Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Можно увидеть, что за более чем полуторатысячелетний период времени математическая наука в Греции имела значительные достижения.

В истории математики рассмотренный нами период существования Александрийской школы носит название «Первой Александрийской школы». С начала нашей эры на основе работ александрийских математиков начинается бурное развитие идеалистической философии: снова возрождаются идеи Платона и Пифагора, и эта философия неоплатоников и неопифагорейцев быстро снижает научное значение работ новых представителей математической мысли. Но вес же математическая мысль не замирает, а время от времени проявляется в работах отдельных математиков, таких как Диофант.

Развитию алгебры препятствовало то, что еще недостаточно вошли в употребление символические записи, намек на которые мы впервые встречаем в трудах Диофанта, пользовавшегося лишь отдельными символами и сокращениями записи.

Цель работы исследовать арифметику Диофанта.

1. Биография Диофанта

Диофант представляет одну из наиболее трудных загадок в истории науки. Нам не известны ни время, когда он жил, ни предшественники его, которые работали бы в той же области. Труды его подобны сверкающему огню среди полной непроницаемой тьмы.

Промежуток времени, когда мог жить Диофант, составляет полтысячелетия! Нижняя грань этого промежутка определяется без труда: в своей книге о многоугольных числах Диофант неоднократно упоминает математика Гипсикла Александрийского, который жил в середине II века до н.э. С другой стороны, в комментариях Теона Александрийского к «Альмагесту» знаменитого астронома Птолемея помещён отрывок из сочинения Диофанта. Теон жил в середине IV века н.э. Этим определяется верхняя грань этого промежутка. Итак, 500 лет!

Французский историк науки Поль Таннери, издатель наиболее полного текста Диофанта, попытался сумзить этот промежуток. В библиотеке Эскуриала он нашёл отрывки из письма Михаила Пселла, византийского учёного XI века, где говорится, что «учёнейший Анатолий, после того как собрал наиболее существенные части этой науки (речь идёт о введении степеней неизвестного и об их обозначениях), посвятил их своему другу Диофанту». Анатолий Александрийский действительно составил «Введение в арифметику», отрывки из которой приводят в дошедших до нас сочинениях Ямблих и Евсевий. Но Анатолий жил в Александрии в середине III века н.э. и даже более точно - до 270 года, когда он стал епископом Лаодакийским. Значит, его дружба с Диофантом, которого все называют Александрийским, должна была иметь место до этого. Итак, если знаменитый александрийский математик и друг Анатолия по имени Диофант составляют одно лицо, то время жизни Диофанта - середина III века н.э. [4]

Сама же «Арифметика» Диофанта посвящена «достопочтенному Дионисию», который, как видно из текста «Введения», интересовался арифметикой и её преподаванием. Хотя имя Дионисий было в то время довольно распространённым, Таннери предположил, что «достопочтенного» Дионисия следует искать среди известных людей эпохи, занимавших видные посты. И вот оказалось, что в 247 году епископом Александрии стал некий Дионисий, который с 231 года руководил христианской гимназией города! Поэтому Таннери отождествил этого Дионисия с тем, которому посвятил свой труд Диофант, и пришёл к выводу, что Диофант жил в середине III века н.э. Мы можем, за неимением лучшего, принять эту дату.

Зато место жительства Диофанта хорошо известно - это знаменитая Александрия, центр научной мысли эллинистического мира.

После распада огромной империи Александра Македонского Египет в конце IV века до н.э. достался его полководцу Птолемею Лагу, который перенёс столицу в новый город - Александрию. Вскоре этот многоязыкий торговый город сделался одним из прекраснейших городов древности. Размерами его превзошёл впоследствии Рим, но долгое время ему не было равного. И вот именно этот город стал на многие века научным и культурным центром древнего мира. Это было связано с тем, что Птолемей Лаг основал Музейон, храм Муз, нечто вроде первой Академии наук, куда приглашались наиболее крупные учёные, причём им назначалось содержание, так что основным делом их были размышления и беседы с учениками. При Музейоне была построена знаменитая библиотека, которая в лучшие свои дни насчитывала более 700 000 рукописей. Неудивительно, что учёные и жаждущие знаний юноши со всего мира устремились в Александрию, чтобы послушать знаменитых философов, поучиться астрономии и математике, иметь возможность в прохладных залах библиотеки углубиться в изучение уникальных рукописей.

