Центр случайного вектора и распределение случайных величин

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

на тему: «Центр случайного вектора и распределение случайных величин»

Задача 1

Закон распределения случайного вектора (X, Y) задан в табличном виде:

pij	xi
	1	2	5
yj	0	1/9	1/9	1/9
	2	0	1/6	1/6
	4	0	0	1/3

рассеивание вектор корреляция матрица распределение

1. Найти центр рассеивания случайного вектора (X, Y).

2. Вычислить условное математическое ожидание M[X/Y = 2] и дисперсию D[X/Y = 2].

3. Построить ковариационную и корреляционную матрицы.

4. Установить закон распределения случайных величин: S = X + Y и Z = XY.

Решение.

1/9+1/9+1/9+1/6+1/6+1/3=1/3+1/3+1/3=1.

Условия нормировки выполняется.

1. Найти центр рассеивания случайного вектора (X, Y).

Сложим вероятности по столбцам, получим закон распределения Х:

X	1	2	5
рX	1/9	1/9+1/6=5/18	1/9+1/6+1/3=11/18

Сложим вероятности по строкам, получим закон распределения Y:

Y	0	2	4
рY	3/9	2/6	1/3

Математическое ожидание Х .

Математическое ожидание

Y .

Центр рассеивания случайного вектора

(X, Y) .

2. Вычислить условное математическое ожидание M[X/Y = 2] и дисперсию D[X/Y = 2].

Найдем закон распределения X при условии Y=2.

Условные вероятности

X .

X	1	2	5
p(X/Y=2)	0	1/2	1/2

.

.

3. Построить ковариационную и корреляционную матрицы.

Найдем ковариацию X и Y.

Найдем дисперсии X и Y по одномерным законам распределения.

Ковариационная матрица

.

.

Коэффициент корреляции

.

Корреляционная матрица

.

4. Установить закон распределения случайных величин: S = X + Y и Z = XY.

1) Случайная величина X+Y принимает значения с вероятностями .

xi	1	2	5
yj	0	2	4	0	2	4	0	2	4
xi +y j	1	3	5	2	4	6	5	7	9
p i j	1/9	0	0	1/9	1/6	0	1/9	1/6	1/3

Объединяем повторяющиеся значения (если они есть), суммируя их вероятности. Значения, вероятности которых равны 0, исключаем.

Закон распределения X+Y:

X+Y	1	2	4	5	7	9
pX+Y	1/9	1/9	1/6	1/9	1/6	1/3

.

2) Случайная величина XY принимает значения с вероятностями .

xi	1	2	5
yj	0	2	4	0	2	4	0	2	4
xi y j	0	2	4	0	4	8	0	10	20
p i j	1/9	0	0	1/9	1/6	0	1/9	1/6	1/3

Объединяем повторяющиеся значения (если они есть), суммируя их вероятности. Значения, вероятности которых равны 0, исключаем.

Закон распределения XY:



XY	0	4	10	20
pX+Y	1/3	1/6	1/6	1/3

Задача 2

Координаты X, Y случайного положения точки на плоскости имеют совместное равномерное распределение внутри области G = {(x, y) | -0 x  4, -4  y  2}.

1. Найти центр рассеивания случайного вектора (X, Y).

2. Вычислить условное математическое ожидание M[X/Y = 0] и дисперсию D[X/Y = 0].

3. Построить ковариационную и корреляционную матрицы.

4. Установить закон распределения случайных величин: S = X + Y и Z = XY.

5. Найти центр рассеивания случайного вектора (X, Y).

1. Найти центр рассеивания случайного вектора (X, Y).

Функция плотности совместного равномерного распределения в области G постоянна и равна

.

Одномерные плотности вероятности распределения X и Y

Так как , X и Y независимы.

Случайные величины X и Y также распределены равномерно. Математические ожидания равны

То же по формулам для равномерного распределения:

Центр рассеивания случайного вектора

(X, Y) .

2. Вычислить условное математическое ожидание M[X/Y = 0] и дисперсию D[X/Y = 0].

Условная плотность вероятности .

Плотность вероятности X при условии Y=0 .

Условное математическое ожидание

условная дисперсия

.

3. Построить ковариационную и корреляционную матрицы.

Найдем ковариацию X и Y.

Найдем дисперсии X и Y по одномерным законам распределения.

То же по формулам для равномерного распределения:



Ковариационная матрица

.

.

Коэффициент корреляции

.

