Способы аналитического построения теории тригонометрических функций

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

Содержание

Введение

1. Определение функций С(x) и S(x) для всех вещественных значений x всюду сходящимися рядами

1.1 Сложение и умножение сходящихся рядов

1.2 Введение функций С(x) и S(x)

1.3 Формулы сложения для функций C(x) и S(x)

1.4 Вывод основных свойств функций С(x) и S(x)

2. Тригонометрические функции как решения системы двух дифференциальных уравнений первого порядка

2.1 Метод последовательных приближений и его применение для решения заданной системы

2.2 Вывод свойств тригонометрических функций непосредственно из системы дифференциальных уравнений

3. Рекуррентные формулы для вычисления значений тригонометрических функций кратных углов

Заключение

Список использованных источников

Введение

В математическом анализе большое значение имеют тригонометрические функции, которые, однако, вводятся в математику на основании геометрических построений, совершенно чуждых анализу. Возникает вопрос, можно ли построить теорию этих функций не прибегая к геометрическим соображениям, а оставаясь на чисто аналитической почве. Вопрос этот следует рассмотреть, потому что наряду с евклидовой геометрией существуют и другие геометрии, в связи с чем естественно возникает опасение, что результаты анализа зависят от выбора геометрии. Может быть, приняв геометрию Лобачевского, мы должны будем изменить и ряд теорем анализа?

На самом деле результаты анализа от выбора той или иной геометрии не зависят, а тригонометрические функции можно определить и изучить, совершенно не используя никаких геометрических соображений.

В данной работе рассматривается введение основных тригонометрических функций cos x и sin x двумя аналитическими способами: как суммы всюду сходящихся степенных рядов специального вида и как решения системы двух дифференциальных уравнений первого порядка. На основании введенных определений выводятся свойства этих функций, получены рекуррентные формулы для вычисления синусов и косинусов кратных дуг или углов.

1. Определение функций С(x) и S(x) для всех вещественных значений x всюду сходящимися рядами

1.1 Сложение и умножение сходящихся рядов

Степенным рядом называется ряд вида

,

где числа называются коэффициентами ряда, а член ряда - общим членом ряда.

Областью сходимости степенного ряда называется множество всех значений x, при которых данный ряд сходится.

Число R называется радиусом сходимости степенного ряда, если при ряд сходится и при том абсолютно, а при ряд расходится. Зная радиус сходимости, можно записать интервал сходимости, а затем найти и область сходимости степенного ряда, исследуя сходимость ряда на концах интервала сходимости.

Сложение и вычитание сходящихся степенных рядов сводится к соответствующим операциям с их членами, т.е.

Произведение двух сходящихся степенных рядов выражается формулой

,

где .

1.2 Введение функций С(x) и S(x)

Рассмотрим два степенных ряда:

, (1)

. (2)

Пользуясь признаком Даламбера, легко показать, что каждый из этих рядов сходится при всех действительных значениях х.

(Признак Даламбера).

Если для положительного ряда вида существует предел , то при ряд сходится, а при ряд расходится.

В нашем случае для ряда (1)

, ,

при любом фиксированном значении x. Следовательно, ряд сходится при всех действительных значениях x.

Аналогично для ряда (2)

, ,

при любом , откуда и следует, что данный ряд сходится при всех действительных значениях x.

Обозначим суммы рядов (1) и(2) соответственно через C(x) и S(x) и назовем их косинусом и синусом аргумента x. Таким образом,

, (1`)

. (2`)

1.3 Формулы сложения для функций C(x) и S(x)

Установим теперь некоторые свойства введенных функций C(x) и S(x).

Покажем сначала, что для них имеют место следующие два основных соотношения:

, (3)

. (4)

Докажем их справедливость, используя правила сложения и умножения равномерно сходящихся рядов. Из разложения (1`)

, а



откуда и следует справедливость формулы (3).

Из разложения (2`)

, а

откуда и следует справедливость формулы (4).

Продолжим исследование свойств функций C(x) и S(x) [1, c. 477-479]. Заменяя в (1`) и (2`) x на -x, сразу усматриваем, что C(x) есть функция четная, а S(x) -нечетная, т.е.

, (5)

. (6)

при всех . В самом деле,

,

.

1.4 Вывод основных свойств функций С(x) и S(x)

Полагая в (1`) и (2`) x=0, получаем, что С(0)=1, S(0)=0.

Если теперь, сохраняя х произвольным, положить в (3), , то, с учетом только что установленных равенств, получим соотношение

, (7)

алгебраически связывающее обе функции.

Действительно, из формулы

при y=-x будем иметь

Отсюда видно, что всегда , .

