Исследование точечной 3m и пространственной P4mm групп симметрии

5

Размещено на http://www.allbest.ru/

Исследование точечной 3m и пространственной P4mm групп симметрии

Фефелова Н.В

Керівник: Приходько О.В

Нормоконтролер Приходько О.В

ЗАДАНИЕ К КУРСОВОЙ РАБОТЕ

1. По международному символу точечной группы симметрии с помощью теорем сложения элементов симметрии и стандартных установок составить полный перечень элементов симметрии, входящих в данную группу.

2. Построить стереографическую проекцию всех элементов симметрии заданной точечной группы в стандартной установке, используя сетку Вульфа.

3. На стереографической проекции точечной группы с помощью сетки Вульфа определить углы между всеми осями симметрии и плоскостями зеркального отражения.

4. Построить гномостереографические и стереографические проекции общей и одной частной (выбрать самостоятельно) простой формы, определить вид полученных многогранников.

5. По интернациональному символу P4mm построить план пространственной группы симметрии и, используя теоремы сложения элементов симметрии и трансляций, провести его развитие.

6. Нанести на план пространственной группы все возможные правильные системы точек, возможные в заданной группе, определить кратность каждой системы, и составить таблицу их расположения и кратности.

РЕФЕРАТ

Исследовались точечная группа , и пространственная P4mm.

Целью работы является исследование заданной точечной и пространственной группы симметрии. С помощью метода стереографических и гномостереографических проекций были определены виды полученных многогранников. Так же была определена кратность системы точек плана пространственной группы.

Ключевые слова: СИММЕТРИЯ, СТЕРЕОГРАФИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ, ГНОМОСТЕРЕОГРАФИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ, СИНГОНИЯ, ПРОСТАЯ ФОРМА, ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ГРУППА, ТОЧЕЧНАЯ ГРУППА.

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

1.1 Элементы симметрии кристаллических многогранников

1.2 Кристаллографические категории, сингонии

1.3 Сетка Вульфа

1.4 Теоремы о сочетании элементов симметрии

2. ТОЧЕЧНАЯ ГРУППА

2.1 Определение элементов симметрии точечной группы

2.2 Построение стереографической проекции

2.3 Определение углов между элементами симметрии

2.4 Гномостереографическая проекция общей и частной простой форм

3. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ГРУППА P4mm

3.1 Определение правильных систем точек пространственной группы

ВЫВОДЫ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ВВЕДЕНИЕ

симметрия многогранник точечный проекция

В природе существует два предельных состояния дискретной материи - хаос и идеальный кристалл. Все остальные состояния - промежуточные между этими двумя. Поскольку абсолютный хаос описать невозможно, то отправным пунктом строгих теорий может быть только идеальный кристалл. Идеальный кристалл - твердое тело, в котором составляющие его основу структурные единицы (атомы, ионы, молекулы и пр.) расположены строго периодически, образуя геометрически закономерную кристаллическую структуру.

Кристаллография - фундаментальная наука об атомном строении, образовании и физических свойствах кристаллов. Эти три аспекта рассматриваются вместе как единая комплексная проблема. Кристаллографию делят на геометрическую кристаллографию, которая изучает внешнее и внутреннее строение кристаллов, химическую кристаллографию (кристаллохимию, или структурную химию) и физическую кристаллографию (кристаллофизику). Последние два раздела могут изучаться независимо друг от друга, но оба они базируются на первом , без знания которого невозможно их рациональное изложение.

Кроме того, в задачи кристаллографии входит всестороннее исследование свойств кристаллического вещества, три из которых наиболее важные:

1.описание и классификация кристаллов.

2.определение вещества по формам (внешней огранке) кристаллов.

3.изучение строение вещества.

1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

1.1 Элементы симметрии кристаллических многогранников

Воображаемые плоскости, линии и точки, с помощью которых осуществляются симметричные преобразования, называются элементами симметрии или симметричными операциями.

Плоскость симметрии - плоскость, которая делить фигуру на две части, расположенные друг относительно друга, как предмет и его зеркальное отражение, как правая и левая руки.

