Применение линейной алгебры в экономике

Размещено на http://www.allbest.ru/

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

I. Установить, какие кривые определяются нижеследующими уравнениями. Построить чертеж.

4х²+9у²+16х-18у-119=0

Решение. Приведем к каноническому виду данные кривые:

Введем новую систему координат:

тогда

Это каноническое уравнение эллипса.

График приведен на рисунке 1.

II. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку А перпендикулярно вектору ВС.



А(-10,0,9), В(12,4,11), С(8,5,15).

Решение. ВС будет вектором нормали (т.е. вектором перпендикулярным плоскости), а уравнение имеет вид: a(х-х₀)+b(у-у₀)+c(z-z₀)=0 где a,b,c координаты вектора ВС (в нашем случае это (-4;1;4) ), а х₀,у₀,z₀ координаты точки через которую походит плоскость, в нашем случае это точка А. Подставляем и получим:

-4(х-(-10))+ (y-0)+4(z-9)=0,

Раскроем скобки и получим:

-4х+у+4z-76=0.

Ответ: -4х+у+4z-76=0

III. Найти угол между плоскостями.

x+2y+2z-3=0, 2x-y+2z+5=0.

Решение. Угол между плоскостями находится по формуле:

где А, В и С - направляющие вектора наших плоскостей. В нашем случае

Направляющие вектора будут: (1,2,2) и (2,-1,2). Тогда

Откуда

Ответ: 63,6⁰

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

I. Даны матрицы:

Выполните над матрицами указанные действия: 2В-3АС

Решение. Будем выполнять действия по частям, сначала найдем 2В

Теперь найдем К=АС

Вычислим элементы матрицы |К|:

к_1,1 = a_1,1с_1,1+a_1,2с_2,1+a_1,3с_3,1

к_1,2 = a_1,1с_1,2+a_1,2с_2,2+a_1,3с_3,2

к_1,3 = a_1,1с_1,3+a_1,2с_2,3+a_1,3с_3,3

к_2,1 = a_2,1с_1,1+a_2,2с_2,1+a_2,3с_3,1

к_2,2 = a_2,1с_1,2+a_2,2с_2,2+a_2,3с_3,2

к_2,3 = a_2,1с_1,3+a_2,2с_2,3+a_2,3с_3,3

к_3,1 = a_3,1с_1,1+a_3,2с_2,1+a_3,3с_3,1

к_3,2 = a_3,1с_1,2+a_3,2с_2,2+a_3,3с_3,2

к_3,3 = a_3,1с_1,3+a_3,2с_2,3+a_3,3с_3,3

к1,1 = 4 * 1 + 6 * 1 + 5 * 1 = 4 + 6 + 5 = 15

к1,2 = 4 * 4 + 6 * 4 + 5 * 3 = 16 + 24 + 15 = 55

к1,3 = 4 * 3 + 6 * 2 + 5 * 1 = 12 + 12 + 5 = 29

к2,1 = 2 * 1 + 4 * 1 + 1 * 1 = 2 + 4 + 1 = 7

к2,2 = 2 * 4 + 4 * 4 + 1 * 3 = 8 + 16 + 3 = 27

к2,3 = 2 * 3 + 4 * 2 + 1 * 1 = 6 + 8 + 1 = 15

к3,1 = 2 * 1 + 1 * 1 + 0 * 1 = 2 + 1 + 0 = 3

к3,2 = 2 * 4 + 1 * 4 + 0 * 3 = 8 + 4 + 0 = 12

к3,3 = 2 * 3 + 1 * 2 + 0 * 1 = 6 + 2 + 0 = 8

Результирующая матрица |АС|:

Тогда

Итак,

II. Решить систему линейных уравнений:

- по формулам Крамера;

- матричным способом;

- методом Гаусса.

Решение.

По формулах Крамера. Запишем систему в виде:

B^T = (-6,-4,-4)

Главный определитель:

? = 3 * (-3 * 3-(-1 * 4))-2 * (1 * 3-(-1 * (-5)))+5 * (1 * 4-(-3 * (-5))) = -66 = -66

Заменим 1-ый столбец матрицы А на вектор результата В.