Музейон пережил династию Птолемеев. В первые века до н.э. он пришёл во временный упадок, связанный с общим упадком дома Птолемеев в связи с римскими завоеваниями (Александрия была окончательно завоевана в 31 году до н.э.), но затем в первые века н.э. он снова возродился, поддерживаемый уже римскими императорами. Александрия продолжала оставаться научным центром мира. Рим никогда не был в этом отношении её соперником: римской науки (мы имеем в виду естественные науки) просто не существовало, и римляне оставались верными заветам Вергилия, писавшего:

Тоньше другие ковать будут жизнью дышащую бронзу, -

Верю тому, - создадут из мрамора лики живые,

Красноречивее будут в судах, движения неба

Тростью начертят своей и вычислят звёзд восхожденья,

Ты же, римлянин, знай, как надо народами править.

И если в III-II веках до н.э. Музейон блистал именами Евклида, Аполлония, Эратосфена, Гиппарха, то в I-III веках н.э. здесь работали такие учёные как Герон, Птолемей и Диофант.

Чтобы исчерпать всё известное о личности Диофанта, приведём дошедшее до нас стихотворение-загадку:

Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей - и камень

Мудрым искусством его скажет усопшего век.

Волей богов шестую часть жизни он прожил ребёнком

И половину шестой встретил с пушком на щеках.

Только минула седьмая, с подругою он обручился.

С нею пять лет проведя сына дождался мудрец;

Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил.

Отнят он был у отца ранней могилой своей.

Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе,

Тут и увидел предел жизни печальной своей.

Отсюда нетрудно подсчитать, что Диофант прожил 84 года. Однако для этого вовсе не нужно владеть искусством Диофанта! Достаточно уметь решать уравнение 1-й степени с одним неизвестным, а это умели делать египетские писцы ещё за 2 тысячи лет до н.э. [1]

2. Арифметика Диофанта

Но наиболее загадочным представляется творчество Диофанта. До нас дошло шесть книг из 13, которые были объединены в «Арифметику». Стиль и содержание этих книг резко отличаются от классических античных сочинений по теории чисел и алгебре, образцы которых мы знаем по «Началам» Евклида, его «Данным», леммам из сочинений Архимеда и Аполлония. «Арифметика», несомненно, явилась результатом многочисленных исследований, которые остались нам совершенно не известны. Мы можем только гадать о её корнях и изумляться богатству и красоте её методов и результатов.

«Арифметика» Диофанта - это сборник задач (их всего 189), каждая из которых снабжена решением (или несколькими способами решения) и необходимыми пояснениями. Поэтому с первого взгляда кажется, что она не является теоретическим произведением. Однако при внимательном чтении видно, что задачи тщательно подобраны и служат для иллюстрации вполне определённых, строго продуманных методов. Как это было принято в древности, методы не формулируются в общем виде, а повторяются для решения однотипных задач.

Разбор задач Диофанта показывает, что он не только поставил проблему решения неопределённых уравнений в рациональных числах, но и дал некоторые общие методы их решения. Надо при этом иметь в виду, что в античной математике общие методы никогда не излагались «в чистом виде», отдельно от решаемых задач [3].

Методы Диофанта были поняты и применены для решения новых задач Виетом и Ферма, т.е. в то же время, когда был разгадан и Архимед. История методов Диофанта растягивается ещё на несколько сотен лет, переплетаясь с развитием теории алгебраических функций и алгебраической геометрии. Развитие идей Диофанта можно проследить вплоть до работ Анри Пуанкаре и Андре Вейля. Поэтому-то история диофантова анализа особенно интересна.