Осью симметрии называется прямая линия, при повороте вокруг которой на некоторый определенный угол фигура совмещается сама с собой. Порядок оси n показывает, сколько раз фигура совмещается сама с собой при полном обороте вокруг этой оси.

Центр симметрии (центр инверсии, центр обратного равенства) - особая точка внутри фигуры, характеризующаяся тем, что любая прямая, проведенная через центр симметрии, встречает одинаковые (соответственные) точки фигуры по обе стороны от центра на равных расстояниях.

Для дисконтинуума характерны такие элементы симметрии, как трансляция - пространственный сдвиг, совмещающий элементы самих с собой. Плоскость скользящего отражения - совокупность совместно действующих плоскости симметрии и параллельной ей трансляции. Действие оси симметрии с трансляцией дает винтовую ось симметрии.

Инверсионная ось симметрии - линия, при повороте вокруг которой на некоторый угол и отражении относительно центральной точки геометрического тела оно совмещается само с собой.

Простой формой кристалла называется многогранник, все грани которого получаются с помощью преобразований симметрии, входящих в точечную группу. Одной точечной группе симметрии может соответствовать несколько простых форм.

Общая простая форма получается, если исходная грань находится в произвольном положении относительно элементов симметрии, т.е. вне элементов симметрии (может быть только одна в точечной группе).

Частная простая форма образуется, если исходная грань располагается перпендикулярно или параллельно осям или плоскостям симметрии, а также когда эта грань пересекает элементы симметрии под одинаковыми углами (может быть несколько).

Базисом называется минимально необходимое число точек, из которых с помощью только трех осевых трансляций можно построить всю пространственную решетку дисконтинуума.

Плоскостью скользящего отражения называется элемент симметрии, действие которого заключается в зеркальном отражении относительно плоскости с последующим сдвигом вдоль нее, после чего бесконечная система точек совмещается сама с собой.

Кристаллографическая симметрия - свойство среды, заключающееся в том, что для каждой точки имеется соответствующая ей другая точка и расстояния между двумя соответствующими точками одинаковы в любом участке среды.

Точечная группа симметрии - серии последовательно реализуемых независимых операторов симметрии.

1.2 Кристаллографические категории и сингонии

По симметрии и числу единичных направлений кристаллы делятся на три категории: высшую, среднюю и низшую.

Кристаллы высшей категории не имеют единичных направлений. У них обязательно есть несколько осей порядка выше 2, в частности четыре оси 3, расположенные как пространственные диагонали куба.

Кристаллы средней категории имеют одно особое направление, а именно: одна ось симметрии порядка выше, чем 2 (ось 3,4 или 6).

К низшей категории относятся кристаллы, у которых нет осей симметрии порядка выше, чем 2, а единичных направлений несколько.

Три категории, в свою очередь, делятся на семь сингоний. Классификация кристаллов по сингониям определяется выбором кристаллографической системы координат, или, иниче говоря, элементарной ячейки кристалла, так называемой метрикой - . В высшей категории имеется одна сингония - кубическая. Это единственная сингония, симметрии которой отвечает обычная декартовая система координат. К средней категории относятся три сингонии: тригональная - главная ось симметрии 3 или ; ; тетрагональная - главная ось 4 или ; гексагональная - главная ось 6 или ; . Главная ось симметрии в этих трех сингониях всегда принимается за ось Z, а оси X,Y расположены в плоскости, перпендикулярной главной оси. К низшей категории относят три сингонии: ромбическую, моноклинную, триклинную.

1.3 Сетка Вульфа

Для решения количественных задач с помощью стереографической и гномостереографических проекций пользуются обычно градусными сетками. Наиболее употребляется сетка Вульфа. Сетка Вульфа - это стереографическая проекция всей системы меридианов и параллелей, нанесённых на поверхность сферы. Плоскостью проекций является плоскость одного из меридианов. Положение любой точки на сетке Вульфа определяется её сферическими координатами j и r. Сетка Вульфа стандартно чертится в круге d 20 см. Линии параллелей и меридианов проводят через 2°.