Пользуясь соотношениями (3) и (4), нетрудно получить формулы удвоения:

, (8)

. (9)

Для этого в (3) и (4) положим . Тогда будем иметь, что

Подобным же образом можно было бы получить еще ряд формальных соотношений, например, выражения для и т.д.

Выведем теперь известные формулы тригонометрии

, (10)

. (11)

Воспользовавшись соотношениями (3) и (4), получим

откуда и следует справедливость формул (10) и (11).

Далее, пользуясь теоремой о почленном дифференцировании сходящихся степенных рядов, получим, что

т.е. , .

Аналогично



И вообще при любом натуральном к

Труднее устанавливается периодичность функций C(x) и S(x) и связанные с ней формулы приведения.

Покажем, что при 0<x<2 будет S(x)>0.

В самом деле, запишем разложение функции S(x) в виде

Нетрудно видеть, что все выражения в круглых скобках правой части при 0<x<2 положительны. Значит S(x)>0 для любого

Так как при 0<x<2, то отсюда следует, что функция C(x) на промежутке (0,2) строго убывает.

С другой стороны, записывая C(2) в форме



и замечая, что выражения в скобках здесь положительны и что , видим, что C(2)<0.

Отсюда и из условия С(0)=1 вытекает, что C(x) в открытом промежутке (0,2) имеет один и только один корень. Обозначим его через (мы предполагаем, что

).

(0<<2). (12)

Но тогда из условий и будем иметь, что

, (13)

так как в промежутке (0,2) функция S(x) положительна. Установив соотношения (12) и (13), положим в (3) и (4) , получим соотношения

,

т.е , (14)

. (15)

Продолжая аналогичные рассуждения и используя (3), (4), (12), (13), нетрудно установить, что

,

т.е.

, (16)

. (17)

Подобными рассуждениями находим, используя условия

, (18)

(19)

и формулы (16) и (17), что

Таким образом,

(20)

(21)

Из формул (20) и (21) следует, что функции C(x) и S(x) имеют период .

Попутно нами установлены и некоторые из формул приведения. Например

, (14)

, (15)

, (16)

. (17)

Аналогично можно найти и другие формулы приведения. Так, зная, что

,,получим, что

,

,

,

,

т.е. , (22)

, (23)

, (24)

. (25)

В частности, из формул приведения вытекает, что

. (26)

При помощи доказанных формул легко показать, что корнями функции S(x) служат все точки вида и только эти точки, а корнями C (x) являются точки и только они.

2. Тригонометрические функции как решения системы двух дифференциальных уравнений первого порядка

2.1 Метод последовательных приближений и его применение для решения заданной системы

Поучительно с точки зрения общей теории изучить систему дифференциальных уравнений вида

(27)

с начальными условиями

. (28)

Забудем на время известные свойства функции , составляющих решения этой системы, и попытаемся вывести их непосредственно из соотношений (27), (28).

Исследуем сначала, как в данном случае выглядит метод последовательных приближений Пикара [2, c. 209-213], примененный при доказательстве фундаментальной теоремы существования и единственности решения дифференциальных уравнений.

Применимый к дифференциальному уравнению первого порядка с начальным условием метод Пикара заключается в том, что строится искомое решение для (или ) в виде приближений по формулам

,

,

.

В нашем случае ,,, и рекуррентные формулы для последовательных приближений приобретают вид

, (29)

, (30)

Элементарные вычисления по формулам (29) и (30) дают следующие приближения:

…и так далее.

Значит, последовательные приближения равны последовательным частным суммам (каждая из которых повторяется дважды) рядов

, (31)

, (32)

которые всюду сходятся и служат разложениями в степенные ряды функций sin x и cos x. Другими словами, в данном случае метод последовательных приближений приводит к разложениям в степенные ряды обеих функций, составляющих решение данной системы и, так как эти степенные ряды сходятся для всех x, мы заключаем, что и рассматриваемые решения конечны для всех x.

2.2 Вывод свойств тригонометрических функций непосредственно из системы дифференциальных уравнений

степенный ряд тригонометрический рекуррентный

Некоторые свойства, например, то, что значения sin x и cos x содержатся между -1 и +1 или то, что эти функции периодические с периодом - можно довольно просто вывести из рядов (31) и (32), что было сделано ранее в пункте 1.4.

Также легко показать, что -нечетная функция, а -четная. При замене переменных по формуле система уравнений (27) и начальные условия (28) переходят сами в себя, так как

откуда и следует правильность нашего утверждения.

Однако, как было уже указано, интересно найти метод вывода этих свойств непосредственно из дифференциальных уравнений.

Заметим, что, умножая первое из уравнений (27) на , а второе на

и складывая, получим уравнение

.