Найдем определитель полученной матрицы.

?₁ = -6 * (-3 * 3-(-1 * 4))-(-4 * (1 * 3-(-1 * (-5))))+(-4 * (1 * 4-(-3 * (-5)))) = 66

Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата В.

Найдем определитель полученной матрицы.

?₂ = 3 * (-4 * 3-(-4 * 4))-2 * (-6 * 3-(-4 * (-5)))+5 * (-6 * 4-(-4 * (-5))) = -132

Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В.

Найдем определитель полученной матрицы.

?₃ = 3 * (-3 * (-4)-(-1 * (-4)))-2 * (1 * (-4)-(-1 * (-6)))+5 * (1 * (-4)-(-3 * (-6))) = -66

Выпишем отдельно найденные переменные Х

Проверка.

3*-1+1*2+-5*1 = -6

2*-1+-3*2+4*1 = -4

5*-1+-1*2+3*1 = -4

Матричным способом. Запишем матрицу в виде:

Вектор B:

B^T = (-6,-4,-4)

Главный определить

? = 3*(-3*3-(-1*4))-2*(1*3-(-1*(-5)))+5*(1*4-(-3*(-5))) = -66

Транспонированная матрица

Алгебраические дополнения

?_1,1 = (-3*3-4*(-1)) = -5

?_1,2 = -(1*3-(-5*(-1))) = 2

?_1,3 = (1*4-(-5*(-3))) = -11

?_2,1 = -(2*3-4*5) = 14

?_2,2 = (3*3-(-5*5)) = 34

?_2,3 = -(3*4-(-5*2)) = -22

?_3,1 = (2*(-1)-(-3*5)) = 13

?_3,2 = -(3*(-1)-1*5) = 8

?_3,3 = (3*(-3)-1*2) = -11

Обратная матрица

Вектор результатов X

X = A^-1 * B

X^T = (-1,2,1)

x₁ = ⁶⁶ / _-66 = -1

x₂ = ^-132 / _-66 = 2

x₃ = ^-66 / _-66 = 1

Проверка.

3*-1+1*2+-5*1 = -6

2*-1+-3*2+4*1 = -4

5*-1+-1*2+3*1 = -4

Метод Гаусса. Запишем систему в виде:

Для удобства вычислений поменяем строки местами:

Умножим 1-ую строку на (3). Умножим 2-ую строку на (-2). Добавим 2-ую строку к 1-ой

Умножим 2-ую строку на (5). Умножим 3-ую строку на (-3). Добавим 3-ую строку к 2-ой



Для удобства вычислений поменяем строки местами:

Умножим 1-ую строку на (11). Умножим 2-ую строку на (8). Добавим 2-ую строку к 1-ой

система уравнение линейный программирование

Из 1-ой строки выражаем x₃

Из 2-ой строки выражаем x₂

Из 3-ой строки выражаем x₁

ПРИМЕНЕНИЕ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ В ЭКОНОМИКЕ

Решить задачу межотраслевого баланса производства и распределения продукции для 4 отраслей.

Матрица межотраслевых материальных связей x_ij и вектор валового выпуска X_j приведены в таблице по вариантам.

Вариант	xij	Xj
15	25	90	100	60	800
	35	70	25	100	750
	20	35	70	85	520
	30	25	65	65	500

1. Найти конечный продукт каждой отрасли, чистую продукцию каждой отрасли, матрицу коэффициентов прямых затрат.

2. Какой будет конечный продукт каждой отрасли, если валовой продукт первой отрасли увеличится в 2 раза, у второй увеличится на половину, у третьей не изменится, у четвертой - уменьшится на 10 процентов.

3. Найти валовой продукт, если конечный станет равен 700, 500, 850 и 700.

Решение. Решим прямую задачу линейного программирования модифицированным симплексным методом.

Определим максимальное значение целевой функции

F(X) = x₁+x₂+x₃+x₄

при следующих условиях ограничений.

