Уравнения с модулями в школьном курсе математики

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Методические рекомендации

Уравнения с модулями в школьном курсе математики

1. Уравнения с модулем. Основные виды уравнений и способы их решений

модуль число интервал математика уравнение

1.1 Повторение

Определение: Модулем (абсолютной величиной) действительного числа х, т.е. | x|, называется само это число, если оно неотрицательное, и это число, взятое с противоположным знаком, если оно отрицательное:

| x|=

1.2 Геометрический смысл модуля

Каждому действительному числу соответствует точка числовой оси, для которой это число является координатой. Абсолютная величина этого числа - это расстояние соответствующей точки оси до начала координат. Например: х = а и х = - а удалены от начала координат на |а|.

- а 0 а

... х

|<| а| = |- а| >|< | а| >|

Геометрически, абсолютная величина, (модуль) действительного числа есть расстояние от точки, изображающей это число на числовой оси, до начала координат.

Способы решения простейших уравнений с модулями.

1. |x| = с (действительное число)

|x| = с

Примеры:

x|= 5, х = ± 5;

| x|= 0, х = 0;

| x|= -5, х ш;

2. |f(x)| = b, b>0

| f(x)| = b

|f(x)| = b, или |f(x)| = - b

Примеры:

а). |x+2|= 7

x+2 = 7 или x+2 = - 7

x = 5; x = -9

Ответ: 5; -9.

б). |x2-8|= 1

x2-8 = 1 или x2-8 = -1

x2=9; x2=7

х1,2=± 3 х3,4 = ±

Ответ: ± 3; ± .

в). |x2-4х|= 4

x2-4х = 4 или x2- 4х = - 4

x2-4х - 4=0; x2- 4х + 4=0

х1,2 =2 ± 2 ; х3,4 = 2

Ответ: 2 ± 2 ; 2.

Упражнения для самостоятельной работы:

1. |5 x+1|=4 |x2- 4|= 5 | x-|=

2. | x- 5 |=4 |x2- 2х|= 3 |3- 4х|= 3

3. |2х-5 |= 3 |x2- 2х|= 1 |x2- х-1|= 1

4. | 3- 4х |= 1 | x2- 3х |= 2 | x2-х-5 |=1

5. | 5- 4х |= 3 | x2+ 3х |= 2 | x2-5х+6|=2

3. |f(x)| = g(x), g(x) = ?0.

По смыслу модуля это уравнение может иметь решение, если правая часть g(x) = ? 0 ( неотрицательна ). Значит, раскрывая модуль при g(x) = ? 0 имеем два уравнения:

f(x) = g(x) или f(x) = -g(x). То есть

|f(x)| = g(x)

Примеры:

а). |2х-3 |= х - 2

х - 2 ? 0 х ? 2

2х-3 = х - 2 или 2х-3 = - ( х - 2 )

х1 = 1 х2 =

.... х

0 1 2

Ответ: х ш

б). |2х-1 |= 5х - 10.

5х - 10 ? 0, 5х ? 0, х ? 2

2х-1 = 5х - 10 или 2х-1 = - (5х - 10)

2х-5х = 1 - 10 2х+5х = 1 + 10

-3х = - 9 7х = 11

х= 3 х =

.... . х

0 1 2 3

Ответ: х = 3

в). |х-1|=1 - х2

1 - х2 ? 0, (1 - х) (1 + х) ? 0, -(х +1)( х-1) ? 0,

(х +1)(х-1) ? 0, -1 ? х ? 1.

х-1 =1 - х2 или х-1 = х2 - 1

х2 + х - 2 = 0 -х2 + х = 0

х1 = - 2 х3 = 0

х2 = 1 х4 = 1

. ... х

-2 -1 0 1

Ответ: х = 0; 1.