Но левая часть данного уравнения служит производной от , и поэтому

.

Вследствие начальных условий (28) отсюда получаем соотношение

. (33)

Из соотношения (33) вытекают некоторые следствия. Во-первых,

.

Во вторых, и нигде не обращается в нуль одновременно. Кроме того, все их нули простые, так как если бы и обращались в нуль одновременно в некоторой точке (как будет в каждом кратном нуле функции ), то в силу первого уравнения (27) в этой точке было бы и .

Но обращаются ли в действительности функции и в нуль хотя бы в одной точке?

Функция имеет нуль, во всяком случае, при х=0, что вытекает как из первого условия (28), так и из формулы (31). Для функции утверждение о наличии нуля может вызвать сомнение, которое, однако, легко устранить путем доказательства методом от противного следующим образом.

Если функция не имеет нулей, то она всюду при положительна, так как , при этом и , так что функция возрастает при , и потому при будет , где . Но так как , то из последнего неравенства, очевидно, вытекает, что

,

а это несовместимо с ограниченностью . Отсюда и следует наше утверждение.

Система уравнений (27), как и любая система, в которую независимая переменная x не входит явно, остается инвариантной при преобразовании вида ; кроме того, система (27) не меняется благодаря ее специальному виду при перестановке и , если при этом переменить знак одной из этих переменных.

Перенесем начало координат в первый положительный нуль (который мы обозначим через ) функции , где в силу (33) будет .

Эта замена переменной задается формулой

.

Положив теперь

, , (34)

мы получим, что функции , удовлетворяют системе дифференциальных уравнений, аналогичной системе (27), а именно ,

а также начальным условиям

,.

Эти начальные условия, таким образом, полностью аналогичны условиям (28), подставленным для системы (27). Поэтому из теоремы единственности решения системы дифференциальных уравнений с необходимостью следует, что .

Откуда непосредственно получаем формулы

, . (35)

Из полученных только что результатов мы выведем, что функции и - периодические с периодом . В самом деле,

, (36)

и следовательно,

Далее из формул (35)вытекают соотношения

, , ,…

Таким образом, четные кратные являются нулями функции , тогда как нечетные кратные того же служат нулями ; и эти кратные, как мы сейчас увидим, являются существенными нулями этих двух функций.

Так как является первым положительным нулем четной функции , то эта функция отлична от нуля в интервала , а также, в силу второго равенства (36), и в интервале . Значит, единственно возможными нулями функции в интервале (), который благодаря периодичности данной функции только и нужно рассмотреть, служат точки , и .

Отсюда единственно возможными нулями функции в интервале () служат точки , и . Уравнения (25), (26) показывают, что там, где положительна (отрицательна), возрастает (убывает), а там, где положительна (отрицательна), убывает (возрастает); кроме того, там где одна из этих двух функций обращается в нуль, другая проходит свое максимальное значение +1 или минимальное значение -1. Мы выводим, таким образом, что функции и имеют хорошо знакомые колебательные формы sin x и cos x соответственно, если постоянную отождествлять с числом .

Покажем, наконец, как с помощью системы (27) можно легко вывести теоремы сложения для функций и , а именно

(37)

Эти формулы, как непосредственно видно, являются основными в теории круговых функций хорошо известными формулами сложения для синуса и косинуса.

Воспользуемся уже хорошо подчеркнутым свойством, что система инварианта относительно подстановки вида .

Из указанной инвариантности следует, что пара функций и , рассматриваемых как функции от , должна удовлетворять системе (27); поэтому ее можно записать как линейную комбинацию любых двух линейно независимых решений той же системы, например, как линейную комбинацию пар функций

Отсюда

 (38)

где и означают две не зависящие от величины, которые можно немедленно найти, положив . Это дает, что ,

Теперь достаточно подставить эти значения в(38), чтобы получить (37).

3. Рекуррентные формулы для вычисления значений тригонометрических функций кратных углов

Рассмотрим с помощью таблиц тригонометрических функций [3, c. 35-39].

Применение так называемых рекуррентных формул, которые в математике играют важную роль.

