Історія інтегралу
Зародження та розвиток ідеї інтегрування. Метод вичерпання Евдокса як перший відомий метод для розрахунку інтегралів. Суть механічного методу Архімеда. Етап в побудові поняття "інтеграл", пов'язаний з іменами Ньютона і Лейбніца. Інтеграли Коші та Рімана.
| Рубрика | Математика |
| Вид | доклад |
| Язык | украинский |
| Дата добавления | 19.03.2012 |
| Размер файла | 593,5 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ
ВИЩИЙ ДЕРЖАВНИЙ НАВЧАЛЬНИЙ ЗАКЛАД
"УЖГОРОДСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ"
МАТЕМАТИЧНИЙ ФАКУЛЬТЕТ
КАФЕДРА КІБЕРНЕТИКИ І ПРИКЛАДНОЇ МАТЕМАТИКИ
Доповідь з НДРС
на тему:
Історія інтегралу
Підготував студент IV-го курсу
Габор Лайош Лайошович
Ужгород 2011
Содержание
- 1. Зародження та розвиток ідеї
- 1.1 Метод вичерпування
- 1.2 Механічний метод Архімеда
- 2. Виникнення та оформлення інтегралу
- 3. Інтеграли коші і ріман
- 4. Подальший розвиток інтегралу
1. Зародження та розвиток ідеї
Інтегрування простежується ще в давньому Єгипті, приблизно в 1800 році до н. е., Московський математичний папірус демонструє знання формули об'єму зрізаної піраміди.
1.1 Метод вичерпування
Першим відомим методом для розрахунку інтегралів є метод вичерпання Евдокса (приблизно 370 до н.е.), який намагався знайти площі і об'єми, розриваючи їх на нескінченну безліч частин, для яких площа або об'єм вже відомі. Цей метод був підхоплений і розвинений Архімедом, і використовувався для розрахунку площ парабол і наближеного розрахунку площі круга. Аналогічні методи були розроблені незалежно в Китаї в 3-м столітті н. е. Лю Хуейем, який використовував їх для знаходження площі круга. Цей метод був згодом використаний Дзю Чонгши для знаходження об'єму кулі.
Фундаментальний внесок Евдокса в математику складає метод вичерпання, що отримав таку назву в XVII ст. і застосовувався стародавніми при доказі теорем, пов'язаних з обчисленням площ, об'ємів і інших величин. Він вважається першим варіантом теорії меж.
У основі методу лежала лема: якщо і , - дві величини, підлеглі аксіомі Евдокса-Архимеда, і якщо відняти з більше її половини, із залишку більше його половини і продовжувати так необмежено, то після деякого кінцевого числа операцій вийде залишок . Це означає, що межа рівна 0.
Пояснимо застосування методу вичерпання. Припустимо, що необхідно обчислити площу деякої фігури, тобто знайти величину А. У цю фігуру вписувалися фігури, площі яких відомі і утворюють монотонну послідовність причому повинно бути
, , …, .
Тоді через основну лему при великому різниця може бути менше будь-якої величини . Далі відшукувалася границя послідовності , тобто таке число , що різниця ставала як завгодно малою. Завершувалося знаходження А доказом того, що А = В. Якщо скористатися сучасною термінологією елементарного аналізу, то доводилося, що з рівності , слідувало А = В.
Методом вичерпання математики старовини користувалися для строгого доказу істинності результатів, отриманих різними некоректними операціями з нескінченністю, граничними переходами. Евдокс методом вичерпання довів наступні теореми: площі кругів відносяться як квадрати діаметрів; об'єм піраміди рівний 1/3 об'єму призми, що має з пірамідою ті ж основу і висоту; об'єм конуса рівний І/3 об'єму циліндра, що має з конусом ті ж основу і висоту, Евклід до них додав ще теорему про те, що об'єми куль відносяться як куби діаметрів.
Архімед удосконалив Евдокса метод вичерпання і успішно користувався їм при доказі багатьох теорем. Тут і закладені початки інтегральних методів.
За допомогою методу вичерпання Архімед знайшов, наприклад, наступні найважливіші результати: площа сегменту параболи рівна 4/3 площі вписаного в нього трикутника; об'єм кулі рівний збільшеному учетверо об'єму конуса, у якого підставою служить великий круг кулі, а висотою його радіус; площа поверхні кулі рівна збільшеній учетверо площі великого круга. Архімед застосовував метод вичерпання не тільки для встановлення нових фактів, а і обгрунтування відомих раніше, але не доведених.
