Пример использования системы MathCAD при решении прикладных задач

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

MathCAD - это мощная и гибкая универсальная система компьютерной математики, предназначенная для автоматизации решения массовых математических задач в самых различных областях науки, техники и образования, позволяющая проводить разнообразные научные и инженерные расчёты. Система MathCAD позволяет готовить вполне профессиональные документы, имеющие вид обычных статей.

MathCAD одна из тех программ, в работе с которыми пользователь, не имеющий специальных знаний в программировании, мог в полной мере приобщиться к достижениям современной вычислительной науки и компьютерных технологий. Для эффективной работы с редактором достаточно базовых навыков пользователя. Основными пользователями MathCAD являются студенты самых различных специальностей, учёные, инженера и различные технические специалисты.

В настоящее время широкое распространение получили также следующие математические системы: MathLab - системы численной математики; Mathematica - система аналитической математики. Последние версии этих систем обладают развитым интерфейсом, языком программирования высокого уровня и возможностью создания документа в мультимедийном оформлении.

Системы MathCAD традиционно занимают особое место среди множества таких систем и по праву могут называться самыми современными, универсальными и массовыми математическими системами, позволяющими выполнять как численные, так и аналитические (символьные) вычисления.

Программа MathCAD сочетает в себе набор мощных инструментов для технических расчётов, полнофункциональный текстовый редактор. MathCAD - это многофункциональная вычислительная система, позволяющая, благодаря встроенным алгоритмам, решать большое количество математических задач, не прибегая к программированию. Отличается простым и удобным интерфейсом, написанием выражений стандартным математическим языком.

Применение пакета MathCAD при решении прикладных задач технического характера позволяет решать задачи высокого уровня сложности и значительно увеличить скорость расчетов.

В данной курсовой работе будет показан и разобран пример использования системы MathCAD в исследовании математической модели колебательного движения системы с демпфером.

1. Математическое моделирование технических объектов

1.1 Понятие математической модели и их классификация

1.1.1 Понятие математической модели

Модель - явление, техническое устройство, знаковое образование или иной условный образ, который находится в определенном соответствии (сходстве) с изучаемым объектом-оригиналом и способен замещать оригинал в процессе исследования, давая о нем необходимую информацию.

Математическая модель:

1. Система математических соотношений, описывающих изучаемый процесс или явление.

2. Формальная система, представляющая собой конечное собрание символов и совершенно точных правил оперирования с этими символами в совокупности с интерпретацией свойств определенного объекта, некоторыми символами, отношениями и константами.

Математическое моделирование позволяет посредством математических символов и зависимостей составить описание функционирования технического объекта в окружающей внешней среде, определить выходные параметры и характеристики, получить оценку показателей эффективности и качества, осуществить поиск оптимальной структуры и параметров объекта. Применение математического моделирования при проектировании в большинстве случаев позволяет отказаться от физического моделирования, значительно сократить объемы испытаний и доводочных работ, обеспечить создание технических объектов с высокими показателями эффективности и качества. Одним из основных компонентов системы проектирования в этом случае становится математическая модель.

1.1.2 Классификация математических моделей

По назначению:

1. Достижение практических результатов (например, установление функциональных связей между входом и выходом объекта для решения конкретных задач управления).

2. Обучение, демонстрация и усвоение уже готовых знаний.

3. Исследования воспроизводимого объекта для:

- Совершенствования или построения теории процесса.

- Предсказания поведения объекта, когда модель является его заменителем.

- Замены сложной системы, более простой системой с допустимой для определенных условий точностью.

- Экономии времени и средств.

- Интерпретации экспериментальных и теоретических результатов путем замены эксперимента на объекте экспериментом на модели.

По закону изменения выходных переменных модели:

1. Стационарная (статическая) модель - модель, отображающая взаимосвязь между входным и выходным воздействиями объекта в его установившемся состоянии без учета времени.

2. Нестационарная модель - модель в производных, отображающая поведение объекта с учетом времени.

3. Динамическая модель - модель, выходные значения, которой зависят от входных воздействий не только в текущий момент времени, но и в предшествующие моменты времени.

4. Линейная модель - математическая модель, удовлетворяющая принципу суперпозиции.

5. Нелинейная модель - математическая модель, не удовлетворяющая принципу суперпозиции.

