Идентификация объектов управления

Размещено на http://www.allbest.ru/

Индивидуальные варианты заданий к реферативной работе по курсу Моделирование и основы идентификации

Каждый студент получает один параграф из книги Семенов А.Д., Артамонов Д.В., Брюхачев А.В. ИДЕНТИФИКАЦИЯ ОБЪЕКТОВ УПРАВЛЕНИЯ и строит реферат в виде анализа приведенного материала и его расширения на базе публикаций по рассматриваемой теме.

1. Аппроксимация нелинейной системы ортогональными полиномами

Рассмотрим пространство функционалов F[x(n)], заданных на множестве X = {x(n): n ? T} реализаций стационарного дискретного процесса x(n), и определим норму и скалярное произведение функционалов в виде:

Тогда задачу моделирования нелинейной системы с помощью полинома M-го порядка можно интерпретировать как аппроксимацию функционала:

описывающего поведение нелинейной системы, функциональным полиномом P M [x(n)], минимизирующим квадрат нормы:

Решение данной задачи в гильбертовом пространстве функционалов [44] приводит к следующему уравнению:

Определение ядер дискретного функционального полинома можно существенно упростить, если воспользоваться представлением P M [x(n)] в виде суммы ортогональных функционалов:

Полином, определяемый данным выражением, будем называть ортогональным полиномом порядка M для класса входных сигналов x(n). Ортогональность функционалов G m [h m , x(n)] в (2.120) понимается в смысле равенства нулю скалярного произведения функционалов различных порядков:

Заметим, что в отличие от разложения в ряд Вольтерра (2.110), являющегося обобщением ряда Тейлора, разложение оператора F[x(n)] по ортогональным функционалам G m [h m , x(n)] можно рассматривать как обобщенный ряд Фурье [137]. В этом случае ядра ортогонального полинома определяются из системы независимых уравнений вида:

которая легко может быть получена из (1.119) с учетом свойства ортогональности (2.121). Структура ортогональных функционалов G m [h m , x(n)] зависит от вероятностных свойств процесса x(n). Для статических нелинейных систем без памяти (T = {n}) определение ортогональных функционалов не составляет труда. Они фактически совпадают с обычными полиномами (Эрмита, Чебышева, Лежандра и др.), ортогональными с весом, равным плотности вероятности f(x) сигнала x(n) [38]. В случае динамических систем с памятью (Т = { ... ,?1, 0, 1, ... }) и статистически независимыми процессами на входе для построения G m [h m , x(n)] также можно воспользоваться одномерными ортогональными полиномами [127, 131].

Пусть для процесса x(n) существует полиномиальный базис p i [x(n)], такой, что

Вид полиномов определяется плотностью f(x) случайного процесса x(n). В частности, для гауссова процесса x(n) с математическим ожиданием M{x(n)} = 0 и дисперсией М{x 2 (n)} = у 2 таким базисом будут являться многочлены Эрмита вида:

первые из которых равны

Определим теперь симметричные многомерные полиномы вида

для которых m = m 1 + ... + m s , a все индексы i 1 , ..., i s различны. Из статистической независимости отсчетов x(i 1 ), ..., x(i s ) случайного процесса следует ортогональность таких полиномов в следующем смысле:

т. е. скалярное произведение полиномов отлично от нуля только в том случае, если их степени равны и существует перестановка Per(k 1 , ..., k s ) совокупности индексов (k 1 , ..., k s ), переводящая ее в (m 1 , ..., m s ).

Данное свойство дает основание утверждать, что функционалы вида:

будут удовлетворять условию (2.121) ортогональности. Используя в данном выражении полиномы Эрмита (2.124), получаем как частный случай известные функционалы Винера [24, 105]:

ортогональные для белого гауссова шума x(n) с нулевым средним и дисперсией.

Аналогичным образом можно построить ортогональные функционалы для случайных процессов типа белого шума с другими законами распределений.