Далі Архімед повідомив, що він опублікує цей метод, бажаючи здійснити колишні згадки про нього і з метою допомогти сучасним і майбутнім математикам в нових відкриттях.
У "Ефодике" Архімед при обчисленні площі параболічного сегменту розглядав його і відповідний трикутник як "суми відрізків", а об'єми - як "суми площ" Він встановив об'єми кулі і кульового сегменту, еліпсоїда обертання, параболоїда обертання, центрів тяжіння фігур і тіл; розглянув завдання про знаходження об'єму "циліндрового копита" - тіла, отриманого при перетині циліндра площиною, що проходить через діаметр основи, і "монастирського зведення" - частини простору, що висікається двома рівними циліндрами, осі яких перпендикулярні. Об'єм "циліндрового копита" Архімед знаходив за допомогою принципу важеля, після чого проводив геометричний доказ.
1.2 Механічний метод Архімеда
Пояснимо суть механічного методу Архімеда на прикладі як він обчислював площу параболічного сегменту. Архімед визначав площу сегменту з основою і висотою (мал.3). Для простоти знайдемо площу, ув'язнену між дугою параболи , віссю л прямої . Це не буде значним відхиленням від міркування Архімеда. Розглянемо важіль довжини з точкою опори . На правому плечі важеля хай знаходитиметься фігура ; розіб'ємо її на вузькі смуги ширини . На малюнку така смужка розташована від початку координат на відстані х. Ордината буде , тому площа смужки приблизно рівна . Зрушимо цю смужку на кінець важеля, в точку G, і підрахуємо момент її щодо точки ; знайдемо . Зрівноважимо цю смужку смужкою площі , підвішеною до лівої частини важеля на відстані від точки О. Ординату MN отримаємо, якщо прирівняємо моменти смужок щодо крапки Це дасть:
, .
Зробимо так з кожною смужкою і отримаємо на лівому плечі важеля ряд безперервно розподілених смужок по всій довжині його . Ординати їх пропорційні , тому кінці підвісків розташовуватимуться на прямій , при цьому .
Розміщені таким чином по плечу важеля смужки, складові трикутник OCD, зрівноважать зосереджену в точці G площа фігури OGB. Площа трикутника рівна; його центр тяжіння знаходиться від вершини на відстані . Користуючись тим, що важіль знаходиться в рівновазі, прирівняємо моменти щодо точки площу трикутника і площі фігури , зосередженої в точці . Отримаємо, звідки . Оскільки ордината точки В рівна шукана площа буде .
Механічний метод Архімеда
Отже, площа сегменту параболи складає 2/3 площі прямокутника ABGC, тобто 4/3 площі вписаного в сегмент трикутника, що і встановив Архімед.
Наведений приклад, очевидно, що не можуть залишити байдужими жодного цінителя витонченого в математиці. Але вони не містять ще початків інтегрального числення. Ці початки з'являються, коли Архімед вводить аналоги сум Дарбу.
Дуже важливим для становлення інтегрального числення було удосконалення Архімедом ідеї Демокріта про розбиття плоских фігур на елементарні смужки, що "заповнюють" фігури, і тіла на шари, що заповнюють їх. Таких елементарних частин могло бути нескінченна множина або скінченне число. Цими діями Архімед передував ідеям Кеплера і Кавальєрі у визначенні числових характеристик різних геометричних об'єктів. У Кавальєрі навіть деякі вирази співпадають з тими, які вживав Архімед: обидва говорили про всі лінії, що заповнюють плоску фігуру, і про всі плоскі перетини, що заповнюють об'єм. Метод інтегральних сум розроблений Архімедом і застосований до обчислення площ і об'ємів в його творах "О шаре и цилиндре", "О коноидах и сфероидах", "О спиралях". У XIX книзі "О коноидах и сфероидах" він видозмінив лему Евдокса і цією формою користувався згодом: "Если дан сегмент какого-нибудь из коноидов, отсеченный перпендикулярной к оси плоскостью, или же сегмент какого-нибудь из сфероидов, не больший половины этого сфероида и точно так же отсеченный, то можно вписать в него телесную фигуру и описать около него другую, состоящую из имеющих равную высоту цилиндров, и притом так, чтобы описанная фигура была больше вписанной на величину, меньшую любой заданной телесной величины". Отже, вперше ідею інтегрування ми знаходимо в працях Архімеда. Вона виникла з потреб практики і ніяк не була вільним творінням розуму.