Таблица 1. Значение функций sin x и cos x с шагом

1	0.01745329	-89	0	0.01745240	-0.00015231	0	0	0.99984769
2	0.03490659	-709	0	0.03489950	-0.00060923	6	0	0.99939083
3	0.05235988	-2392	0	0.05233596	-0.00137078	31	0	0.99862953
4	0.06981317	-5671	1	0.06975647	-0.00243694	99	0	0.99756405
5	0.08726646	-11076	4	0.08715574	-0.00380772	242	0	0.99619470
6	0.10471976	-19140	10	0.10452846	-0.00548311	501	0	0.99452190
7	0.12217305	-30393	23	0.12186934	-0.00746313	928	0	0.99254615
8	0.13962634	-45368	44	0.13917310	-0.00974776	1584	-1	0.99026807
9	0.15707963	-64596	80	0.15643447	-0.01233701	2537	-1	0.98768834
10	0.17453293	-88610	135	0.17364818	-0.01523087	3866	-4	0.98480775

Согласно формулам (10) и (11), которые мы в этом пункте запишем в несколько другой форме

(10`)

(11`)

Положив теперь , получаем формулы

(39)

 (40)

где

Если и известны, то, положив последовательно , найдем синусы и косинусы углов т.е. построим таблицу с шагом .

Формулы, которые дают возможность по известной функции аргумента находить при произвольном (целом) функции аргумента , называются рекуррентными. Следовательно, формулы (40) - это рекуррентные формулы для функций и .

Рассмотрим пример: По известным значениям и составим таблицу значений sin x и cos x c шагом .

Решение. Положив в формуле (40) ;, получаем

,

.

Заметим, что эти формула совпадут, если положить соответственно и . Следовательно, для удобства вычислений можно их объединить и представить в виде

,

или , (41)

где .

По условию задачи при известны все члены правой части уравнения (41), а именно: при имеем и, соответственно, .

Выполнив все указанные в формуле (41) действия, находим

;

.

Результативные данные и , которые были вычислены при , становятся исходными данными при и дают возможность найти и . Увеличивая на единицу при каждом последующем шаге вычислений, составляем требуемые таблицы.

При этом результативные данные каждого предыдущего шага возвращаются в виде исходных данных для последующего шага, вследствие чего формулы типа (41) и получили название рекуррентных (от лат. recurrentis - «те, что возвращаются»).

В общем случае рекуррентная формула связывает между собой соседних членов последовательности , общий вид рекуррентной формулы поэтому таков:

(42)

Число называется порядком рекуррентной формулы. Пользуясь формулой (42), всегда можно вычислить один за другим любое количество членов последовательности , если известны ее первые членов. Формула (42) есть рекуррентная формула второго порядка. Дальнейшие вычисления по этой формуле приведены в таблице 2.

Таблица 2. Рекуррентная формула второго порядка

Сравним полученные результаты с результатами табл. 1, в которой погрешность не превышает одной-двух единиц последнего разряда (так как эта погрешность равна погрешности суммы, состоящей не более чем из четырех слагаемых, каждое из которых определено с точностью до 1/2 единицы последнего разряда). Выполнив сравнение, видим, что в табл. 4 погрешности накапливаются и все время возрастают; так что для cos 10, например, погрешность составляет 44 единицы последнего разряда и 8 единиц для sin 10.

Для того чтобы избежать этой неприятности, надо брать более точными исходные значения, определяя их при помощи рядов, а все промежуточные вычисления проводить с одним лишним знаком; это существенно затормозит накопление ошибок округления. Кроме того, при вычислении по рекуррентным формулам обязательно надо заблаговременно найти с требуемой точностью ряд отдельных опорных значений искомой функции (например, при помощи рядов); дойдя до этих значений, мы получаем возможность проконтролировать результаты и в случае необходимости внести поправки, взяв опорные значения на последующем этапе вычислений в качестве исходных значений. Так, в рассмотренном примере при помощи рядов надо вычислить только значения sin х и соs х для x=10, 20, 30, а все промежуточные значения вычислить по рекуррентным формулам (с двумя лишними знаками), которые проще, чем ряды.

После того как таблица вычислена на сегменте [0;30] дальнейшие вычисления удобнее всего вести по формулам

, (43)

, (44)

которые требуют только вычитания известных величин.

Заключение

Хотя теоретические обоснования рассмотренных методов определений и свойств тригонометрических функций, на первый взгляд, являются более сложными, чем геометрическое построение этих функций, но также определения дают возможность вычислять значения тригонометрических функций практически при любых значениях аргументов и с любой наперед заданной степенью точности. Конечно, аналитическое определение тригонометрических функций не отрицает, а лишь дополняет построение теории этих функций геометрическими методами.

Список использованных источников

1. Г.М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том II - Физмат, 1959 - с. 477-479.

2. П.Е. Данко, А.Г. Попов. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 3. - Москва, 1971 - с. 209-213.

3. П.Ф. Фильчаков. Численные и графические методы прикладной математики. - Киев, 1970 - c. 39-42.

4. Энциклопедия элементарной математики, том III. - ГИТТЛ, 1952 - с. 481-492.

5. Ф. Трикоми. Дифференциальные уравнения. - М., 1962 - с. 27-35.

Размещено на Allbest.ru