25x₁+90x₂+100x₃+60x₄=800

35x₁+70x₂+25x₃+100x₄=750

20x₁+35x₂+75x₃+85x₄=520

30x₁+25x₂+65x₃+65x₄=500

Первый этап. Для нахождения начальной допустимой базы воспользуемся методом искусственного базиса.

Имеем: матрица коэффициентов A = a_ij

25	90	100	60	1	0	0	0
35	70	25	100	0	1	0	0
20	35	75	85	0	0	1	0
30	25	65	65	0	0	0	1

Матрица b.

Итерация №1.

Базисные переменные: <X> = (5, 6, 7, 8)

Матрица c.

c = (0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1)

c_B(5,6,7,8) = (1, 1, 1, 1)

c_N(1,2,3,4) = (0, 0, 0, 0)

Матрица N формируется из матрицы А из соответствующих столбцов с номерами N.

Вычисляем:

u = c_BB^-1 = (1, 1, 1, 1)

Умножаем вектор u на матрицу N:

uN = (110, 220, 265, 310)

c^* = c_N - uN = (-110, -220, -265, -310)

Откуда номер направляющего столбца s = 4 (индекс максимального по модулю значения из отрицательных элементов).

a^* = B^-1 (a₁₄,...,a_m4)^T = (60, 0, 0, 0)^T

min(800:60 = 13.33;750:100 = 7.5;520:85 = 6.12;500:65 = 7.69;) = 6.12

Откуда номер направляющей строки r = 3 (индекс минимального значения).

Итерация №2.

Матрица c.

c = (-110, -220, -265, -310, 0, 0, 0, 0)

a^* = B^-1 (a₁₂,...,a_m2)^T = (65.2941, 0, 0, 0)^T

min(432.94:65.29 = 6.63;138.24:28.82 = 4.8;6.12:0.41 = 14.86;-;) = 4.8

Итерация №3.

Матрица c.

c = (-37.0589, -92.353, 8.5293, 0, 0, 0, 3.6471, 0)

a^* = B^-1 (a₁₂,...,a_m2)^T = (190.3046, 0, 0, 0)^T

min(119.79:190.3 = 0.63;-;4.14:1.79 = 2.32;110.82:3.78 = 29.35;) = 0.63

Итерация №4.

Матрица c.

c = (-0.3064, 0, -194.0803, 0, 0, 3.2041, -0.1224, 0)

a^* = B^-1 (a₁₁,...,a_m1)^T = (-0.0792, 0, 0, 0)^T

min(-;6.16:0.22 = 27.59;3.01:0.21 = 14.16;108.2:15.67 = 6.9;) = 6.9

Итерация №5.

Матрица c.

c = (-15.6737, 0, 0, 0, 1.0176, 0.899, 1.8712, 0)

Вектор С не содержит отрицательных элементов. Первый этап симплекс-метода завершен.

Второй этап. Удаляем столбцы с искусственными переменными. Заменим вектор оценок С на целевую функцию.

Выразим базисные переменные:

x₃ = 1.12, x₂ = 4.41, x₄ = 1.47, x₁ = 6.57

которые подставим в целевую функцию:

F(X) = 13.58

Имеем: матрица коэффициентов A = a_ij

Матрица b.

Итерация №1.

Базисные переменные: <X> = (3, 2, 4, 1)

Матрица c.

c = (0, 0, 0, 0)

c_B(3,2,4,1) = (0, 0, 0, 0)

c_N() = (0, 0, 0, 0)

Матрица N формируется из матрицы А из соответствующих столбцов с номерами N.

Вычисляем:

u = c_BB^-1 = (0, 0, 0, 0)



Умножаем вектор u на матрицу N:

uN = (0, 0, 0, 0)

c^* = c_N - uN = (0, 0, 0, 0)

Вектор С не содержит отрицательных элементов. Найдено оптимальное решение X.

Вектор результатов

X = (6.57, 4.41, 1.12, 1.47)^T

Значение целевой функции

F(X) = bc = 13.58

Если учесть изменения в задаче, то вектор валового выпуска будет: (1600; 1125; 520; 450). Решим снова задачу. Решим прямую задачу линейного программирования модифицированным симплексным методом.