інтеграл інтегрування ньютон лейбніц
2. Виникнення та оформлення інтегралу
Тепер ми підійшли до вирішального етапу в побудові поняття інтеграл, розвитку всієї математики і наукового природознавства, етапу, пов'язаному з іменами Ньютона і Лейбніца.
Звичайно, не слід думати, що математичний аналіз створений двома людьми - Ньютоном і Лейбніцем. Це було б спрощенням. Розвиток математичного аналізу не починався і не завершився Ньютоном і Лейбніцем.
У XVII ст. велика група математиків займалася наступними основними завданнями: проведенням дотичної до кривої, що привело до виникнення диференціального числення, і обчисленням квадратури, що спричинило виникнення інтегрального числення. Заслуга Ньютона і Лейбніца полягала у відшуканні внутрішнього зв'язку між цими завданнями, синтез яких і був основою для створення могутнього знаряддя науки і наукового природознавства. Користування теоремою про взаємну оберненість операцій диференціювання і інтегрування і знання похідних багатьох функцій дали Ньютону можливість по флюксіях отримувати флюенти (функції), тобто інтегрувати. Якщо інтеграли безпосередньо не обчислювалися, Ньютон розкладав підінтегральну функцію в степеневий ряд і інтегрував його почленно. Введення такого прийому - заслуга Ньютона. Для розкладання функцій в ряди він найчастіше користувався відкритим ним розкладанням степеня бінома, діленням чисельника на знаменник, знаходження кореня.
У "Методе флюксий" Ньютон помістив дві таблиці невизначених інтегралів; у одній з них містяться інтеграли, що алгебраїчно виражаються в кінцевому вигляді, в іншій - інтеграли, що виражаються через відомі. У "Рассуждении о квадратуре кривых" Ньютон привів "Таблицю простих кривих, порівнянних з гіперболою і еліпсом", де вказав випадки інтегралів, раціональних відносно і (або що приводяться до них при ). Умови інтегрованості диференціального бінома він повідомив Лейбніцу в листі 24 жовтня 1676 року, вказавши, що виражається алгебраїчно, коли , або або - цілі невід'ємні числа.
Спрямлення кривих Ньютон здійснював приведенням до квадратури. У "Анализе с помощью уравнений" він розглянув інтеграл , який, за його словами, "дає довжину еліпса". Це - перший випадок еліптичного інтеграла. Для обчислення його Ньютон розклав чисельник і знаменник в ряди, розділив чистильник на знаменник і проінтегрував ряд почленно. Це дало вираз еліптичного інтеграла у вигляді ряду
Ньютон широко користувався також прийомом звернення рядів, тобто отриманням з ряду для у по ступенях х ряду для х по ступенях у. З цією метою він застосовував метод невизначених коефіцієнтів і послідовних наближень. Ньютон застосовував свої методи до обчислення площ, до спрямлення кривих, кубатурам, обчисленню координат центрів тяжкості і чітко уявляв, що всі ці операції здійснюються по єдиному загальному принципу.
Необхідно відзначити, що ні у Ньютона, ні у Лейбніца не було формули:
,
званою зараз формулою Ньютона-Лейбніца. Але це правило вони знали. Ньютон писав:". для отримання належного значення площі, прилеглої до деякої частини абсциси, цю площу завжди слід брати рівній різниці значень z, відповідних частинам абсцис, обмеженим початком і кінцем площі".
Викликає інтерес розробка Лейбніцем символіки диференціального і інтегрального числень. Її можна прослідкувати по рукописах. Так, 26 жовтня 1675 року Лейбніц виражав квадратуру у дусі Паскаля словами omn. w (всі ординати); 29 жовтня відмітив, що зручніше писати замість omn. вираз (сума ліній, знак ? походить від першої букви слова summa), і вказав, що тут виникає новий рід числення. Інший рід числення з'являється, по словах Лейбніца, коли з виразу слідує . Знак ? збільшував число вимірювань, а d - зменшував (d - перша буква слова differentia - різниця). Вже в рукописі 11 жовтня символи x/d і y/d замінені на dx про dу.
Інтеграл Лейбніц розумів як суму нескінченного числа доданків - визначений інтеграл. У одному з рукописів є запис dx = х. Це означає, що взаємна оберненість дій диференціювання і інтегрування у Лейбніца виступали на оперативному рівні. Лейбніц замість слова "інтеграл" вживав "сума"; термін "інтеграл" ввів І. Бернуллі.