Основное произведение Диофанта - Арифметика в 13 книгах. К сожалению, сохранились только 6 первых книг из 13. ервая книга предварена обширным введением, в котором описаны используемые Диофантом обозначения. Неизвестную Диофант называет «числом» (сйимьт) и обозначает буквой т, квадрат неизвестной - символом дн (сокращение от дэнбмйт - «степень»). Предусмотрены специальные знаки для следующих степеней неизвестного, вплоть до шестой, называемой кубо-кубом, и для противоположных им степеней. Знака сложения у Диофанта нет: он просто пишет рядом положительные члены, причём в каждом члене сначала записывается степень неизвестного, а затем численный коэффициент. Вычитаемые члены также записываются рядом, а перед всей их группой ставится специальный знак в виде перевёрнутой буквы Ш. Знак равенства обозначается двумя буквами у (сокращение от упт - «равный»). Сформулированы правило приведения подобных членов и правило прибавления или вычитания к обеим частям уравнения одного и того же числа или выражения: то, что потом у ал-Хорезми стало называться «алгеброй и алмукабалой». Введено правило знаков: минус на минус даёт плюс; это правило используется при перемножении двух выражений с вычитаемыми членами. Всё это формулируется в общем виде, без отсылки к геометрическим истолкованиям.

Бомльшая часть труда - это сборник задач с решениями (в сохранившихся шести книгах их всего 189), умело подобранных для иллюстрации общих методов. Главная проблематика Арифметики - нахождение положительных рациональных решений неопределённых уравнений. Рациональные числа трактуются Диофантом так же, как и натуральные, что не типично для античных математиков.

Сначала Диофант исследует системы уравнений 2-го порядка от 2 неизвестных; он указывает метод нахождения других решений, если одно уже известно. Затем аналогичные методы он применяет к уравнениям высших степеней.

В X веке Арифметика была переведена на арабский язык, после чего математики стран ислама (Абу Камил и др.) продолжили некоторые исследования Диофанта. В Европе интерес к Арифметике возрос после того, как Рафаэль Бомбелли обнаружил это сочинение в Ватиканской библиотеке и опубликовал 143 задачи из него в своей Алгебре (1572). В 1621 году появился классический, подробно прокомментированный латинский перевод Арифметики, выполненный Баше де Мезириаком. Методы Диофанта оказали огромное влияние на Франсуа Виета и Пьера Ферма; впрочем, в Новое время неопределённые уравнения обычно решаются в целых числах, а не в рациональных, как это делал Диофант.

В XX веке под именем Диофанта обнаружен арабский текст еще 4 книг Арифметики. И.Г. Башмакова и Е.И. Славутин, проанализировав этот текст, выдвинули гипотезу, что их автором был не Диофант, а хорошо разбиравшийся в методах Диофанта комментатор, вероятнее всего - Гипатия.

Ныне возникла опасность, что прежнее прочтение Диофанта окажется неверным, и анализ его труда нужно будет проводить заново. Действительно, недавно в Иране (1972 г.) были обнаружены и идентифицированы четыре из арифметических книг Диофанта. Речь идет об арабском манускрипте, датируемом 1175 г., который оказался копией знаменитого перевода Диофанта на арабский язык, приписываемого Коста ибн Лука (умер около 912 г.), под названием «Искусство алгебры». Об «Искусстве алгебры» упоминали древние арабские библиографы, и, кроме того, известно, что с X в. такие математики, как Абу-л-Вафа и ал-Караджи, к которым мы еще вернемся в этой главе, обращались к этому переводу и комментировали его.

«Арифметику» нельзя считать теоретическим трудом по арифметике в пифагорейском смысле - пифагорейцы термин «арифметика» предназначали для теории чисел, которая считалась дисциплиной без определенного метода, но требующей от ума некоего рода божественной интуиции. А этот трактат ближе всего к традициям вычислительной математики, или логистики. Однако в период, когда Диофант работал над составлением своей книги, это первоначальное различие уже, по-видимому, стерлось - это видно и из самого выбора названия и из того, что практические задачи у Диофанта всегда сначала формулируются в абстрактной форме, а числовые данные вводятся позже. Эта общая и абстрактная формулировка радикальным образом отличает Диофанта от вавилонских математиков.