Корреляционная матрица

.

4. Установить закон распределения случайных величин: S = X + Y и Z = XY.

1) По определению функции распределения,

.

Вероятность того, что X+Y<s, равна отношению площади S₀ той части прямоугольника G, которая лежит ниже прямой , к площади всего прямоугольника, равной 248.

Из рисунков видим, что

при , при , при ,

при , при .

.

Плотность вероятности

.

2) .



Вероятность того, что X·Y<z, равна отношению площади S₀ той части прямоугольника, которая в 1-й и 4-й четвертях плоскости лежит ниже гиперболы , к площади всего прямоугольника, равной 24.

Из рисунков видим, что

при ,

при ,

при

при .

.

Плотность вероятности

.

Задача 3

Пусть время до отказа рассматриваемого изделия подчиняется экспоненциальному закону с параметром , где -- неизвестный параметр. По результатам испытаний образцов изделий получена выборка:

377.87 с, 197.73 с, 99.09 с, 88.05 с, 34.33 с, 16.39 с, 117.93 с, 76.91 с.

Найти оценку параметра , используя различные способы.

Плотность вероятности экспоненциального закона распределения , л - неизвестный параметр.

1) Метод моментов

Объем выборки .

Выборочная средняя

является точечной оценкой математического ожидания.

Математическое ожидание экспоненциального распределения выразим через его параметр.

Приравнивая мат. ожидание его выборочной оценке, получим оценку неизвестного параметра распределения.

.

2) Метод наибольшего правдоподобия

Функция правдоподобия ,

t _i - варианты выборки, .

.

Логарифмическая функция правдоподобия:

.

Найдем первую производную по л: .

Приравняв её нулю, найдем критическую точку:

.

Найдем вторую производную по

л: .

Вторая производная отрицательна, следовательно, - точка максимума и она принимается в качестве оценки наибольшего правдоподобия неизвестного параметра л.

.

3) Метод квантилей.

Найдем медиану (квантиль 0,5) выборки.

Упорядочим выборку по возрастанию:

16.39 с,34.33 с,76.91 с,88.05 с,99.09 с,117.93 с,197.73 с,377.87 с.

Медиана выборки .

Теоретический квантиль 0,5 находится из условия .

Функция распределения экспоненциального распределения

.

Оценку параметра находим, приравнивая теоретический и выборочный квантиль:

Задача 4

Пусть определяется величина H с помощью измерительного прибора. Среднеквадратичное отклонение погрешности измерения ₀ равно 10 мм. По результатам измерений получена следующая выборка:

427.3 мм, 428.9 мм, 443.3 мм, 431.6 мм, 428.6 мм, 422.7 мм.

Считая, что H ~ N(, ₀), определить доверительный интервал для параметра с уровнем доверия 0.9.

Доверительный интервал для оценки параметра, нормально распределенной случайной величины с известным среднеквадратическим отклонением имеет вид , - квантиль нормального распределения.

Объем выборки .

Выборочная средняя

.

По заданному уровню доверия определяем .

По таблице квантилей нормального распределения, находим квантиль порядка

.

.

C вероятностью 0,9 параметр находится в интервале .

Задача 5

Пусть измеряемая величина Y ~ N(, ) является пределом прочности при растяжении материала (Ст. 3). По результатам испытаний образцов получена выборка:

424.3 МПа, 433.2 МПа, 417.5 МПа, 434.6 МПа, 437.6 МПа, 424.7 МПа.

Установить доверительные интервалы для и с уровнем значимости 0.1.

Объем выборки .

Выборочная средняя

.

Выборочная дисперсия

.

Исправленное среднеквадратическое отклонение

.

1) Доверительный интервал для параметра случайной величины, распределённой по нормальному закону с неизвестным среднеквадратическим отклонением, имеет вид .

- квантиль распределения Стьюдента с степенями свободы порядка .

По таблице, .

C вероятностью 0,9 параметр находится в интервале .

2) Доверительный интервал для среднеквадратического отклонения случайной величины , распределённой по нормальному закону, имеет вид

.

По таблице находим квантили распределения с степенями свободы.

.

.

.

C вероятностью 0,9 параметр находится в интервале

.

Задача 6

Данные измерения величины y в зависимости от факторов m, b и s представлены в табл. 1 и 2.

