Размещено на http://www.allbest.ru/

Реферат

Развитие и понятие функции

1. Определение функции в XVIII веке

Начиная с XVIII века одним из важнейших понятий является понятие функции. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира.

Идея функциональной зависимости восходит к древности, она содержится уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами, в первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур.

Те вавилонские ученые, которые 4-5 тысяч лет назад нашли для площади S круга радиусом r формулу S=3r2 (грубо приближенную), тем самым установили, пусть и несознательно, что площадь круга является функцией от его радиуса. Таблицы квадратов и кубов чисел, также применявшиеся вавилонянами, представляют собой задания функции. Другим примером могут служить тригонометрические таблицы, составление которых началось задолго до начала нашей эры. Особый интерес представляют таблицы синусов Беруни, в которых дано правило линейного интерполирования. В современной символике его можно выразить так :

Причем автор не ограничивается этим правилом для всех таблиц, но приводит правило квадратичного интерполирования ( см. ИМИ, вып. 12, ст. Б. А. Розенфельда).

Однако явное и вполне сознательное применение понятия функции и систематическое изучение функциональной зависимости берут свое начало в XVII веке в связи с проникновением в математику идеи переменных. В «Геометрии» Декарта и в работах Ферма, Ньютона и Лейбница понятие функции носило по существу интуитивный характер и было связано либо с геометрическими, либо с механическими представлениями : ординаты точек кривых - функции от абсцисс (x); путь и скорость - функции от времени (t) и т. п.

Четкого представления понятия функции в XVII веке еще не было, однако путь к первому такому определению проложил Декарт, который систематически рассматривал в своей «Геометрии» лишь те кривые, которые можно точно представить с помощью уравнений, притом преимущественно алгебраических. Постепенно понятие функции стало отождествляться, таким образом, с понятием аналитического выражения - формулы.

Слово «функция» (от латинского functio - совершение, выполнение) Лейбниц употреблял с 1673 года в смысле роли (величина, выполняющая ту или иную функцию). Как термин в нашем смысле выражение «функция от х» стало употребляться Лейбницем и И.Бернулли; начиная с 1698 года Лейбниц ввел также термины «переменная» и «константа» (постоянная). Для обозначения произвольной функции от х Иоганн Бернулли применял знак ? , называя ? характеристикой функции, а также буквы х или ?; Лейбниц употреблял х , х вместо современных f (x), f (x). Эйлер обозначал через f : y, f : (х + y) то, что мы ныне обозначаем через f (x), f (x + y). Наряду с ? Эйлер предлагает пользоваться и буквами Ф, ? и др. Даламбер сделал шаг вперед на пути к современным обозначениям, отбрасывая эйлерово двоеточие; он пишет, например, ?t, ?(t + s).

Явное определение функции было впервые дано в 1718 году одним из учеников и сотрудников Лейбница, выдающимся швейцарским математиком Иоганном Бернулли: «Функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных».

Леонард Эйлер во «Введении в анализ бесконечных» (1748) примыкает к определению своего учителя И. Бернулли, несколько уточняя его. Определение Л.Эйлера гласит: «Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого количества и чисел или постоянных количеств». Так понимали функцию на протяжении почти всего XVIII века Даламбер, Лагранж и другие видные математики. Что касается Л. Эйлера, то он не всегда придерживался вышеуказанного определения; в его работах понятие функции подвергалось дальнейшему развитию в соответствие с запросами математического анализа. В некоторых своих произведениях Л. Эйлер придает более широкий смысл функции, понимая ее как кривую, начертанную «свободным влечением руки». В связи с таким взглядом Л. Эйлера на функцию между ним и его современниками, в первую очередь его постоянным соперником, крупным французским математиком Даламбером, возникла большая полемика вокруг вопроса о возможности аналитического выражения произвольной кривой о том, какое из двух понятий (кривая или формула) следует считать более широким. Так возник знаменитый спор, связанный с исследованием колебаний струны.