Определим максимальное значение целевой функции

F(X) = x₁+x₂+x₃+x₄

при следующих условиях ограничений.

25x₁+90x₂+100x₃+60x₄=1600

35x₁+70x₂+25x₃+100x₄=1125

20x₁+35x₂+70x₃+85x₄=520

30x₁+25x₂+65x₃+65x₄=450

Первый этап. Для нахождения начальной допустимой базы воспользуемся методом искусственного базиса.

Имеем: матрица коэффициентов A = a_ij

25	90	100	60	1	0	0	0
35	70	25	100	0	1	0	0
20	35	70	85	0	0	1	0
30	25	65	65	0	0	0	1

Матрица b.

Итерация №1.

Базисные переменные: <X> = (5, 6, 7, 8)

Матрица c.

c = (0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1)

c_B(5,6,7,8) = (1, 1, 1, 1)

c_N(1,2,3,4) = (0, 0, 0, 0)

Матрица N формируется из матрицы А из соответствующих столбцов с номерами N.

Вычисляем:

u = c_BB^-1 = (1, 1, 1, 1)

Умножаем вектор u на матрицу N:

uN = (110, 220, 260, 310)

c^* = c_N - uN = (-110, -220, -260, -310)

Откуда номер направляющего столбца s = 4 (индекс максимального по модулю значения из отрицательных элементов).

a^* = B^-1 (a₁₄,...,a_m4)^T = (60, 0, 0, 0)^T

min(1600:60 = 26.67;1125:100 = 11.25;520:85 = 6.12;450:65 = 6.92;) = 6.12

Откуда номер направляющей строки r = 3 (индекс минимального значения).

Итерация №2.

Матрица c.

c = (-110, -220, -260, -310, 0, 0, 0, 0)

a^* = B^-1 (a₁₂,...,a_m2)^T = (65.2941, 0, 0, 0)^T

min(1232.94:65.29 = 18.88;513.24:28.82 = 17.81;6.12:0.41 = 14.86;-;) = 14.86

Итерация №3.

Матрица c.

c = (-37.0589, -92.353, -4.706, 0, 0, 0, 3.6471, 0)

Вектор С не содержит отрицательных элементов. Первый этап симплекс-метода завершен.

Второй этап. Удаляем столбцы с искусственными переменными. Заменим вектор оценок С на целевую функцию.

Выразим базисные переменные:

x₂ = 14.86+0.57x₁+2x₃+2.43x₄

которые подставим в целевую функцию:

F(X) = 14.86+0.43x₁-1x₃-1.43x₄

Имеем: матрица коэффициентов A = a_ij

Матрица b.

Итерация №1. Базисные переменные: <X> = (5, 6, 2, 8)

Матрица c.

c = (-0.4286, 0, 1, 0)

c_B(5,6,2,8) = (0, 0, 0, 0)

c_N(1,3,4) = (-0.4286, 1, 0, 0)

Матрица N формируется из матрицы А из соответствующих столбцов с номерами N.

Вычисляем:

u = c_BB^-1 = (0, 0, 0, 0)

Умножаем вектор u на матрицу N:

uN = (0, 0, 0, 0)

c^* = c_N - uN = (-0.4286, 1, 0, 0)

Откуда номер направляющего столбца s = 1 (индекс максимального по модулю значения из отрицательных элементов).

a^* = B^-1 (a₁₁,...,a_m1)^T = (-26.4286, 0, 0, 0)^T

min(-;-;14.86:0.57 = 26;78.57:15.71 = 5;) = 5

Откуда номер направляющей строки r = 4 (индекс минимального значения).

Итерация №2. Матрица c.

c = (-0.4286, 0, 1, 0)

Вектор С не содержит отрицательных элементов. Найдено оптимальное решение X.

Вектор результатов

X = (5, 12, 0, 0)^T

Значение целевой функции

F(X) = bc = 17

Найдем валовой продукт, если конечный станет равен 700, 500, 850 и 700. Решим прямую задачу линейного программирования модифицированным симплексным методом.