1.4 Теоремы о сочетании элементов симметрии

Для континуума характерны следующие теоремы о сочетании элементов симметрии:

Теорема 1. Линия пересечения плоскостей симметрии является осью симметрии, причем угол поворота вокруг этой оси вдвое больше угла между плоскостями.

Теорема 1а (обратная). Поворот вокруг оси симметрии на угол эквивалентен отражениям в двух плоскостях симметрии, проходящих вдоль оси; угол между плоскостями - /2.

Теорема 2. Точка пересечения четной оси симметрии с перпендикулярной ей плоскостью симметрии есть центр симметрии.

Теорема 2а (обратная). Если есть четная ось симметрии и на ней лежит центр симметрии, то перпендикулярно этой оси проходит плоскость симметрии.

Теорема 2б (обратная). Если есть центр симметрии и через него проходит плоскость симметрии, то перпендикулярно этой плоскости через центр проходит четная ось симметрии.

Теорема 3. Если есть ось симметрии порядка n и перпендикулярно этой оси проходит ось 2, то всего имеется n осей порядка 2, перпендикулярных оси n-го порядка.

Теорема 4. Если есть ось симметрии n-го порядка и вдоль нее проходит плоскость симметрии, то таких плоскостей имеется n.

Теорема 5. Равнодействующая двух пересекающихся осей симметрии является третья ось, проходящая через точку их пересечения.

Теорема 6. Плоскость, проходящая вдоль четной инверсионной оси симметрии, приводит к появлению оси 2-го порядка, перпендикулярной инверсионной оси и проходящей по биссектрисе угла между плоскостями.

Для дисконтинуума выполняются следующие теоремы:

Теорема 1. Последовательное отражение в двух параллельных плоскостях симметрии равносильно трансляции на параметр t=2a, где a - расстояние между плоскостями.

Теорема 1а (обратная). Любую трансляцию можно заменить отражением в двух параллельных плоскостях, отстоящих друг от друга на расстоянии a= t/2, где t - параметр трансляции.

Теорема 2. Плоскость симметрии и перпендикулярная ей трансляция с параметром t порождают новые вставленные плоскости симметрии, параллельные порождающей, аналогичные ей по типу и отстоящие от нее на расстояние t/2.

Теорема 3. Плоскость симметрии m и трансляция t, составляющая угол с ней, порождают плоскость скользящего отражения, параллельную порождающей плоскости и отстоящую от нее в сторону трансляции на t/2. Величина скольжения вдоль порожденной плоскости равна t.

Теорема 4. Отражение в двух пересекающихся плоскостях симметрии можно заменить вращением вокруг оси симметрии, совпадающей с линией пересечения этих плоскостей. Угол поворота вокруг этой оси равен удвоенному углу между плоскостями.

Теорема 4а (обратная). Ось симметрии, простую или винтовую, можно заменить парой плоскостей симметрии, простых или скользящего отражения, пересекающихся под углом, соответствующим порядку оси.

Теорема 5. Трансляция, перпендикулярная оси симметрии, порождает такую же ось симметрии, параллельную порождающей и смещенную на t/2 в направлении трансляции.

Все теоремы дисконтинуума определяют такие понятия, как пространственные группы симметрии и правильные пространственные системы точек.

Пространственной группой симметрии называется совокупность всех возможных элементов симметрии кристаллической структуры. Всего существует 230 пространственных групп симметрии кристаллической структуры.

Правильной системой точек называется совокупность симметрично эквивалентных позиций (точек), связанных между собой симметричными преобразованиями пространственной группы.

2. ТОЧЕЧНАЯ ГРУППА

2.1 Определение элементов симметрии точечной группы

Выполнение первого задания начинаем с определения категории и сингонии, к которой принадлежит данная точечная группа. Поскольку, в формуле имеется инверсионная ось симметрии порядка 3, можно сразу определить, что заданная группа относится к тригональной сингонии, средней категории.

Выбираем систему координат, свойственную тригональной сингонии, к которой принадлежит заданная точечная группа. Для неё кристаллографическая система координат выглядит следующим образом:

.