Разумно считать «Арифметику» компиляцией, аналогичной «Началам» Евклида, составленной одним автором, но являющейся плодом коллективной традиции [2].

Заключение

К числу александрийских ученых относятся алгебраист Диофант, живший, вероятно, в III в. Диофант написал сочинение, названное им «Арифметика». Это сочинение резко отличается по своему характеру от известных нам других математических работ древних греков. Главное отличие заключается в том, что изложение его идет чисто аналитическим путем, хотя и вводится иногда геометрическая терминология. «Арифметика» Диофанта включает в себя главным образом вопросы алгебры и теории чисел. Надо отметить, что Диофант не излагает обобщенных методов для решения тех или иных вопросов, а к решению каждого отдельного вопроса подходит с особым методом. Это выявляет огромные математические способности Диофанта, но сильно снижает научную ценность его труда- Из 13 книг «Арифметики» до нашего времени сохранилось только 6. В них Диофант рассматривает решение уравнений 1-й и 2-й степени, причем основное внимание обращает на неопределенные уравнения.

Алгебра Диофанта должна быть отнесена к так называемому периоду «синкопированной алгебры», то есть к тому времени, когда в алгебр переходили от чисто риторического изложения (то есть словесного) к использованию более кратких записей при помощи сокращенных слов и некоторых символов. Так, для изображения неизвестного числа Диофант вводит обозначение S', а когда это неизвестное употребляется во множественном числе, то упомянутое обозначение удваивается. Для каждой степени неизвестного вводились соответствующие синкопированные обозначения. Для обозначения вычитания употребляется знак, а для равенства - буква I. Уменьшаемое писалось раньше вычитаемого, а числовые коэффициенты - после неизвестных. Непосредственное следование одной записи за другой означало действие сложения.

Отрицательные числа Диофанту известны не были, но когда приходилось умножать разность двух чисел на разность двух других чисел, то Диофант пользовался, правилом: «отнимаемое число, будучи умножено на отнимаемое, дает прибавляемое, а, будучи умножено на прибавляемое, дает отнимаемое».

При решении уравнений Диофант признавал только положительные рациональные ответы, и притом для квадратного уравнения он всегда вычислял только один ответ, если уравнение имело два рациональных и положительных корня. Каким методом он решал квадратные уравнения, неизвестно, так как в сохранившихся до нашего времени книгах этого объяснения не дано. Для решения уравнения 1-й степени Диофант прибегал к приемам, описанным им следующим образом: «Если теперь в какой-нибудь задаче те же степени неизвестного встречаются в обеих частях уравнения, но с разными коэффициентами, то мы должны вычитать равные из равных, пока не получим одного члена, равного одному числу. Если в одной или в обеих частях есть члены вычитаемые, то эти члены должны быть прибавлены к обеим частям так, чтобы в обеих частях были только прибавляемые. Затем снова нужно отнимать равные от равных, пока не останется только по одному члену с каждой стороны». Таким путем Диофант достигал того, чего мы добиваемся перенесением известных членов в одну сторону равенства, а неизвестных - в другую, приведением подобных членов и делением на коэффициент при неизвестном. При этом надо отметить, что Диофант, как и все древние математики, избегал действия деления, заменяя его повторным вычитанием.

Список использованной литературы

1. Виноградов И.М. Основы теории чисел: Учебное пособие. 11-е изд. / И.М. Виноградов. - СПб.: Лань, 2006. - 176 с.

2. Соловьев Ю. Неопределенные уравнения первой степени / Ю. Соловьев // Квант. - 1992. - №4. - С. 4-6

3. Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики. / Д.Я. Стройк. - М.: «Наука», 1990. - 256 с.

4. Щетников А.И. Можно ли назвать книгу Диофанта Александрийского «О многоугольных числах» чисто алгебраической? / А.И. Щетников // Историко-математические исследования. 2003. - №8. - С. 267-277.

Размещено на Allbest.ru