Определим максимальное значение целевой функции

F(X) = x₁+x₂+x₃+x₄

при следующих условиях ограничений.

25x₁+90x₂+100x₃+60x₄=700

35x₁+70x₂+25x₃+100x₄=500

20x₁+35x₂+70x₃+85x₄=850

30x₁+25x₂+65x₃+65x₄=700

Первый этап. Для нахождения начальной допустимой базы воспользуемся методом искусственного базиса.

Имеем: матрица коэффициентов A = a_ij

25	90	100	60	1	0	0	0
35	70	25	100	0	1	0	0
20	35	70	85	0	0	1	0
30	25	65	65	0	0	0	1

Матрица b.

Итерация №1.

Базисные переменные: <X> = (5, 6, 7, 8)

Матрица c.

c = (0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1)

c_B(5,6,7,8) = (1, 1, 1, 1)

c_N(1,2,3,4) = (0, 0, 0, 0)

Матрица N формируется из матрицы А из соответствующих столбцов с номерами N.



Вычисляем:

u = c_BB^-1 = (1, 1, 1, 1)

Умножаем вектор u на матрицу N:

uN = (110, 220, 260, 310)

c^* = c_N - uN = (-110, -220, -260, -310)

Откуда номер направляющего столбца s = 4 (индекс максимального по модулю значения из отрицательных элементов).

a^* = B^-1 (a₁₄,...,a_m4)^T = (60, 0, 0, 0)^T

min(700:60 = 11.67;500:100 = 5;850:85 = 10;700:65 = 10.77;) = 5

Откуда номер направляющей строки r = 2 (индекс минимального значения).

Итерация №2. Матрица c.

c = (-110, -220, -260, -310, 0, 0, 0, 0)

a^* = B^-1 (a₁₃,...,a_m3)^T = (85, 0, 0, 0)^T

min(400:85 = 4.71;5:0.25 = 20;425:48.75 = 8.72;375:48.75 = 7.69;) = 4.71

Итерация №3.

Матрица c.

c = (-1.5, -3, -182.5, 0, 0, 3.1, 0, 0)

Вектор С не содержит отрицательных элементов. Первый этап симплекс-метода завершен.

Второй этап. Удаляем столбцы с искусственными переменными. Заменим вектор оценок С на целевую функцию.

Выразим базисные переменные:

x₃ = 4.71+0.0471x₁+0.56x₂

x₄ = 3.82+0.34x₁+0.56x₂

которые подставим в целевую функцию:

F(X) = 8.53+0.61x₁-0.12x₂

Имеем: матрица коэффициентов A = a_ij

Матрица b.

Итерация №1.

Базисные переменные: <X> = (3, 4, 7, 8)

Матрица c.

c = (-0.6147, 0.1235, 0, 0)

c_B(3,4,7,8) = (0, 0, 0, 0)

c_N(1,2) = (-0.6147, 0.1235, 0, 0)

Матрица N формируется из матрицы А из соответствующих столбцов с номерами N. . Вычисляем:



u = c_BB^-1 = (0, 0, 0, 0)

Умножаем вектор u на матрицу N:

uN = (0, 0, 0, 0)

c^* = c_N - uN = (-0.6147, 0.1235, 0, 0)

Откуда номер направляющего столбца s = 1 (индекс максимального по модулю значения из отрицательных элементов).

a^* = B^-1 (a₁₁,...,a_m1)^T = (0.0471, 0, 0, 0)^T

min(4.71:0.05 = 100;3.82:0.34 = 11.3;-;145.58:4.96 = 29.38;) = 11.3

Откуда номер направляющей строки r = 2 (индекс минимального значения).

Итерация №2.

Матрица c.

c = (-0.6147, 0.1235, 0, 0)



Вектор С не содержит отрицательных элементов. Найдено оптимальное решение X.

Вектор результатов

X = (11.3, 0, 4.17, 0)^T

Значение целевой функции

F(X) = bc = 15.48

Размещено на Allbest.ru