5

Размещено на http://www.allbest.ru/

В соответствии с правилами записи международного символа точечной группы строим на плоскость XOY проекцию элементов симметрии, входящих в символ:



На первом месте в данной сингонии стоит координатный элемент симметрии. Это инверсионная ось третьего порядка , которая располагается вдоль оси Z и изображается в виде треугольника, с выколотой точкой. Следующий символ данной точечной группы означает плоскость симметрии, проходящую в координатном направлении перпендикулярно оси OY.

После наглядного представления взаимного расположения формульных элементов симметрии можно переходить к применению теорем о сочетании элементов симметрии континуума.

Условия для теоремы 1 о пересечении двух плоскостей с существованием оси симметрии на линии их пересечения отсутствуют в силу отсутствия пересекающихся плоскостей. Условия для теоремы 2 отсутствуют в силу отсутствия перпендикулярной плоскости для оси инверсии третьего порядка.

Теорема 3 не применима из-за отсутствия осей второго порядка. Условия для применения теоремы 4 существуют и в результате ее применения получаем еще две плоскости, так как по теореме через ось 3-го порядка должно всего проходить 3 плоскости.



Теорема 5 не применима из-за отсутствия пересекающихся осей симметрии. Условия для теоремы 6 существуют и в результате ее применения должны появиться три оси симметрии второго порядка проходящие по биссектрисе улов между плоскостями симметрии. А также наличие оси инверсии должно породить ось инверсии, лежащую на этой оси.

После применения всех теорем симметрии континуума еще раз проверим их действие.

Теорема 1 про пресечение двух плоскостей симметрии, результатом которой есть ось симметрии с углом поворота вдвое больше угла пересечения между плоскостями уже использована другим способом.

Теорема 2 о пересечении парной оси симметрии с перпендикулярной ей плоскостью симметрии не применима из-за отсутствия перпендикулярных плоскостей к осям. Теорема не использована.

Теорема 3 про ось симметрии порядка n и перпендикулярную ей ось второго порядка уже реализована другим способом. Теорема не использована.

Теорема 4 про прохождение вдоль оси 3 порядка плоскости симметрии породила еще два плоскости симметрии. Теорема использована.

Теорема 5 про существование третьей оси, проходящей через точку пересечения двух других реализована другим способом. Теорема не использована.

Теорема 6 про плоскость симметрии, которая проходит вдоль инверсионной оси применима и дала три оси симметрии второго порядка. Теорема использована.

Таким образом, набор элементов симметрии для данной точечной группы включает в себя ось инверсии 3-го порядка, три оси второго порядка, три плоскости симметрии и центр инверсии. На основе этого формула точечной группы выглядит следующим образом: .

2.2 Построение стереографической проекции

Это задание выполняется на кальке, с помощью сетки Вульфа. Наложив кальку на сетку Вульфа, отметили центр и =0. Затем наносим стереографическую проекцию кристаллографической системы координат, следующим образом: проекция оси Z всегда совпадает с центром круга проекций; проекция оси Y совпадает с отметкой =0. Используя стандартные установки и правила записи символа, наносим на кальку сначала формульные элементы. Проекция оси третьего порядка 3_z, на кальке изображается в виде закрашенного треугольника с точкой внутри, координаты которой (0;0).

2.3 Определение углов между элементами симметрии

Для выполнения этого задания стереографические проекции плоскостей переводим в гномостереографические. Затем, выводя попарно проекции элементов на один меридиан сетки Вульфа, определяем углы между ними обычным способом. Результаты измерения углов внесены в таблицу 1.Расчеты всех углов между элементами симметрии представлены в таблице 1.