1.1.3 Свойства моделей

1. Конечность: модель отображает оригинал лишь в конечном числе его отношений и, кроме того, ресурсы моделирования конечны;

2. Упрощенность: модель отображает только существенные стороны объекта;

3. Приблизительность: действительность отображается моделью грубо или приблизительно;

4. Адекватность: насколько успешно модель описывает моделируемую систему;

5. Информативность: модель должна содержать достаточную информацию о системе - в рамках гипотез, принятых при построении модели;

6. Потенциальность: предсказуемость модели и её свойств;

7. Сложность: удобство её использования;

8. Полнота: учтены все необходимые свойства;

9. Адаптивность.

Так же необходимо отметить:

Модель представляет собой «четырехместную конструкцию», компонентами которой являются субъект; задача, решаемая субъектом; объект-оригинал и язык описания или способ воспроизведения модели. Особую роль в структуре обобщенной модели играет решаемая субъектом задача. Вне контекста задачи или класса задач понятие модели не имеет смысла.

Каждому материальному объекту, вообще говоря, соответствует бесчисленное множество в равной мере адекватных, но различных по существу моделей, связанных с разными задачами.

Паре задача-объект тоже соответствует множество моделей, содержащих в принципе одну и ту же информацию, но различающихся формами ее представления или воспроизведения.

Модель по определению всегда является лишь относительным, приближенным подобием объекта-оригинала и в информационном отношении принципиально беднее последнего. Это ее фундаментальное свойство.

Произвольная природа объекта-оригинала, фигурирующая в принятом определении, означает, что этот объект может быть материально-вещественным, может носить чисто информационный характер и, наконец, может представлять собой комплекс разнородных материальных и информационных компонентов. Однако независимо от природы объекта, характера решаемой задачи и способа реализации модель представляет собой информационное образование.

Частным, но весьма важным для развитых в теоретическом отношении научных и технических дисциплин является случай, когда роль объекта-моделирования в исследовательской или прикладной задаче играет не фрагмент реального мира, рассматриваемый непосредственно, а некий идеальный конструкт, т.е. по сути дела другая модель, созданная ранее и практически достоверная. Подобное вторичное, а в общем случае n-кратное моделирование может осуществляться теоретическими методами с последующей проверкой получаемых результатов по экспериментальным данным, что характерно для фундаментальных естественных наук. В менее развитых в теоретическом отношении областях знания (биология, некоторые технические дисциплины) вторичная модель обычно включает в себя эмпирическую информацию, которую не охватывают существующие теории.

1.2 Числовые методы решения дифференциальных уравнений

Метод Рунге - Кутта.

Решение дифференциальных уравнений широко применяют практике научно-технических расчётов. Это связано с тем, что дифференциальные уравнения описывают поведения различных объектов в динамике, например: переходные процессы в электронных схемах. Линейные дифференциальные уравнения имеют решение в виде специальных функций. Однако многие физические системы нелинейные и описываются нелинейными дифференциальными уравнениями, не имеющими аналитического решения. В этом случае приходится использовать численные методы решения дифференциальных уравнений.

Версия MathCad 7.0 Pro содержит мощные средства реализации численных методов решения дифференциальных уравнений. Может возникнуть вопрос о том, нужно ли создавать свои документы для реализации таких методов. Если ваша цель-решение конкретной задачи, то проще воспользоваться готовыми (встроенными) функциями.

Остановимся на реализации решения дифференциального уравнения хорошо известным методом Рунге-Кутта. Пусть h-шаг приращения переменной; x, i-индекс, имеющий значения от 1 до N (N-число интервалов решения с шагом h). Метод Рунге-Кутта четвёртого порядка даёт погрешность решения порядка h, что удовлетворяет требованиям к точности численных методов.

Решение дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта.

Решение данного уравнения состоит из двух частей. Первая часть содержит ввод исходных данных и вывода графика решения. Для решения нужно задать функцию F (x, y), начальное и конечное значение x, число точек решения и начальные значения переменной y. При построении графика указываются нижний и верхний пределы изменения искомой зависимости y(x).

Вторая часть решения размещена обычно в невидимой части документа. Поэтому пользователь избавлен от созерцания тривиальных или просто не интересующих его математических формул и может сосредоточить внимание лишь на вводе исходных данных и функции F (x, y) и вывода результатов.

Методы Эйлера

Дифференциальные уравнения находят широкое применение в прикладных задачах. Если рассматриваемая задача сводится к решению системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, как, например, большинство задач в теории электрических цепей, то ее решение может быть найдено в явном виде. Если же дифференциальные уравнения имеют переменные коэффициенты или являются нелинейными, то их решение, как правило, приходиться искать численно. Использование ЭВМ значительно облегчило использование дифференциальных уравнений, позволяет решать такие задачи, к которым при ручном счете даже не приступали.