Восени 1675 року Лейбніц сформулював основні понятті диференціального і інтегрального числення. Він дав загальні правила вирішення завдань на квадратуру і дотичні, встановив зв'язок між завданнями диференціювання і інтегрування, ввів символіку обох операцій, що збереглася понині.
Дві роботи (1701 і 1703 рр.) Лейбніц присвятив інтегруванню раціональних дробів. Для інтегрування раціонального дробу він виділяв з неї цілу частину, після чого правильний раціональний дріб представляв у вигляді суми простіших. У зв'язку з інтегруванням раціональних дробів в аналіз увійшли комплексні числа і виникла суперечка про логарифми негативних чисел.
Відкриття Ньютона і Лейбніца зробило переворот в математиці. Якщо раніше вона була доступна лише вузькому кругу фахівців, які вирішували кожне окреме завдання придуманими ними методами, то після створення алгоритму диференціального і інтегрального числення, застосовного до широкого круга завдань, математика стала інструментом в руках людей, що займаються різними дослідженнями, але що не володіють достатньо глибокими математичними знаннями.
Після знаменного часу Ньютона і Лейбніца розвиток ідеї інтеграла пішов в двох напрямах: інтеграл, що трактувався як межа деякої суми, певний інтеграл, набував досконалих і всеосяжних форм, знаходив все більше і більше застосування при вирішенні задач самої математики, в якій він склався, механіки, фізики, проник в технічні науки і став інструментом, необхідним у всіх галузях природних наук; інтеграл як сімейство первісних, невизначений інтеграл, своїм розвитком викликав виникнення абсолютно нового розділу аналізу - методів інтегрування функцій, а це у свою чергу було зв'язано з появою функцій, не відомих раніше, - клас інтегрованих функцій весь час поповнювався; найважливіше застосування невизначеного інтеграла відноситься до інтегрування диференціальних рівнянь, складових могутнього апарату багатьох наук.
3. Інтеграли коші і ріман
Творчість Коші і Рімана протікало тоді, коли в суспільному житті, природознавстві і математиці відбулися істотні зміни. Зросла роль математики в системі наук. У зв'язку з тим, що вона набула аналітичного характеру, математичні методи проникали не тільки в механіку, з якою математика була в тісному контакті ще в часи Архімеда, але і фізику, техніку і економіку. Аналіз став провідною галуззю знань. Розширилася мережа учбових закладів, що готують фахівців, стало більше університетів, вищих технічних шкіл; професори університетів почали займатися науковими дослідженнями, академіки - викладати в університетах. Збільшилася кількість періодичних наукових видань, що надало ширшу можливість публікації робіт, поліпшило інформативність.
Проте знов виникли потреби як усередині математики, так а в інших науках, а також пов'язані з обчисленням деяких первісних труднощів принципового характеру висували на перший план визначений інтеграл. Завдання теорії ймовірності, теорії рядів, інтегрування диференціальних рівнянь, математичної фізики, теорії кінцевих різниць приводили до спеціального вигляду визначених інтегралів, зокрема невласним. Прикладом таких інтегралів служить інтеграл Пуассона . Обчисленням таких інтегралів займалися багато видатних математиків. У Ейлера цим питанням відводяться цілі два томи. Дослідженню спеціальних інтегралів присвятили свої праці Лагранж, Лаплас, Пуассон, Коші.
Але це не все. Обчислення деяких інтегралів по формулі Ньютона - Лейбніца , якою практично користувалися математики, таїло в собі іноді парадокси. Першим звернув на це увагу Д'Аламбер в 1768 році - помітив, що формулою Ньютона-Лейбніца не можна користуватися при обчисленні інтегралів вигляду , коли підінтегральна функція на проміжку інтегрування перетворюється в нескінченність.
Питання існування інтегралів в творчості Коші вперше обговорювалися в його мемуарах 1814 р., в якому були відмічені парадоксальні властивості деяких подвійних інтегралів. Наприклад:
.
Коші почав розглядати подвійні інтеграли як суми елементів, відповідних різним значенням двох змінних. Парадоксальні властивості, виявлені у подвійних інтегралів, Коші переніс і на визначені інтеграли. Наприклад .
Таким чином, розвиток математики висував необхідність перегляду концепції інтеграла, і це було виконано Коші.