Упражнения для самостоятельной работы:

1). |х+2 |= 6- 2х 11).|2х2- 1|= х 2- 2х + 3

2).|3х- 7|=2х + 1

3).|х- 1|=х + 8 13).|х2+3х|=1 - х

4).|х+3 |=3(4- х) 14).|х2+3х- 4|= х 2- 7х - 2

5).|х2-3х|=4 - х

6). |х2+3х- 10|=3х- 1 16). |х2- 4|=х + 2

7). |х2-4х- 12|=6- х 17). |х2-х + 3|= - х - 1

8). |х2-4х+ 3|=2х-2 18). |х2+2х-5| =(х-1)

9). |х2-7х+ 12|= х2+8х- 3 19). |3х+3 |= 4- 4х2

10). |х- 1|= 3х2 20). |х| = 1- х2 - 3х

11). |5- х2|= х2- 7

12). |х2+3х+2|= (5х +16)

4. |± f(x)| = f(x).

Решение данного уравнения равносильно решению неравенства f(x) ? 0, т.е. | ± f(x)| = f(x) f(x) ? 0.

Примеры:

а). |х-8 |= х - 8

х - 8 ? 0,

х ? 8

Ответ: [8; + ?).

б). |х| = - х.

Это уравнение можно рассматривать как уравнение |-(-х)|= - х, поэтому - х ? 0, х ? 0.

Ответ:(- ?; 0].

в). |х2 + х-6|= х2 + х-6

х2 + х-6 ? 0; (х+3)(х-2) ? 0

х1 = -3 х2= 2

.. х

-3 2

Ответ:(- ?; -3] [2; + ?).

г). |4х-7 |= 7 - 4х

|-(7 - 4х) |= 7 - 4х;

7 - 4х ? 0; - 4х ? -7 ; х = , х ?

. х

Ответ:(- ?; ].

Упражнения для самостоятельной работы:

1). |х-2 |= х - 2 6). | х2 -8 х+ 12 |= х2 -8 х+ 12

2). |х| = х = 0 7). |2 х2 -8 х+ 6 |= 2 х2 -8 х+ 6

3). 7 - 4х = |4х-7 | 8). |- х2 +5 х+ 6 |= х2 +5 х+ 6

4). |9 - х2 |= 9 - х2 9). | х2 - х+ 5 |= х2 - х+ 5

5). х- |х-2 | = 2 10). | х2 +х |= х2 +х

5. |f(x)| = |g(x)|.

Уравнение равносильно двум уравнениям f(x) = g(x) или f(x) = - g(x). То есть

|f(x)| = | g(x)|

Примеры:

а). |х2-5х+ 7|= |2х- 5|

х2-5х+ 7= 2х- 5 или х2-5х+ 7= 5- 2х

х2-7х+ 12=0 х2-3х+ 2=0

х1 = 3 х3 = 2

х2 = 4 х4 = 1

Ответ: 1; 2; 3; 4.

б). |х2- 1|=|х + 3|

х2- 1= х + 3 или х2- 1=- х- 3

х2- х-4 =0 х2+ х+2 =0

D = 17 > 0 D = - 7 < 0 - корней нет

x1,2 =

Ответ: .

в). |х2+5х- 3|= |2х- 1|

х2+5х- 3= 2х- 1 или х2+5х- 3=1- 2х

D = 25 > 0 D = 81 > 0

x1,2 = x1,2 =

х1 = х3 =

х2 = - 2 х4 = -4

Ответ: - 2; ; -4.

Упражнения для самостоятельной работы:

1). |х2 +6 х + 8|= |7х -6|

2). |3х2 -5х - 2 |= |х2 +6х -16|

3). |2х2 -1|=|х2- 2х - 3|

4). |2х -3|=|х +7|

5). |х +7|= |х-2|

6). |х2 -1|= |х +5|

7). |2х -1|=| х +3|

8). |х-2 |=|3х +9|

9). |х-2 |=|3 -3х|

10). |х - х2 -1|= |2х -3 + х2|

11). |х2 +4 х + 3|= |х +1|

12). |х-2 |=3|3 - х|

1.3 Способ подстановки (замены переменной)

х2 -6|х| + 5 = 0. по свойству х2 =|х|2 имеем:

|х|2-6|х| + 5 = 0. Применим подстановку |х| = t ? 0, Тогда получим уравнение t 2 - 6t + 5 = 0, t1 = 1, t2 = 5.

1. |х|=1, х1,2 = ± 1;

2. |х|=5, х3,4 = ± 5

Ответ: -5; - 1; 1; 5.