Рассмотрим дифференциальное уравнение

(1)

в предположении, что функция дифференцируема в некоторой окрестности точки . Задача Коши для дифференциального уравнения (1) формулируется так: найти решение уравнения (1), удовлетворяющее условию .

колебательный демпфер дифференциальный уравнение

1.3 Пакет MathCAD. Функции решения дифференциальных уравнений и аппроксимации данных

MathCAD - это популярная система компьютерной математики, предназначенная для автоматизации решения массовых математических задач в самых различных областях науки, техники и образования.

Сегодня различные версии MathCAD являются математически ориентированными универсальными системами. Помимо собственно вычислений, как численных, так и аналитических, они позволяют с блеском решать сложные оформительские задачи, которые с трудом даются популярным текстовым редакторам или электронным таблицам.

С помощью MathCAD можно, например, готовить статьи, книги, диссертации, научные отчеты, дипломные и курсовые проекты не только с качественными текстами, но и с легко осуществляемым набором самых сложных математических формул, изысканным графическим представлением результатов вычислений и многочисленными «живыми» примерами. А применение библиотек и пакетов расширения обеспечивает профессиональную ориентацию MathCAD на любую область науки, техники и образования.

1.3.1 Решение дифференциальных уравнений

Для решения дифференциальных уравнений в MathCAD введен ряд функций. Вначале остановимся на функциях, дающих решения для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, представленных в обычной форме Коши:

rkadapt (y, x1, x2, acc, n, F, k, s) - возвращает матрицу, содержащую таблицу значений

решения задачи Коши на интервале от х1 до х2 для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, вычисленную методом Рунге-Кутта с переменным шагом и начальными условиями в векторе у (правые части системы записаны в векторе F, n - число шагов, k - максимальное число промежуточных точек решения, и s - минимально допустимый интервал между точками);

Rkadapt (y, x1, x2, n, F) - возвращает матрицу решений методом Рунге-Кутта с переменным шагом для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с начальным условием в векторе у, правые части которых записаны в символьном векторе F на интервале от х1 до х2 при фиксированном числе шагов n;

rkfixed (y, x1, x2, n, F) - возвращает матрицу решений методом Рунге-Кутта системы обыкновенных дифференциальных уравнений с начальным условием в векторе у, правые части которых записаны в символьном векторе F на интервале от х1 до х2 при фиксированном числе шагов n.

Функция Rkadapt благодаря автоматическому изменению шага решения дает более точный результат. Естественно, по скорости вычислений она проигрывает функции rkfixed, хотя и не всегда - если решение меняется медленно, это может привести к заметному уменьшению числа шагов. Таким образом, функция Rkadapt наиболее привлекательна для решения систем дифференциальных уравнений, имеющих относительно медленно изменяющиеся решения. [4]

1.3.2 Аппроксимация и интерполяция функции

Постановка задачи интерполяции.

Аппроксимацией (приближением) функции называется нахождение такой функции (аппроксимирующей функции), которая была бы близка заданной. Критерии близости функций и могут быть различные.

В том случае, когда приближение строится на дискретном наборе точек, аппроксимацию называют точечной или дискретной.

В том случае, когда аппроксимация проводится на непрерывном множестве точек (отрезке), аппроксимация называется непрерывной или интегральной. Примером такой аппроксимации может служить разложение функции в ряд Тейлора, то есть замена некоторой функции степенным многочленом.

Наиболее часто встречающим видом точечной аппроксимации является интерполяция (в широком смысле).

Пусть задан дискретный набор точек , называемых узлами интерполяции, причем среди этих точек нет совпадающих, а также значения функции в этих точках. Требуется построить функцию , проходящую через все заданные узлы. Таким образом, критерием близости функции является .

В качестве функции обычно выбирается полином, который называют интерполяционным полиномом.

В том случае, когда полином един для всей области интерполяции, говорят, что интерполяция глобальная.

В тех случаях, когда между различными узлами полиномы различны, говорят о кусочной или локальной интерполяции.

Найдя интерполяционный полином, мы можем вычислить значения функции между узлами (провести интерполяцию в узком смысле слова), а также определить значение функции даже за пределами заданного интервала (провести экстраполяцию). [6]

Простейшая задача интерполяции заключается в следующем. На отрезке [a, b] заданы n + 1 точки x_i = х₀, х₁,…, х_n, которые называются узлами интерполяции, и значения некоторой функции f(x) в этих точках

f(x₀) = y₀, f(x₁) = y₁, …, f(x_n) = y_n. (1)

Требуется построить функцию ? (х) (интерполяционная функция), принадлежащую известному классу и принимающую в узлах интерполяции те же значения, что и f(x), т.е. такую, что

??????? (x₀) = y₀, (x₁) = y₁, …, (x_n) = y_n. (2)

Геометрически это означает, что нужно найти кривую y = ? (х) некоторого определенного типа, проходящую через заданную систему точек M(x_i, y_i) (i = 0, 1,…, n).