Коші будував визначений інтеграл так. Для неперервної на відрізку функції він складав суму
,
розбиваючи відрізок на частини точками . Потім довів, що незалежно від способу розбиття відрізка за умов, що збільшується необмежено і всі різниці прямують до нуля, "значение станет в конце концов чувствительно постоянным или, другими словами, в конце концов достигнет известного предела, который будет зависеть только от функции и крайних значений , , приписанных переменной х. Этот предел и есть то, что называют определенным интегралом".
Виходячи із визначення інтеграла і неперервності функцій Коші довів наступні властивості визначених інтегралів:
1) ,
2) ,
3) ,
4) , ,
5) ,
6) , ,
7) коли функція зберігає знак на , буде
, .
Невизначений інтеграл Коші ввів як частинний випадок визначеного, при змінній верхній межі. Він довів неперервність такого інтеграла по верхній межі і теорему про те, що похідна його по верхній межі рівна підінтегральній функції. Коші довів також справедливість формули Ньютона-Лейбніца. Він висловив положення, пов'язані з диференціюванням і інтегруванням по параметру.
Здається, зовсім мало часу пройшло після введення Коші визначеного інтеграла, але знову виникають мотиви, що вимушують переглядати, уточнювати це поняття, і знову наполегливо працює розум математиків. І поставити останню крапку про "пригоди" ідеї інтеграла випало Ріману. Тільки не слід думати, що розвиток поняття інтеграла закінчився з роботами Рімана. Його творчістю завершився шлях до інтеграла і почався шлях інтеграла, не менш цікавий і істотний для науки.
Як видно з попереднього, різні причини спонукали математиків займатися інтегралом. Для Рімана таким джерелом були тригонометричні ряди: визначений інтеграл з'явився у нього при рішенні задачі про розкладання довільної функції в тригонометричний ряд. Отже, ось перше питання: що потрібно розуміти під знаком ?
Побудова інтеграла Рімана така. Розглянемо функцію на проміжку . Розіб'ємо проміжок довільним чином точками на частини. Позначимо найбільшу з різниць через . На кожному з часткових проміжків виберемо довільно точки і обчислимо значення функції у цих точках. Складемо тепер суму . Її називають рімановою, частіше інтегральною.
Кінцева межа інтегральної суми при називається визначеним інтегралом від на проміжку і позначається . Коли така межа існує, функція називається інтегрованою на . Ріман встановив необхідний і достатній критерій інтегрованості функції.
4. Подальший розвиток інтегралу
Дослідження інтеграла після Рімана не припинилися, а пішли прискореним темпом. Якби перерахувати лише математиків, що зробили значний внесок в теорію інтеграла в другій половині XIX і в XX ст., то це зайняло б багато місця. І книга, присвячена шляху інтеграла від Рімана, скажімо, до середини XX ст., вийшла б значною. Інтеграл був, є і буде стрижньовим поняттям в математиці. Не випадково символом Міжнародного математичного конгресу, який проходив в Москві в 1966 р., був знак інтеграла.
Для подальших узагальнень інтеграла усередині самої математики повинні були дозріти умови, що допускають це. Такі умови створила розроблена в кінці XIX ст. і початку XX ст. теорія множин, з найважливішим поняттям міри множини. Виникло нове поняття - інтеграл Лебега, узагальнений інтеграл Рімана. Лебег ввів дескриптивне визначення інтеграла: сформулював його властивості, що не містять вказівок на побудову. Він дав також конструктивне визначення інтеграла - аналітичне і геометричне.
Роботи Лебега послужили значним імпульсом для подальших досліджень в математиці. Теорія міри і інтеграл Лебега служать теоретичним інструментом в сучасній теорії диференціальних рівнянь, теоретичній в математичній фізиці, теорії узагальнених функцій, теорії лінійних операторів і спектральної теорії, теорії вірогідності, теорії випадкових процесів і інших розділах математики.
Майже одночасно з Лебегом при рішенні задачі про розподіл маси на інтервалі узагальнення інтеграла Рімана здійснив Т. Стілтьєс. Введення інтеграла Стілтьєса (1856-1894) також привело до нових робіт, присвяченим його властивостям, різним застосуванням, з'ясуванню зв'язку інтеграла Стілтьєса з інтегралами Рімана і Лебега.
У 1912 році з'явилося узагальнення інтеграла Лебега - інтеграл А. Данжуа (1884-1973), що викликав новий потік досліджень. У 1930 р. А.І. Колмогоров (р. 1903) опублікував роботу, в якій охоплені всі інтеграли як межі різні інтегральні сум. Інтеграл Колмогорова знайшов застосування в математичній фізиці, при математичному обґрунтуванні квантової механіки.