Известны, например, ортогональные функционалы для импульсных шумов с пуассоновским распределением, определяемые через многомерные многочлены Шарлье [137].

Для ортогональных функционалов вида (2.126) уравнение (2.122), определяющее его ядра h m (i 1 , ..., i m ), будет выглядеть следующим образом:

С учетом свойства (2.125) ортогональности функционалов решение может быть получено в явном виде:

где v i (n) = p i [x(n)], все i 1 , ..., i s различны, m = m 1 + ... + m s , а m = 0, 1, ..., M.

Числитель полученного выражения представляет собой многомерную взаимную корреляционную функцию выходного сигнала у(n) системы и различных сигналов v i (n), полученных преобразованием входного сигнала x(n) ортогональными многочленами различного порядка, а знаменатель определяется произведением мощностей сигналов v i (n).

Для случайных процессов, отличных от белого шума (окрашенных), c корреляционной функцией R x (n) ? д(n), условие (2.125) ортогональности многомерных полиномов будет нарушаться. В этом случае ортогональные функционалы G m [h m ,x(n)] могут быть получены непосредственно из системы линейно независимых функциональных полиномов:

с помощью процедуры ортогонализации Грама ? Шмидта [70, 86]. Можно показать [131], что для гауссовых процессов с произвольной корреляционной функцией R x (n) ортогональные функционалы Винера определяются выражением:

где h m (i 1 , ..., i m ) ? ядра Винера во временной области.

Входящие в (2.129) многомерные полиномы Эрмита в данном случае определяются следующим образом:

где R x (n) ? корреляционная функция процесса x(n), ?m/2? означает наибольшее целое число, не превосходящее m/2, а суммирование производится по всевозможным разбиениям совокупности {n 1 , ..., n m } на r пар {n i , n j } и (m ? 2r) элементов n k . Например, первые полиномы будут равны:

Свойство ортогональности данных полиномов имеет следующий вид:

где суммирование осуществляется по различным разбиениям (всего m!) на пары (i s , j r ), i s ? (i 1 , ..., i m ), j r ? (j 1 , ..., j m ), а произведение содержит m сомножителей, соответствующих каждому такому разбиению. В отличие от выражения (2.125), определяющего условие ортогональности для белого шума, здесь скалярное произведение отлично от нуля как только m = n и не требуется существования перестановки Per(i 1 , ..., i s ) = (j 1 , ..., j s ). Поэтому (2.131) отлично от нуля в большей области, чем (2.125).

Для функционалов (2.129) уравнение (2.128), определяющее оптимальные ядра ортогонального ряда Винера с окрашенным процессом на входе, выглядит:

где R yHe (n 1 , ..., n m ) = M{y(n)x(n ? n 1 )?...?x(n ? n m )} представляет собой взаимную корреляционную функцию выходного сигнала у(n) системы и многомерного многочлена Эрмита вида (2.130) от входного сигнала x(n). Хотя полученное уравнение и не допускает явного решения во временной области, как это было в случае белого шума, оно может быть решено в частотной. Действительно, вычисляя многомерное преобразование Фурье от обеих частей уравнения (2.132), получим:

где S x (щ) ? спектр мощности процесса x(n), S уHe (щ 1 , ..., щ m ) ? преобразование Фурье функции R yHe (n 1 , ..., n m ).

Для выполнения практических расчетов ядер рядов Винера целесообразно выразить R yHe (n 1 , ..., n m ) и S уHe (щ 1 , ..., щ m ) непосредственно через данные вход-выход моделируемой системы. Учитывая, что скалярное произведение функционала m-го порядка и однородного функционала меньшего порядка равно нулю, можно записать:

где сигнал y m (n) формируется в виде разности выходных сигналов системы и ортогонального фильтра (m ? 1)-го порядка

Правую часть (2.134) можно рассматривать как многомерную взаимную корреляционную функцию

а ее преобразование ? как многомерный взаимный спектр разностного y m (n) и входного x(n) сигналов системы. С использованием данных величин, выражение (2.133 ) для ядер Винера в частотной области может быть записано в следующей эквивалентной форме:

Найдем связь взаимного спектра процессов y m (n) и x(n) с преобразованием Фурье их реализаций у mN (n) и x N (n) длительностью N отсчетов. Используя свойства преобразования Фурье, можно показать справедливость следующего соотношения [107]:

где Y m (щ) и X(щ) ? преобразования Фурье соответственно реализаций у mN (n) и ? оценка многомерной корреляционной функции, определяемая выражением:

Вычисляя математическое ожидание от обеих частей уравнения (2.137) и устремляя N к бесконечности, получим:

Выражения (2.136) и (2.138) характеризуют ядра H m (щ 1 , ..., щ m ) Винера как многомерные периодические в комплексном пространстве функции, обладающие свойством симметрии относительно всевозможных перестановок аргументов и свойством комплексно сопряженной симметрии:

относительно начала координат. Рассматривая ядро H m (щ 1 , ..., щ m ) на одном периоде, область его задания можно определить следующей системой неравенств:

где Щ ? частота дискретизации, Щ x и Щ y ? верхние граничные частоты входного и выходного сигналов системы. Отмеченные обстоятельства дают возможность ограничиться определением ядра Винера m-го порядка лишь в некоторой области m-мерного куба.

Заключение

аппроксимация полином дискретный интерполяция

В заключение следует отметить, что несмотря на тождественность математической структуры рядов Вольтерра и Винера, последние имеют ряд преимуществ, так как ортогональный базис, в во-первых, позволяет существенно упростить определение ядер функционалов; во-вторых, дает возможность увеличения порядка системы без пересчета ранее полученных ядер и, в-третьих, облегчает статистический анализ характеристик системы и сигналов на его выходе.

Аппроксимация характеристик нелинейных элементов

При анализе нелинейных цепей (НЦ) обычно не рассматривают процессы, происходящие внутри элементов, составляющих эту цепь, а ограничиваются лишь внешними их характеристиками. Обычно это зависимость выходного тока от приложенного входного напряжения , (1) которую принято называть вольт-амперной характеристикой (ВАХ).

Самое простое - использовать имеющуюся табличную форму ВАХ для численных расчетов. Если же анализ цепи должен проводиться аналитическими методами, то возникает задача подбора такого математического выражения, которое отражало бы все важнейшие особенности экспериментально снятой характеристики.

Это не что иное, как задача аппроксимации. При этом выбор аппроксимирующего выражения определяется как характером нелинейности, так и используемыми расчетными методами.

Реальные характеристики имеют достаточно сложный вид. Это затрудняет их точное математическое описание. Кроме того, табличная форма представления ВАХ делает характеристики дискретными. В промежутках между этими точками значения ВАХ неизвестны. Прежде чем переходить к аппроксимации, необходимо как-то определиться с неизвестными значениями ВАХ, сделать ее непрерывной. Тут возникает задача интерполяции (от лат. inter - между, polio - приглаживаю) - это отыскание промежуточных значений функции по некоторым известным ее значениям. Например, отыскание значений в точках лежащих между точками по известным значениям . Если , то аналогичная процедура носит задачи экстраполяции.

Обычно аппроксимируют лишь ту часть характеристики, которая является рабочей областью, т. е. в пределах изменения амплитуды входного сигнала.

При аппроксимации вольт-амперных характеристик необходимо решить две задачи: выбрать определенную аппроксимирующую функцию и определить соответствующие коэффициенты. Функция должна быть простой и в то же время достаточно точно передавать аппроксимируемую характеристику. Определение коэффициентов аппроксимирующих функций осуществляется методами интерполяции, среднеквадратичного или равномерного приближения, которые рассматриваются в математике.

Математически постановка задачи интерполяции может быть сформулирована следующим образом.

Найти многочлен степени не больше n такой, что i = 0, 1, …, n, если известны значения исходной функции в фиксированных точках , i = 0, 1, …, n. Доказывается, что всегда существует только один интерполяционный многочлен, который может быть представлен в различных формах, например в форме Лагранжа или Ньютона. (Рассмотреть самостоятельно на самоподготовке по рекомендованной литературе).