Примеры:

а). х2 -6|х| + 8= 0.

|х|2-6|х| + 8 = 0.

|х| = у ? 0, у 2 - 6у + 8 = 0, у1 = 4, у2 = 2;

1. |х|=4, х1,2 = ± 4;

2. |х|=2 х3,4 = ± 2.

Ответ: - 4; -2; 2; 4.

б). х2 +|х| - 2= 0.

|х|2 +|х| - 2= 0

|х| = у ? 0, у2 +у - 2= 0, у1 = - 2, у2 = 1;

1. |х|= -2, корней нет

2. |х|=2 х1,2 = ± 1.

Ответ: ± 1.

Упражнения для самостоятельной работы:

1). х2 -2|х| - 3= 0

2). х2 -|х| - 2= 0

3). х2 +5|х| + 4= 0

4). х2 -6|х| + 5= 0

5). х2 -5|х| + 6= 0

6). х2 +|х| + 2= 0

7). х2 -4|х| + 5= 0

8). х2 -3|х| + 2= 0

9). х2 -3|х| = 0

10). х2 -|х| + 2= 0

11). х2 -2|х| + 3= 0

12). х2 -7|х| + 12= 0

13). х2 -2|х| - 35 = 0

14). х2 -|х| - 6 = 0

15). х2 -2|х| - 4 = 0

16). Х2 +7|х| +12= 0

1.4 Метод интервалов (для решения всех типов уравнений с модулями)

Метод интервалов - это универсальный метод решения уравнений всех видов с модулями.

Метод интервалов состоит в том, что область определения уравнения разбивается на промежутки, в каждом из которых все подмодульные выражения сохраняют знак. Для этого достаточно найти корни подмодульных выражений и расположить их в порядке возрастания. Концы полученных промежутков можно относить к любому из смежных промежутков. Раскрыть модули (входящие в уравнение) на каждом промежутке. Для этого необходимо число из данного промежутка подставить вместо переменной в подмодульное выражение. Определив знак подмодульного выражения, освободиться от модуля. Решить уравнение на каждом промежутке своё и найденные решения объединить в ответе.

Примеры:

а). |х-1 |+|х +2|= 1.

Найдем корни подмодульных выражений

х - 1 =0, х = 1;

х +2 = 0 , х= - 2.

.. х

-2 1

Решим уравнения на промежутках.

Й. (-?;-2): -х+1-х-2 = 1; -2х - 1 = 1; -2х =2; х = - 1;

- 1(-?;-2); корней нет

ЙЙ. [-2; 1]; -х + 1+х + 2 = 1; 0х = -2, решений нет.

ЙЙЙ. (1; + ?); х - 1 + х + 2 = 1; 2х + 1 = 1; 2х = 0; х = 0; 0 (1; + ?); корней нет.

Ответ: корней нет.

б). |2 х + 1|+ |5 -3 х|+1- 4х= 0 .

2х + 1 = 0; 2х= - 1; х = - .

5 - 3х = 0; - 3х= - 5; х = =

 .. х

-

Й. (-?;-): -2х-1+ 5 -3х+ 1 -4 = 0; -9х +5 = 0; х =;

(-?;-); корней нет.

ЙЙ. [- ; ] ; 2х + 1 + 5 - 3х + 1- 4х = 0 ; -5х = -7, х =, х = [- ; ]; - корень уравнения.

ЙЙЙ. (; + ?); 2х + 1 - 5+ 3х + 1- 4х = 0; х - 3 = 0, х = 3(; + ? ); х = 3- корень уравнения.

Ответ: ; 3.

в). |х - 1|+ |х -2| = 1

х - 1 = 0, х = 1.

х -2 = 0, х = 2.

.. х

1 2

Й. (-?;1) : - х + 1 -х + 2 - 1; -2х + 3 = 1; - 2х = - 2;

х = 1 (-?;1), корней нет.

ЙЙ. [1; 2] ; х - 1 - х + 2 = 1; 0х + 1 = 1; 0х = 0, х - любое число х из промежутка [1; 2].

ЙЙЙ. (2; + ?); х - 1 + х - 2 = 1; 2х -3 = 1; 2х = 4; х = 2 (2; + ?), корней нет.