В такой общей постановке задача может иметь бесконечное множество решений или совсем не иметь решений.

Однако эта задача становится однозначной, если вместо произвольной функции F (х) искать полином j (х) (интерполяционный полином) степени не выше n, удовлетворяющий условиям (2), т.е. такой, что

??????????j (x₀) = y₀, j (x₁) = y₁, …, j (x_n) = y_n. (3)

Полученную интерполяционную формулу

(4)

обычно используют для приближенного вычисления значений данной функции ¦ (х) для значений аргумента х, отличных от узлов интерполяции. Такая операция называется интерполяцией функций.

Различают два вида интерполяции:

1. глобальная - соединение всех точек ? (х) единым интерполяционным полиномом;

2. локальная - соединение точек отрезками прямой (по двум точкам), отрезками параболы (по трем точкам).

1.3.3 Линейная интерполяция

Самый простой вид интерполяции - линейная, которая представляет искомую зависимость А(Х) в виде ломаной линии. Интерполирующая функция А(х) состоит из отрезков прямых, соединяющих точки.

Для построения линейной интерполяции служит встроенная функция linterp (х, у, t) - функция, аппроксимирующая данные векторов х и у кусочно-линейной зависимостью: х - вектор действительных данных аргумента; у - вектор действительных данных значений того же размера; t - значение аргумента, при котором вычисляется интерполирующая функция.

1.3.4 Линейная регрессия общего вида

В MathCAD реализована возможность выполнения линейной регрессии общего вида. При ней заданная совокупность точек приближается функцией вида:

F (x, K1, К2,…, Kn)=K1*F1 (x)+K2*F2 (x)+ … +Kn*Fn(x).

Таким образом, функция регрессии является линейной комбинацией функций F1 (x), F2 (x),…, Fn(x), причем сами эти функции могут быть нелинейными, что резко расширяет возможности такой аппроксимации и распространяет ее на нелинейные функции.

Для реализации линейной регрессии общего вида используется функция linfit (VX, VY, F). Эта функция возвращает вектор коэффициентов линейной регрессии общего вида К, при котором среднеквадратичная погрешность приближения облака исходных точек, если их координаты хранятся в векторах VX и VY, оказывается минимальной. Вектор F должен содержать функции F1 (x), F2 (x),…, Fn(x), записанные в символьном виде. Расположение координат точек исходного массива может быть любым, но вектор VX должен содержать координаты, упорядоченные в порядке их возрастания, а вектор VY - ординаты, соответствующие абсциссам в векторе VX.

Функция для нелинейной регрессии общего вида.

Под нелинейной регрессией общего вида подразумевается нахождение вектора К параметров произвольной функции F (x, K1, K2,…, Kn), при котором обеспечивается минимальная среднеквадратичная погрешность приближения облака исходных точек.

Для проведения нелинейной регрессии общего вида используется функция genfit (VX, VY, VS, F). Эта функция возвращает вектор К параметров функции F, дающий минимальную среднеквадратичную погрешность приближения функцией F (x, Kl, K2,…, Kn) исходных данных.

F должен быть вектором с символьными элементами, содержащими уравнение исходной функции и ее производных по всем параметрам. Вектор VS должен содержать начальные значения элементов вектора К, необходимые для решения системы нелинейных уравнений регрессии итерационным методом

2. Алгоритмический анализ задачи

2.1 Полная постановка задачи и описание математической модели

На конце жесткого стержня массы m и длины L, прикреплена точечная масса М. Посредине стержень зажат двумя горизонтальными пружинами одинаковой жесткости С. На конце стержня установлен линейный вязкий демпфер, сила сопротивления которого пропорциональна скорости F=-в*V. В начальный момент стержню сообщили начальную угловую скорость ц₀.

Рис. 1. Схема устройства

Постановка задачи

1. В пакете MathCAD создать базовую модель;

2. Определить характер движения системы;

3. На основании базовой модели вычислить функции перемещения, скорости и ускорения системы в зависимости от времени;

4. Построить графики функций перемещения, скорости и ускорения системы в зависимости от времени;

5. Исследовать влияние варьируемого параметра на перемещение и скорость;

6. Выполнить аппроксимацию полученных значений в зависимости от варьируемого параметра.