В «Дифференциальном исчислении», вышедшем в свет в 1755 году, Л.Эйлер дает общее определение функции: «Когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называются функциями вторых» Эйлер Л. Дифференциальное исчисление/Пер., вступительная статья и прим. Выгодского М.Я. М., 1949, с. 38. «Это наименование, - продолжает далее Эйлер, - имеет чрезвычайно широкий характер; оно охватывает все способы, какими одно количество определяется с помощью других». На основе этого определения Эйлера французский математик С. Ф. Лакруа в своем «Трактате по дифференциальному и интегральному исчислению», опубликованном в 1797 году, смог записать следующее: «Всякое количество, значение которого зависит от одного или многих других количеств, называется функцией этих последних независимо от того, известно или нет, какие операции нужно применить, чтобы перейти от них к первому».

Как видно из приведенных определений, само понятие функции фактически отождествлялось с аналитическим выражением. Новые шаги в развитии естествознания и математики в XIX веке вызвали и дальнейшее обобщение понятия функции.

функция математика

2. Общее определение функции в XIX веке. Дальнейшее развитие понятия функции

Одним из нерешенных в XVIII веке вопросов, связанных с понятием функции, по поводу которого велась ожесточенная борьба мнений, был следующий: можно ли одну функцию задать несколькими аналитическими выражениями?

Большой вклад в решение спора Эйлера, Даламбера, Д.Бернулли и других ученых XVIII веке по поводу того, что следует понимать под функцией, внес французский математик Жан Батист Жозеф Фурье (1768-1830), занимавшийся в основном математической физикой Математические методы исследований встречающихся в физике дифференциальных уравнений. . В представленных им в Парижскую Академию наук в 1807 и 1811 годах мемуарах по теории распространения тепла в твердом теле Фурье привел и первые примеры функций, которые заданы на различных участках различными аналитическими выражениями.

Из трудов Фурье явствовало, что любая кривая независимо от того, из скольких и каких разнородных частей она составлена, может быть представлена в виде единого аналитического выражения В частности, начальная форма колеблющейся струны - ломанная линия - выражается единым тригонометрическим рядом. и что имеются также прерывные кривые, изображаемые аналитическим выражением. В своем «Курсе алгебраического анализа», опубликованном в 1821 году, французский математик О.Коши обосновал выводы Фурье. Таким образом, на известном этапе развития физики и математики стало ясно, что приходиться пользоваться и такими функциями, для определения которых очень сложно или даже невозможно ограничиться одним лишь аналитическим аппаратом. Последний стал тормозить требуемое математикой и естествознанием расширение понятия функции.

В 1834 году в работе «Об исчезании тригонометрических строк» Н.И.Лобачевский, развивая вышеупомянутое эйлеровское определение функции в 1755 году, писал: «Общее понятие требует, чтобы функцией от х называть число, которое дается для каждого х и вместе с х постепенно изменяется. Значение функции может быть дано или аналитическим выражением, или условием, которое подает средство испытывать все числа и выбирать одно из них; или, наконец, зависимость может существовать и оставаться неизвестной… Обширный взгляд теории допускает существование зависимости только в том смысле, чтобы числа, одни с другими в связи, принимать как бы данными вместе» См.: Лобачевский Н. И. Полн. СОБР. Соч. М.; Л., 1951, с. 43, 44..

Еще до Лобачевского аналогичная точка зрения на понятие функции была высказана чешским математиком Б. Больцано. В 1837 г. Немецкий математик П. Лежен-Дирихле так сформулировал общее определение понятия функции: «у есть функция переменной x (на отрезке а?x?b), если каждому значению x (на этом отрезке) соответствует совершенно определенное значение y, причем безразлично, каким образом установлено это соответствие - аналитической формулой, графиком, таблицей либо даже просто словами».

Эта формула задана двумя формулами и словесно. Она играет известную роль в анализе. Аналитически ее можно определить лишь с помощью довольно сложной формулы, не способствующей успешному изучению ее свойств. Таким образом, примерно в середине XIX в. после длительной борьбы мнение понятий функции освободилось от уз аналитического выражения, от единовластия математической формулы. Главный упор в новом общем определении понятия функции делает на идею соответствия.