Таблица 1 - Углы между элементами симметрии

Элементы симметрии	Оси	Плоскости
		2	2	2	m	m	m
Оси		-	90	90	90	0	0	0
	2	90	-	120	60	90	30	0
	2	90	120	-	120	30	90	30
	2	90	60	120	-	30	30	90
Плоскости	m	0	90	30	30	-	60	60
	m	0	30	90	30	60	-	60
	m	0	30	30	90	60	60	-

2.4 Гномостереографическая проекция общей и частной простой формы

Для построения гномостереографической проекции общей простой формы необходимо выбрать грань, которая не лежит на элементах симметрии. Размножая эту грань с помощью всех элементов симметрии, получим проекцию многогранника, который является общей простой формой данной группы. Этот многогранник носит название тригональный скаленоэдр (приложение B).

Для построения гномостереографической проекции частной формы необходимо выбрать грань, которая лежит на элементах симметрии. После размножения всеми элементами симметрии получим частную простую форму многогранника под названием гексагональная дипирамида (приложение C).

Для построения стереографический проекций простой общей и частной формы многогранников необходимо перенести на новую кальку гномостереографические проекции и с их помощью построить стереографические проекции (приложение D и E).

3. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ГРУППА P4mm

Согласно правилам построения необходимо построить проекцию системы трансляций, задаваемую символом ячейки Браве, расположенном на первом месте.

В этом случае символ Р означает примитивную систему, состоящую из трех осевых трансляций вдоль осей системы координат тетрагональной сингонии, метрика которой такова, что та.

Проекция этой системы трансляций на плоскость, перпендикулярную трансляции показана на рисунке.

5

Размещено на http://www.allbest.ru/

Нанесем на эту проекцию формульные элементы симметрии. На первом месте стоит ось 4-го порядка, совпадающая с направлением оси Z. На втором месте стоит плоскость зеркального отражения в координатных направлениях, а на третьем - плоскость зеркального отражения в диагональных направлениях. После добавления проекции этих элементов симметрии в проекции системы трансляций получим проекцию, показанную на следующем рисунке:



5

Размещено на http://www.allbest.ru/

Применим сначала теоремы континуума, а потом дисконтинуума.

Условия для применения теоремы 1 существуют, но они уже реализованы, т.к на пересечении плоскостей зеркального отражения уже стоит ось симметрии четвертого порядка. Теоремы 2, 3, 5 неприменимы, т.к для них нет условий. По теореме 4 через ось четвёртого порядка должно проходить четыре плоскости, что приводит к появлению еще двух плоскостей, одна из которых лежит вне плана.

5

Размещено на http://www.allbest.ru/

Перейдем теперь к применению теорем о сочетании элементов симметрии дисконтинуума.

По теореме 2 взаимодействие плоскостей с перпендикулярной ей трансляцией образуют такую же плоскость, которая находится на расстоянии от исходных.



5

Размещено на http://www.allbest.ru/

5

Размещено на http://www.allbest.ru/

Плоскости, отстоящие от генерирующих, получились в результате трансляционного переноса.

5

Размещено на http://www.allbest.ru/

5

Размещено на http://www.allbest.ru/

По теореме 3 взаимодействие плоскостей с трансляциями и , которые составляют угол 45 градусов, образуют клиноплоскости, которые параллельны порождающим и отстают на величину .

5

Размещено на http://www.allbest.ru/

По теореме 4 в местах пересечения плоскостей зеркального отражения под 90 градусов появляются поворотные оси второго порядка, а в местах пересечения плоскостей m под 45 градусов оси четвертого порядка. А т.к через центр плана проходит 3 плоскости, то согласно теореме 4 континуума там появится еще одна плосксость m в диагольном направлении, составляющая а с координатными плоскостями m 45 градусов.

5

Размещено на http://www.allbest.ru/

5

Размещено на http://www.allbest.ru/

5

Размещено на http://www.allbest.ru/

Применяя теорему 3 к плоскости , получим окончательный вид плана данной пространственной группы (что также можно было получить, действуя на плоскость скользящего отражения осью в центре плана):



5

Размещено на http://www.allbest.ru/

План пространственной группы изображен на отдельном листе миллиметровой бумаги формата А4 (приложение F).

Проведем проверку о использовании теорем дисконтинуума.

Теорема 2 использована и в результате её действия получились ещё две плоскости симметрии, исходные данным и отстоящих на величину половины трансляции.