2.2 Анализ исходных данных и результатов

Исходные данные для курсовой работы

- Ц₀=5, рас/с - начальная угловая скорость;

- М=5.5, кг - масса груза;

- m=1, кг - масса стержня (является варьируемым параметром);

- С=1000, Н/м - коэффициент жесткости пружин (является варьируемым параметром);

- L=0.1, м - длина стержня;

- в=50, кг*сек/м - коэффициент демпфирования.

Результирующие данные:

- значения длины;

- значения массы;

- параметры аппроксимирующих функций;

В качестве численного метода для решения дифференциальных уравнений выбирается метод Рунге-Кутта (функция для решения ДУ rkfixed).

3. Описание реализации в пакете MathCad

3.1 Описание реализации базовой модели

Система описывается дифференциальным уравнением второго порядка вида:

где

В системе MathCAD решаем дифференциальные уравнения второго порядка и получаем вектор функции D:

Рассчитываем значение функции перемещения, скорости и ускорения груза в зависимости от времени. Для решения данного дифференциального уравнения применяем функцию rkfixed, которая реализует поиск решения дифференциальных уравнений второго порядка методом Рунге-Кутта:

0…р - время, в промежутке которого мы ищем решение данного Д.У.

500 - число точек внутри заданного промежутка времени, в которых идет поиск решения.

Результатом работы функции является матрица из пяти столбцов:

нулевой столбец содержит время, за которое переместилось тело;

первый столбец содержит перемещение тела;

второй столбец содержит скорость тела;

По полученным результатам строим графики перемещения, скорости и ускорения тела. (Приложение А)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 3. График зависимости перемещения от времени

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 4. График зависимости ускорения от времени

Выполняем исследование для 10 значений варьируемого параметра:

Масса груза

- Изменяем значения от 5.5 кг до 14.5 кг

Длина стержня

- Изменяем значения от 0.1 м до 9.1 м

Строим общие графики всех скоростей, перемещений и ускорений.

Далее, с помощью аппроксимации строим исходные и аппроксимирующие зависимости. При этом для массы груза используем вид аппроксимации - сплайн интерполяция, а для длины стержня - линейная интерполяцию.

Рисунок 6. График проведения сплайн интерполяции

При изменении массы груза 1 от 5 до 7 максимальное перемещение снижается. При дальнейшем увеличении варьируемого параметра от 8 до 14.5 максимальное перемещение начинает вести себя скачкообразно, но на промежутке от 12 до 15 начинает постепенно снижаться.



Рисунок 7. График проведения линейной интерполяции.

При начальном изменении длины стержня от 0 до 2 максимальное перемещение возрастает, но при дальнейшем приращении варьируемого параметра от 3 до 6 функция плавно возрастает. На промежутке от 7 до 10 значения длины стержня максимальное перемещение перестает увеличиваться и почти не реагирует на дальнейшие изменения.

В ходе проведенных исследований можно сделать следующие выводы:

- При увеличении массы стрежня, скорость и перемещение системы, на промежутке от 5.5 кг до 14.5 кг, происходит скачкообразно. (Рис. 6)

- При увеличении длины стержня, скорость и перемещение системы, на промежутке от 0.1 м до 9.1 м - плавно увеличиваются.

Заключение

В данном курсовом проекте была рассчитана модель колебательного движения системы с демпфером. Также были проведёны вычисления перемещения, скорости движения, построены графики зависимости, проведено исследование влияния варьируемого параметра на движение системы.

Достоинством данной работы является то, что математическое моделирование в сочетании с современными системами компьютерной математики позволяет решать сложнейшие прикладные инженерные задачи. Что, в свою очередь, позволяет значительно упростить и совершенствовать работу инженеров и других технических специальностей.

Список литературы

1. Трохова Т.А., Самовендюк Н.В., Романькова Т.Л. Практическое руководство к курсовому проектированию по одноименному курсу для студентов технических специальностей дневной и заочной форм обучения. М/ук. 3014. Гомель, ГГТУ, 2005.

2. Красинский Н.П. Разина О.Л. MathCAD 2000 М.,» Высшая школа» 2000

3. Турчак Л.И. Основы численных методов. - М.: Наука, 1987.

4. М/УК 2453 «Решение систем алгебраических и дифференциальных уравнений в среде MathCad Windows», Гомель, ГГТУ, 2000.

5. М/УК 2477 «Решение инженерно - экономических задач в среде MathCad for Windows», Гомель, ГГТУ, 2000».

Размещено на Allbest.ru