Во второй половине XIX в. После создания теории множеств в понятии функции, помимо идеи соответствия, была включена и идея множества. Таким образом, в полном своем объеме общее определение понятия функции Однозначной формируется следующим образом: если каждому элементу x множества А поставлен в соответствии некоторый определенный элемент y множества В, то говорят, что на множестве При «отображении на» требуется, чтобы каждому элементу y множества В соответствовал по крайней мере один элемент x множества А. А задана функция y=f(x), или что множество А отображено на множестве В. В первом случае элементы x множества А называют значениями аргумента, а элементы y множества В - значениями функции; во втором случае x - прообразы, y - образы. В современном смысле рассматривают функции, определенные для множества значений x, которые, возможно, и не заполняют отрезка a?x?b, о котором говорят в определении Дирихле. Достаточно указать, например, на функцию- факториал y=n!, заданную на множестве натуральных чисел. Общее понятие функции примерно, конечно, не только к величине и числам, но и к другим математическим объектам, например к геометрическим фигурам. При любом геометрическом преобразовании (отображении) мы имеем дело с функцией.

Вот простой примет (рис. 1). Пусть x1x2x3 - треугольник, d - прямая на плоскости треугольника, рассматриваемая как ось симметрии. Каждой точке (x1,x2,x3,x4,…), лежащие внутри или на сторонах треугольника, ставим в соответствии точку y (y1,y2,y3,y4…), определенную указанным преобразованием симметрии. Таким образом, множество точек треугольника x1x2x3 отображено на множество точек треугольника y1y2y3. Налицо имеется функция y=f(x), заданная на множестве x (значения аргумента, прообразы) точек треугольника x1x2x3. Это так называемая «область определения функции». Симметричный треугольник y1y2y3 представляет множество y значений функции (образов). Характеристика f функции в данном случае указывает на осевую симметрию относительно данной прямой d.

3. Дальнейшее развитие понятия функции

Общее определение функций по Дирихле Об аналогичном определении Лобачевского ученые долго время не знали сформировалась после длившихся целый век дискуссий в результате значительных открытий в физику и математике в XVIII в. и первой половине XIX веке. Дальнейшее развитие математической науки XIX в. основывалось на этом определении, ставшем классическим. Но уже с самого начала XX в. это определение стало вызывать некоторые сомнения среди части математиков. Еще важнее была критика физиков, натолкнувшихся на явления, потребовавшее более широкого взгляда на функцию. Необходимость дальнейшего расширения понятия функции стала особенно острой после выхода в свет 1930 году книги «Основы квантовой механики» Поля Дирака (род. в 1902 году), крупнейшего английского физика, одного из основателей квантовой механики. Дирак ввел так называемую дельта - функцию, которая выходит далеко за рамки классического определения функции. В связи с этим советский математик Н. М. Гюнтер и другие ученые опубликовали в 30-40-х годах нашего столетия работы, в которых неизвестными является не функции точки, а «функции области», что лучше соответствует физической сущности явлений. Так, например, температуру тела в точке практически определить нельзя, в то время как средняя температура в некоторой области тела имеет конкретный физический смысл.

В общее виде понятие обобщенной функции было введено французом Лораном Шварцем. В 1936 году 28-летний советский математик и механик Сергей Львович Соболев (ныне академик) первым рассмотрел частный случай обобщенной функции, включающей и дельта - функцию, и применил созданную теорию к решению ряда задач в математической физике. Важный вклад в развитие теории обобщенных функций внесли ученики и последователи Л. Шварца - И. М. Гельфанд, К. Е. Шилов и др.

Краткий обзор развития понятия функции приводит в мысли о том , что эволюция еще далеко не закончена и, вероятно, никогда не закончится, как никогда не закончится и эволюция математики в целом. Новые открытия и запросы естествознания и других наук приведут к новым расширениям понятия функции и других математических понятий. Математика - незавершенная наука, она развивалась на протяжении тысячелетий, развивается в нашу эпоху и будет развиваться в дальнейшем.

Список использованной литературы

1. Глейзер Г. И. История математики в школе: пособие для учителей. - М., «Просвещение» 1983, с. 350

Размещено на Allbest.ru