Теорема 3 реализована и дала плоскости скользящего отражения . Теорема использована.

Теорема 4 использована и дала оси второго порядка оси 4-го порядка. Теорема использована.

Теорема 5 имеет не имеет условий. Теорема не применима.

3.1 Определение правильных систем точек пространственной группы

Начнем определения правильных систем точек с системы точек общего положения.

За начало системы координат выберем центр плана пространственной группы. Выберем точку а с координатами (XYZ). После воздействия на нее всех элементов симметрии получим семь точек, которые имеют координаты (-X-YZ), (YXZ), (-Y-XZ), (X-YZ), (Y-XZ), (-XYZ), ( -YXZ). Кратность 8. Выберем теперь точно частого положение b (0 0 Z). После воздействия на нее элементов симметрии не получим новых точек. Кратность 1. Выберем точку с (1 / 2 ? Z). После воздействия на нее всех элементов симметрии получим три точки, имеющие координаты (-1 / 2 - ? Z), (-1 / 2 ? Z), (1 / 2 - ? Z). Кратность 1. Выберем точку d (1 / 2 0 Z). После воздействия на нее всех элементов симметрии получим три точки, имеющие координаты (-1 / 2 0 Z), (0 1 / 2 Z), (0 -1 / 2 Z). Точка e (XXZ) дает правильные системе точек с координатами (XXZ), (-XXZ), (X-XZ), (-X-XZ), кратность 4. Точка f (X ? Z) дает правильные системе точек с координатами (-X 1 / 2 Z), (1 / 2-XZ), (1 / 2 XZ), (X -1 / 2 Z), (1 / 2 XZ), (1 / 2-XZ), (-X 1 / 2 Z), кратность 4. Точка g (X 0 Z) дает правильные системе точек с координатами (-X0Z), (0XZ), (0-XZ), кратность 4. Результаты определения правильных систем точек представлены в таблице 2 (приложение G)

Таблица 2 - Правильные системы точек

Вид	Кратность	Координаты	Расположение
Общего т.а	8	(X Y Z) (-X -Y Z), (Y X Z), (-Y -X Z), (X -Y Z), (Y -X Z),(-X Y Z), (-Y X Z)	Вне элементов симметрии
Частного т.b	1	(0 0 Z)	На оси 4
Частного т.с	1	(1/2 ? Z)	На оси 4
Частного т.d	2	(1/2 0 Z), (0 ? Z)	На оси 2
Частного т.e	4	(XXZ),(-XXZ),(X-XZ),(-X-XZ)	На плоскости m
Частного т.f	4	(X 1/2 Z),(1/2 X Z), (1/2 -X Z), (-X 1/2 Z)	На плоскости m
Частного т.g	4	(X0Z),(-X0Z),(0XZ),(0-XZ)	На плоскости m

ВЫВОДЫ

В данной курсовой работе были исследованы точечная группа элементов симметрии и пространственная группа P4mm.

По заданному международному символу точечной группы был определен полный перечень элементов симметрии, входящих в данную группу. Была построена проекция общей простой формы, в результате чего мы определили, вид многогранника, которому принадлежит эта простая форма. Этим многогранником является скаленоэдр. Так же была построена стереографическая проекция частной простой формы, по которой мы определили, вид многогранника (гексагональная дипирамида).

По заданному интернациональному символу, был построен план пространственной группы и проведено его развитие. На плане пространственной группы нанесены все правильные системы точек, определены их кратности и результаты занесены в таблицу.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Попов Г.М., Шафрановский И.И. Кристалография. - М.: Высшая школа, 1972. - 352с.

2. Шаскольськая М.П. Кристалография. - М.: Высшая школа, 1976. - 21-80с., 97-125с.

3. Уманский Я.С. Кристалография, ренгенография и электронная микроскопия. - М.: Металургия, 1982. - 632с.

4. Новиков И.И., Розин К.М. Кристалография та дефекты кристалической решетки - М.: Металургія, 1990. - 336с.

Размещено на Allbest.ru