на дві прості області: (D₁) і (D₂). Застосовуючи формулу до кожної із частин, одержимо:

Складаючи ці рівності почленно, одержимо знову формулу для всієї області (D) (тому що криволінійні інтеграли, узяті по лінії (АВ) у протилежних напрямках, у сумі дають нуль).

Якщо область (D) обмежена не одним, а декількома, наприклад двома, замкнутими контурами (L₁) і (L₂), то, розбиваючи цю область на чотири частинні прості області й застосовуючи до кожної з них формулу (34), одержимо:

(50)

Додамо ці рівняння почленно. Сума зліва подвійних інтегралів по частинним областям (D₁), (D₂), (D₃) і (D₄) дасть подвійний інтеграл по всій області (D). Сума справа, якщо виразити через криволінійні інтеграли по окремих частинам контурів, буде дорівнювати:

(так як криволінійні інтеграли, взяті по лініям (АВ), (СD), (FE) і (MN) в протилежних напрямках, в сумі дадуть нуль, то ми їх не враховували).

Формула в цьому випадку прийме вигляд:

Тобто у випадку багатозв'язної області подвійний інтеграл по всім контурам, які обмежують цю область, і інтегрування також буде проводитись в додатному напрямку.

Історія математики

формула грін остроградський інтеграл

Михайло Васильович Остроградський - один із найбільших вітчизняних вчених XIX століття. Активна наукова діяльність М. В. Остроградського зіграла в історії математики величезну роль. Він зробив значний внесок в розвиток математичної фізики, механіки і деяких розділів математичного аналізу. Його ідеї, методи і результати широко використовуються і в наш час. Формула Гріна-Остроградського і принцип Остроградського-Гамільтона описуються у всіх підручниках математичного аналізу і теоретичної механіки сьогодення. Проте це лише незначна частина того вкладу в науку, який він зробив.

Михайло Васильович Остроградський народився 24 вересня 1801 року в селі Пашенної, Кобелякського з'їзда Полтавської губернії (на даний час - це Козельщанський район Полтавської області України). Навчався в Полтавській губернії та у харківському університеті.

У статті «Замітки по теорії теплоти», яка вийшла в 1828 році Остроградським була виведена формула

яка ввійшла в усі підручники математичного аналізу і математичної фізики під іменем формули Гріна-Остроградського (цікаво замітити, що багато зарубіжних авторів не один раз відмічали пріоритет Остроградського у виведенні цієї формули. Грін до Остроградського вивів цю формулу лише для частинних випадків поверхонь). Формула Гріна-Остроградського (1828) виражає перетворення інтеграла,обчисленню за обсягом, обмеженим певною поверхнею, в інтеграл, обчислений по цій поверхні. Цю формулу він узагальнив у 1834 році на випадок n-кратного інтеграла. М.В. Остроградський ввів у формулу перетворення подвійних інтегралів у потрійні. В 1836 році водночас з К.Г. Якобі та Е.Ш. Каталаном він розробив спосіб заміни змінних у кратних інтегралах. Незалежно від У.Р. Гамільтона відкрив принцип найменшої дії (принцип Гамільтона-Остроградського). Інші праці присвячені проблемам варіаційного числення, інтегруванню алгебраїчних функцій, теорії чисел, алгебрі, геометрії, теорії ймовірностей. Після Остроградського залишилася велика наукова і педагогічна спадщина -це роботи по математичній фізиці, механіці, внутрішній балістиці, математичному аналізу, теорії чисел, алгебрі, геометрії та теорії ймовірності.

Размещено на Allbest.ru