Таблица 1. Значения y в зависимости от m, b и s

№ опыта	m, кг	b, Hc/м	s, H/м	y, H
1	5	1	1	24.63
2	1	1	1	13.21
3	5	5	1	41.73
4	1	5	1	30.96
5	5	1	3	38.6
6	1	1	3	28.26
7	5	5	3	57.18
8	1	5	3	44.07

Таблица 2. Данные специальной серии опытов по измерению величины y

№ опыта	m, кг	b, Hc/м	s, H/м	y, H
1	3	3	2	35.96
2	3	3	2	35.08
3	3	3	2	35.82
4	3	3	2	34.98
5	3	3	2	34.44
6	3	3	2	35.07
7	3	3	2	36.17
8	3	3	2	34.96

Используя данные из этих таблиц, найти экспериментальную зависимость y(m, b, s). В качестве первого приближения следует выбрать линейную регрессионную модель вида

y(m, b, s) = ₀1 + ₁ m + ₂ b + ₃ s + e,

где ₀, ₁, ₂, ₃ -- коэффициенты регрессии; 1, m, b, s -- базисные функции (F₀ = 1, F₁ = m, F₂ = b, F₃ = s); e -- случайная величина.

Сначала найдем стандартизированные коэффициенты методом наименьших квадратов из системы .

- вектор коэффициентов парной корреляции между зависимой переменной и объясняющими переменными;

- матрица коэффициентов парной корреляции между объясняющими переменными;

- вектор стандартизированных коэффициентов.

Табл.1. Значения y в зависимости от m, b и s.

№ опыта	m, кг	m2	b, Hc/м	b2	s, H/м	s2	y, H	y2	m·b	m·s	b·s	y·m	y·b	y·s
1	5	25	1	1	1	1	24.63	606,6	5	5	1	123,15	24,63	24,63
2	1	1	1	1	1	1	13.21	174,5	1	1	1	13,21	13,21	13,21
3	5	25	5	25	1	1	41.73	1741,4	25	5	5	208,65	208,65	41,73
4	1	1	5	25	1	1	30.96	958,5	5	1	5	30,96	154,8	30,96
5	5	25	1	1	3	9	38.6	1490	5	15	3	193	38,6	115,8
6	1	1	1	1	3	9	28.26	798,6	1	3	3	28,26	28,26	84,78
7	5	25	5	25	3	9	57.18	3270	25	15	15	285,9	285,9	171,54
8	1	1	5	25	3	9	44.07	1942	5	3	15	44,07	220,35	132,21
У	24	104	24	104	16	40	278,64	10981	72	48	48	927,2	974,4	614,86

Табл.2. Данные специальной серии опытов по измерению величины y.

№ опыта	m, кг	m2	b, Hc/м	b2	s, H/м	s2	y, H	y2	m·b	m·s	b·s	y·m	y·b	y·s
1	3	9	3	9	2	4	35.96	1293	9	6	6	107,88	107,88	71,92
2	3		3		2		35.08	1231				105,24	105,24	70,16
3	3		3		2		35.82	1283				107,46	107,46	71,64
4	3		3		2		34.98	1224				104,94	104,94	69,96
5	3		3		2		34.44	1186				103,32	103,32	68,88
6	3		3		2		35.07	1230				105,21	105,21	70,14
7	3		3		2		36.17	1308				108,51	108,51	72,34
8	3		3		2		34.96	1222				104,88	104,88	69,92
У	24	72	24	72	16	32	282,48	9977	72	48	48	847,44	847,44	564,96

По табл.1 и 2 находим выборочные средние и дисперсии

, n=8+8=16.

.

Находим коэффициенты парной корреляции

.

.

.

.

Факторы m, b, s попарно некоррелированы.

Получили , откуда

.

Находим оценки коэффициентов уравнения регрессии

y(m, b, s) = ₀1 + ₁ m + ₂ b + ₃ s + e

по формулам , .

Выборочное уравнение линейной регрессии

.

Проверим соответствие регрессионной модели результатам эксперимента.

Множественный коэффициент корреляции

Множественный коэффициент детерминации

.

Оценка значимости уравнения регрессии.

Проверим основную гипотезу при альтернативной гипотезе .

Наблюдаемое значение -статистики

.

Критическая точка распределения Фишера

при уровне значимости (доверительная вероятность 0,95) .

. Основная гипотеза отвергается. Коэффициент детерминации и уравнение регрессии в целом значимы. Линейная модель хорошо соответствует экспериментальным данным.

Размещено на Allbest.ru