Ответ: [1; 2]

Упражнения для самостоятельной работы

1). |х + 4|- |х -3|= 1

2). |х|+ |х -1|+ |х -2|= 6

3). |х + 4|+ |х -3 |= 7

4). |х|+ |х -1|+ |х -2|= 2

5). |х|- |х -2| = 2

6). |х -3|+|х +2|-|х -4|=3

7). |5-х|+|х +2|=|3-х|

8). |х|-2|х +1|+3|х +2|= 0

9). |2 х + 6|+|3х +7|= х - 3

10). |х-1|+ |х -2|+ |х -3 |= 4

11). |х-1|-| х|+ 3|х -1|-|х -2|=х+2

12). |х + 2|- |5 - х|= -7

13). |х -4|+ |х +4|= 9

14). |х|+ |х -1|+ |х -2|= 6

15). |х-1 |+ |х -2|= |х -3|- 4

16). х2 - |х -2| - 10 = 0

1.5 Уравнения со «сложным» модулем

К таким уравнениям относятся уравнения, в которых под знаком модуля находится функция, в записи которой один или несколько модулей, то есть «модули под модулем». Уравнения данного вида можно решать методом интервалов или применяя свойства модуля.

Примеры:

а). |3 -|х||=4

|3 - |х||=4

3 - |х| = 4 или 3 - |х|= - 4

- |х| = 1 - |х|= - 7

|х| = -1 |х|= 7

корней нет х = ±7

Ответ: ±7

б). |3 + |х + 1||= 5

5>0, |3 + |х + 1||= 5

3 + |х + 1|= 5 или 3 + |х + 1|= -5

|х + 1|=2 |х + 1|= -8

корней нет

х + 1 =2 х + 1 = -2

х1 =1 х2 = -3

Ответ: 1;-3.

в). ||| х |-1|-1|=1.

 ||| х |-1|-1|=1

||х|-1|-1=1 или ||х| -1|-1= -1

||х| -1|=0

|х| -1=2 |х|=1, х = ± 1

|х|= 3

|х|= ±3

Ответ: ±1; ±3

в). |х - |2 х + 3|| =3х- 1.

О.Д.З. 3х- 1? 0, 3х ? 1, х ? .

|х - |2 х + 3|| =3х- 1

х - |2 х + 3| =3х- 1 или х - |2 х + 3| =1- 3х

Решим методом интервалов каждое уравнение:

2 х + 3=0

2х = -3

х = -, х = -

. х

-

Й. (-?;-): х + 2х + 3 = 3х-1, 0х = -4 - решений нет.

ЙЙ. [-;+ ?): х - 2х -3=3х-1, -4х = 2, х = -, -[-;+ ?).

Решений нет.

2 х + 3=0

2х = -3

х = -, х = -

. х

-

Й. (-?;-): х + 2х + 3 =1-3х, 3х + 3х= 6х -2, х = -,

-(-?;- ) - решений нет.

ЙЙ. [-;+ ?): х - 2х -3= 1-3х, 2х = 4 , х=2[-;+ ?).

х = 2 - корень уравнения.

Ответ: 2.

Упражнения для самостоятельной работы

|3 - |х - 2|| = 5 ||х - 1|+2| = 1

||х + 1|+2| = 1 |х| + |х + 1|| =0

||х + 1|-4| = 2 |х-|2 х + 3||= 3х + 1

||х|-2| = 4 |х- |4-х| = 4

|2 -|1-|х ||=1 |||х |+ 1|+1| = 1

||х - 1||+ х = 4 |2 - |1 -|х| || = 1

|х2 - 3|х|+2| = х2 - 2х |||х|-2|+ 1| = 2

|х2 - 3|х|+1| = 1 ||| х |+2|- 1| = 3

Литература

1. М.К. Потапов и др. Конкурсные задачи по математике М. 1995.

2. Я.К. Фельдман Готовимся к экзаменам С.- Петербург 1997.

3. А.Г. Цыпкин Справочник по математике для средней школы. М.: Наука, 1981.

4. Д.Т. Письменный Математика для старшеклассников. М.; 1996.

5. А.Г. Мерзляк Алгебраический тренажер. Киев: 1997.

6. В.В. Казак, А.В. Козак Тесты по математике. Централизованное тестирование. Москва: 2003

Размещено на Allbest.ru