Исследование функций

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Найти производную функции, заданной явно, неявно или параметрически

1)

2)

;

;

2. Исследовать функцию и построить ее график

Область определения функции: , т.е. все точки, кроме тех, в которых знаменатель равен нулю.

Исследуем точки и на разрыв.

Точка является точкой разрыва II рода, т.к. пределы бесконечны.

Точка является точкой разрыва II рода, т.к. пределы бесконечны

Производная функции:

Критическая точка: - в ней производная равна нулю. Производная не существует при и . Функция возрастает на интервале (-?; -1), т.к. на этом участке . Функция убывает на интервале (1; ?), т.к. на этом участке .

- точка максимума, т.к. производная меняет знак с «+» на «-», .

Вторая производная:

Точек, в которых нет. Но не существует в точках разрыва функции.

на интервале (-2; 0) (здесь функция выпукла).

на интервале (-?; 0)(2; ?) (здесь функция вогнута).

Вертикальные асимптоты: . Выясним наличие наклонных асимптот .

;

Следовательно, наклонная асимптота: (горизонтальная). Строим график функции.

3. Найти интегралы

а)

Применим формулу интегрирования по частям

б)

Применим формулу интегрирования по частям

4. Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями

, .

Находим точки пересечения линий:

Делаем рисунок и заштриховываем заданную фигуру.

Находим площадь фигуры:

5. Найти частное решение дифференциального уравнения 1-го порядка

Упростим уравнение:

Получили уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:

Интегрируем уравнение:

В результате получим:

,

или

Находим частное решение - подставляем начальные условия:

;

Тогда частное решение уравнения:

6. Изменить порядок интегрирования (сделать чертеж области)

Область ограничена линиями снизу и сверху от -1 до 0, и линиями снизу и сверху от 0 до .

Строим область на чертеже.

Из уравнения находим , из уравнения находим . Эти линии пересекаются в точке (0; 1). Тогда:

.

7. С помощью двойного интеграла найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

Решение: Преобразуем уравнения линий:

;

Получились уравнения окружностей с радиусами R=2 и центрами соответственно в точках М₁(2; 0) и М₂(0; 2). Строим чертеж.

Для нахождения площади перейдем к полярным координатам:

Из первого уравнения получим: , откуда

Из второго уравнения получим: , откуда .

Найдем точки пересечения этих двух линий: . Разделив на выражение в правой части, получим , откуда .

Находим площадь:

8. Найти объем тела, ограниченного заданными поверхностями (сделать схематический чертеж).

Решение: Заданное тело составляют параболоид и конус . Перейдем к цилиндрическим координатам:

Уравнение параболоида будет выглядеть: .

Уравнение конуса будет выглядеть: .

Приравняв эти выражения, получим , откуда . То есть линией пересечения конуса и параболоида будет окружность .

Делаем схематический чертеж.

Находим объем тела:

9. На склад поступила продукция трех фирм, выпускающих телефонные аппараты. Объемы продукции первой, второй и третьей фирм относятся как 3:5:4. Известно, что кнопочные аппараты среди продукции первой фирмы составляют в среднем 92%, второй - 90%, третьей - 85%. Найти вероятность того, что наудачу взятый аппарат, оказавшийся кнопочным, изготовлен второй фирмой.

Решение: Рассмотрим события:

А - наудачу взятый аппарат оказался кнопочным;

Н₁ - наудачу взятый аппарат изготовлен первой фирмой;

Н₂ - наудачу взятый аппарат изготовлен второй фирмой;

Н₃ - наудачу взятый аппарат изготовлен третьей фирмой.

Вероятности событий:

Условные вероятности того, что наудачу взятый аппарат оказался кнопочным, по условию равны:

По формуле полной вероятности находим вероятность того, что наудачу взятый аппарат оказался кнопочным:

По формуле Байеса находим вероятность того, что наудачу взятый аппарат, оказавшийся кнопочным, изготовлен второй фирмой:

Ответ: .

10. Непрерывная случайная величина Х задана интегральной функцией
распределения F(x). Определить плотность вероятности p(x), математическое
ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х. Построить графики функций F(x) и р(x).

Решение:

Находим плотность вероятности:

Математическое ожидание равно:

;

Дисперсия равна:

Среднее квадратическое отклонение равно:

интеграл функция график уравнение

Строим графики функций р(x) и F(x):

Размещено на Allbest.ru