Дифференциальные уравнения

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задание № 1

Для динамических звеньев, дифференциальные уравнения которых приведены ниже, вывести формулы передаточных функций , переходных функций , амплитудно-частотных (АЧХ) , фазочастотных (ФЧХ) и амплитудно-фазовых (АФХ) характеристик. Рассчитать и построить графики переходных функций и частотных характеристик при заданных числовых значениях коэффициентов.

Решение

1. Усилительное (пропорциональное, идеальное, безынерционное звено)

.

Вывод передаточной функции.

Переходная функция пропорционального звена

В ответ на единичное ступенчатое воздействие сигнал на выходе мгновенно достигает величины в k=10 раз большей, чем на входе и сохраняет это значение

Частотные характеристики

АФЧХ:

ВЧХ: ; МЧХ:

АЧХ: ; ФЧХ: .

2. Звено чистого транспортного запаздывания

при

при

Вывод передаточной функции.

Разложим правую часть уравнения (т.е. выходной сигнал) в ряд Тейлора:



Таким образом, звено чистого транспортного запаздывания имеет передаточную функцию вида

Получение переходной функции

Выполним обратное преобразование Лапласа, получим

Частотные характеристики

АФЧХ:

ВЧХ: ; МЧХ:

АЧХ: ;

ФЧХ:.

Апериодическое (инерционное) звено первого порядка



Вывод передаточной функции.

Получение переходной функции

Разложим на простейшие дроби.

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях р.

Выполним обратное преобразование Лапласа, получим переходную функцию:



Частотные характеристики

АФЧХ:

ВЧХ: ; МЧХ:

АЧХ: ;

ФЧХ: .

Идеальное интегрирующее звено



Вывод передаточной функции.

Получение переходной функции

Выполним обратное преобразование Лапласа, получим

Частотные характеристики

АФЧХ:

ВЧХ: ; МЧХ:

АЧХ: ;

ФЧХ: .

Реальное интегрирующее звено (интегрирующее инерционное)

Вывод передаточной функции.

Получение переходной функции

Разложим на простейшие дроби.

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях р.

Выполним обратное преобразование Лапласа, получим переходную функцию:

Частотные характеристики

АФЧХ:

ВЧХ: ; МЧХ:

АЧХ: ;

ФЧХ: .

Изодромное звено (пропорционально-интегральное звено)



Вывод передаточной функции.

Получение переходной функции

Выполним обратное преобразование Лапласа, получим переходную функцию:

Частотные характеристики

АФЧХ:

ВЧХ: ; МЧХ:

АЧХ: ;

ФЧХ: .

7. Идеальное дифференцирующее звено

.

Вывод передаточной функции.

Получение переходной функции

Переходная функция:

Частотные характеристики

АФЧХ:

ВЧХ: ; МЧХ:

АЧХ: ;

ФЧХ: .



Реальное дифференцирующее звено (дифференцирующее инерционное)

Вывод передаточной функции.

Получение переходной функции



Выполним обратное преобразование Лапласа, получим переходную функцию:

Частотные характеристики

АФЧХ:

ВЧХ: ; МЧХ:

АЧХ: ;

ФЧХ: .



Форсирующее звено первого порядка (пропорционально-дифференциальное звено)

Вывод передаточной функции.

Получение переходной функции



Выполним обратное преобразование Лапласа, получим переходную функцию:

Частотные характеристики

АФЧХ:

ВЧХ: ; МЧХ:

АЧХ: ;

ФЧХ: .

Звено второго порядка

Вывод передаточной функции.

Получение переходной функции

При



Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях р.

Выполним обратное преобразование Лапласа, получим переходную функцию:

При Передаточная функция имеет вид

Корни характеристического уравнения принимают значения

где -коэффициент затухания;

-угловая частота колебаний.

Переходная функция звена имеет вид:

где

Таким образом имеем:

Частотные характеристики

АФЧХ:

ВЧХ: ; МЧХ:

АЧХ: ;

ФЧХ: .

При

При

Задание № 2

дифференцирующий числовой функция лаплас

Рассчитать, построить графики и проанализировать, как изменятся переходные функции и частотные характеристики звена, указанного в индивидуальном задании, если звено будет иметь транспортное запаздывание.

Решение.

Передаточная функция узла с запаздыванием.

Частотные характеристики

АФЧХ:

ВЧХ:

МЧХ:

АЧХ:

ФЧХ:

При



При

Таким образом, наличие звена с запаздыванием не меняет модуля, а лишь вносит дополнительный фазовый сдвиг (-щф).

Задание № 3

Найти передаточные функции и частотные характеристики последовательного соединения двух звеньев 3-го и 8-го. Графики частотных характеристик (АЧХ, ФЧХ, АФХ) для исходных звеньев и их последовательного соединения совместить в одних координатных осях.

Вывод передаточной функции последовательно соединенных звеньев

Полученная передаточная функция не совпадает ни с одной, передаточной функцией ранее рассмотренных динамических звеньев.

Получение переходной функции



Выполним обратное преобразование Лапласа, получим переходную функцию:

Частотные характеристики

АФЧХ: ;

ВЧХ: ;

МЧХ: ;

АЧХ: ;

ФЧХ: .



Размещено на Allbest.ru