У розвиток поняття інтеграла, окрім Колмогорова, внесли великий внесок і інші російські математики. Вони зробили першочергової важливості відкриття. Це П.Л. Чебишов, А.А. Марков (1856-1922), А.М. Ляпунов, II.Н. Лузін (1883-1950), А.Я. Хінчін (1894-1959). У теорії функцій А.Я. Хінчін одночасно з Данжуа створив теорію апроксимативних похідних і узагальнив поняття інтеграла.
Свої дослідження по асимптотичних похідних Хінчін використовував (1916 р.) для узагальнення інтеграла Данжуа. Він знайшов необхідну і достатню умови для того, щоб інтеграл Данжуа був первісною функцією, а також зняв обмеження, накладене Данжуа на застосування свого інтегрального процесу, і в результаті отримав інтеграл, що дозволяє відновлювати елементарну функцію по її асимптотичній похідній. Трохи згодом сам Данжуа опублікував таке ж узагальнення, але пріоритет належить Хінчину, хоча в світовій літературі цей інтеграл носить ім'я Данжуа - Хінчина.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Таблиця основних інтегралів та знаходження невизначених інтегралів від елементарних функцій. Розкладання підінтегральної функції в лінійну комбінацію більш простих функцій. Метод підстановки або заміни змінної інтегрування. Метод інтегрування частинами.
реферат [150,2 K], добавлен 29.06.2011Поняття подвійного та потрійного інтегралів. Кратні інтеграли в криволінійних координатах. Геометричні й фізичні додатки кратних інтегралів. Криволінійні й поверхневі інтеграли. Спосіб обчислення криволінійного інтеграла першого та другого роду.
курсовая работа [278,9 K], добавлен 14.01.2011Проблеми відновлення функції по відомій її похідній для науки та техніки серед множини абелевих інтегралів та алгебраїчних кривих і функцій. Інтегрування виразів до многочленів під коренем як вид еліптичних інтегралів. Перетворення до канонічної форми.
курсовая работа [150,8 K], добавлен 25.05.2009Означення і основні властивості інтеграла Стілтьєса, його зв’язок, особливості і відмінності від інших визначених інтегралів і загальні умови існування. Приклади застосування інтеграла для розв’язку різних класів задач. Узагальнення інтегралу Рімана.
курсовая работа [370,2 K], добавлен 21.05.2009Суть поверхневих інтегралів першого роду, які є узагальненням подвійних інтегралів. Лист Мебіуса, як приклад односторонньої поверхні. Формула Остроградського-Гаусса, яка встановлює зв'язок між поверхневим інтегралом по замкненій поверхні. Формула Стокса.
реферат [634,6 K], добавлен 16.03.2011Поняття та способи розв’язку невласного подвійного інтегралу. Теорема про абсолютну збіжність невласного подвійного інтеграла. Інтеграли від необмежених функцій. Приведення подвійного інтеграла до повторного. Заміна змінних в невласних інтегралах.
курсовая работа [782,9 K], добавлен 05.02.2011Огляд основних відомостей про визначений інтеграл та його застосування в такій сфері суспільного життя, як економіка. Основні методи інтегрування невизначеного інтегралу. Інтегрування деяких виразів, які містять квадратичний тричлен у знаменнику.
реферат [605,0 K], добавлен 06.11.2012Поняття диференціальних рівнянь. Задача Коші і крайова задача. Класифікація методів для задачі Коші. Похибка методу Ейлера. Модифікований метод Ейлера-Коші. Пошук рішення задачі однокроковим методом Ейлера. Порівняння чисельного рішення з точним рішенням.
презентация [294,4 K], добавлен 06.02.2014Вивчення елементарних функцій, інтеграли від яких не є елементарними функціями, тобто вони не обчислюються в скінченному вигляді або не 6еруться. Наближені методи обчислення визначених інтегралів. Дослідження невласних інтегралів та ознаки їх збіжності.
реферат [1,1 M], добавлен 18.07.2010Заміна змінних у подвійному інтегралі. Подвійний інтеграл у полярних координатах. Застосування формул перетворення координат та оберненого перетворення. Функціональний визначник Якобі або якобіан. Подвійні інтеграли в рішенні задач з геометрії й механіки.
контрольная работа [453,4 K], добавлен 23.03.2011
