Исчисление интегралов

Размещено на http://www.allbest.ru/

15

Задание 1. Найти указанные пределы

Задание 2. Найти производные функций

Ї продифференцируем это выражение

или

Отсюда

Задание 3. Представить комплексные числа a, b, и c, в показательной форме и вычислить выражение , . Ответ записать в алгебраической форме.

1. a = 1 - i, b = - - i, c = 1 + i.

Решение. Пользуясь формулами , вычисляем:

, ,

Тогда

Используя формулу Муавра, запишем

При k=0 имеем

При k=1 имеем

Задание 4. Найти наименьшее и наибольшее значения функции z = f(x,y) в замкнутой области D, заданной системой неравенств. Сделать чертеж.

1.

Решение. Имеем треугольную область определения

Можно найти экстремальную точку функции Z в этой области:

,

Таким образом, экстремальная точка будет при

, откуда х=-1/2, у=1/6, эта точка входит в область определения нашей функции, поэтому

Найдём значения функции на границах области: Z(-1, -1)=4, Z(-1, 2)=10, Z(2, -1)=10

Подставив х=-1, получим Z=1+3y²-1-y=3y²-y. Найдём экстремум этой функции: , откуда у=1/6, тогда

Подставив у=-1, получим Z=х²+3+х+1=х²+х+4. Найдём экстремум этой функции: , откуда х=-1/2, тогда

Подставим у=1-х, получим Z=x²+3(1-x)²+x+x-1, тогда

,

откуда х=1/2, у=1/2, тогда

Таким образом, имеем ,

Задание 5. Найти неопределенные интегралы. Правильность полученных результатов проверить дифференцированием

Сравнивая полученный результат с дробью, которая была до разложения, убеждаемся, что

, откуда А=1 и , откуда В=0, С=-4

Тогда

Проверим это:

У нас получилась в точности подынтегральная функция, следовательно, мы решили правильно

Проверим это:

У нас получилась в точности подынтегральная функция, следовательно, мы решили правильно

Ї возьмём этот интеграл по частям

Формула выглядит следующим образом:

.

За U примем , за .

Тогда , V=.

.

К оставшемуся интегралу применим тот же приём

За U примем , за .

Тогда , V=.

Проверим это:

У нас получилась в точности подынтегральная функция, следовательно, мы решили правильно

Задание 6. Вычислить определенный интеграл

Задание 7. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость

Этот интеграл расходится

Задание 8. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле, сделать чертеж области интегрирования

Решение. Найдем область интегрирования

Видно, что область ограничена точками (0, -6), (0, 0), (1, -8), а также соответствующими кривыми.

Если переделывать порядок интегрирования, то необходимо разделить область интегрирования на 2 части прямой у=-6. Тогда кривые будут соответственно

,

Имеем:

Задание 9. Вычислить криволинейный интеграл

от точки А (1; 2) до точки В (3; 0) вдоль прямой, соединяющей эти точки.

Решение. Зададим уравнение прямой АВ: направляющий вектор есть (2, _2), тогда уравнение прямой есть или у=3-х, тогда dy=-dx, и наш интеграл есть

Если выражать х=3-у, то dx=-dy, и наш интеграл есть

Задание 10. Найти общее решение дифференциального уравнения

а)

б) ; , .

А) Решение. Используем такую замену: y=uv, тогда

, тогда , или

. Подберём такую функцию u, чтобы

. Имеем: , откуда lnu=-lnx, или .

Теперь , откуда . Отсюда , и исходная функция

. Это общее решение.

Б) Решение. Используем такую замену: y=uv, тогда

, тогда , или

. Подберём такую функцию u, чтобы

. Имеем: , откуда lnu=lnx, или .

Теперь , откуда . Отсюда , и исходная функция

. Это общее решение. Подставим х₀=1, получим

, следовательно, С=1 и искомое частное решение есть

Задание 11. Найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

Решение. Решение однородного уравнения можно искать в виде , так как характеристическое уравнение r²-5r+6=0 имеет два действительных корня r=2 и r=3.

Найдём теперь частное решение неоднородного уравнения

в виде у*=(Ax+B)ехр(-х). Первая производная есть у'*=exp(-x)(-Ax-B+A), вторая производная Ї

у''*= exp(-x)(Ax+B-A-А)=exp(-x)(Ax+B-2A)

Конструируем исходное уравнение:

exp(-x)(Ах+В+5Ах+5В-5А+6Ах+6В-12А)=(12х-7)ехр(-х)

откуда, естественно, , откуда А=1, В=0

Отсюда общее решение исходного неоднородного уравнения есть

.

Подставим х=0, получим , т.е., С₂=-С₁

Найдём первую производную нашего общего решения:

, подставим туда х=0:

или

,

откуда С₂=-1, С₁=1, искомое частное решение исходного неоднородного уравнения есть

интеграл дифференцирование уравнение

Задание 12. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений операционным методом

Решение. Так как начальные условия не заданы, то составим характеристическую матрицу , приравняем её определитель нулю:

Имеем квадратное уравнение: л²+л-6=0, у него два корня л=-3 и л=2.

Найдём собственные векторы, соответствующие этим значениям. Пусть л=-3, тогда , откуда 4б₁=-б₂, и собственный вектор есть Пусть л=2, тогда , откуда б₁=б₂, и собственный вектор есть То есть, общее решение ищем в виде , где А Ї матрица коэффициентов уравнения, z Ї её собственная матрица

,

где б Ї некоторое произвольное число, не равное нулю.

Размещено на Allbest.ru