Аппроксимация степенными полиномами и кусочно-линейная

Она основана на использовании хорошо известных из курса высшей математики рядов Тейлора и Маклорена и заключается в разложении нелинейной ВАХ в бесконечномерный ряд, сходящийся в некоторой окрестности рабочей точки . Поскольку такой ряд физически не реализуем, приходится ограничивать число членов ряда, исходя из требуемой точности. Степенная аппроксимация применяется при относительно малом изменении амплитуды воздействия относительно .

Рассмотрим типичную форму ВАХ любого НЭ (рис. 1).

Напряжение определяет положение рабочей точки и, следовательно, статический режим работы НЭ.

Рис. 1. Пример типичной ВАХ НЭ

Обычно аппроксимируется не вся характеристика НЭ, а лишь рабочая область, размер которой определяется амплитудой входного сигнала, а положение на характеристике - величиной постоянного смещения _. Аппроксимирующий полином записывается в виде

, (2)

где коэффициенты определяются выражениями

.

Аппроксимация степенным полиномом заключается в нахождении коэффициентов ряда . При заданной форме ВАХ эти коэффициенты существенно зависят от выбора рабочей точки , а также от ширины используемого участка характеристики. В этой связи целесообразно рассмотреть некоторые наиболее типичные и важные для практики случаи.

1. Рабочая точка расположена на середине линейного участка (рис. 2).

Рис. 2. Рабочая точка ВАХ - на середине линейного участка

Участок на характеристике, где закон изменения тока близок к линейному, относительно неширок, поэтому амплитуда входного напряжения не должна выходить за пределы этого участка. В этом случае можно записать:

, (3)

где - ток покоя;

;

- дифференциальная крутизна характеристики.

Этот случай применим только при слабом сигнале , поскольку в этом случае можно без большой погрешности пренебречь нелинейностью ВАХ.

2. Рабочая точка расположена на начальном участке характеристики.

Рис. 3. Рабочая точка ВАХ - на начальном участке характеристики

При небольшом изменении амплитуды входного сигнала относительно можно с малой погрешностью аппроксимировать ВАХ квадратичной параболой (степенным полиномом второго порядка). Аппроксимирующее выражение будет иметь вид

 (4)

Как и в выражении (6.6), - ток покоя (постоянная составляющая выходного тока); - крутизна характеристики в точке . Для определения значений и необходимо составить систему уравнений:

(5)

Отсюда можно записать:

3. Рабочая точка является точкой перегиба характеристики (рис. 4).

В точке перегиба все четные производные функции обращаются в нуль, поэтому в выражении (3) будут присутствовать только слагаемые с нечетными степенями , k = 1, 2, 3, … .

Напомним, что точка перегиба - точка кривой, в которой:

вогнутость (выпуклость) кривой меняется на выпуклость (вогнутость);

кривая "лежит" по разные стороны от касательной в этой точке.

В общем случае аппроксимирующий полином может быть любого, сколь угодно высокого порядка. Однако в большинстве практических случаев достаточную для инженерной практики точность дает полином третьей степени:

(6)

На рисунке 4 график, соответствующий (6), показан пунктирной линией. Рабочий участок ВАХ (динамический диапазон) определяется интервалом . На границах этого интервала производные аппроксимирующей функции обращаются в нуль. Для нахождения коэффициентов и необходимо, как и в предыдущем случае, составить систему уравнений и решить ее относительно и :

(7)

откуда

При очень больших амплитудах входного сигнала часто бывает удобнее заменять реальную характеристику идеализированной, составленной из отрезков прямых линий. Такое представление ВАХ называется кусочно-линейной аппроксимацией. На рисунке 5 показаны некоторые характерные примеры.

Рис. 5. Кусочно-линейная аппроксимация ВАХ

Размещено на Allbest.ru