Замечательные кривые в геометрии

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство Образования и Науки

Дальневосточный Федеральный Университет

Кафедра информационных технологий

Реферат

Тема: «Замечательные кривые»

Выполнила:

Студентка 1512 группы

Воскобойникова Владислава

Проверила:

Старший преподаватель

Миколайчук Татьяна Леонидовна

Владивосток, 2010

Содержание

1. Конхоида

2. Улитка Паскаля (или Лимакон Паскаля)

3. Циклоидальные кривые

4. Цепная линия

5. Архимедова спираль

6. Лемниската Бернулли

7. Декартов лист

8. Трактриса

9. Логарифмическая спираль

10. Верзьера Аньези

Вывод

1. Конхоида

Конхоида Никомеда ? конхоида прямой, плоская алгебраическая кривая 4-го порядка, получающаяся увеличением (вторая ветвь - уменьшением) радиус-вектора прямой на некую постоянную величину . Конхоида имеет две ветви, сама прямая конхоиды является асимптотой обеих ветвей. Название происходит от греческого слова konchoeides -- «похожий на раковину». Кривая названа по имени Никомеда (III--II века до н. э.), который применял её для решения задачи о трисекции угла и удвоения куба. Никомед(ок.250-150гг. до н.э.) - древнегреческий геометр. Точных сведений о его жизни нет. Он известен тем, что открыл новую алгебраическую кривую - конхоиду. Как рассказывают источники, Никомед очень гордился этой кривой и построил прибор для ее черчения. Он применил свою кривую для решения задач об удвоении куба и трисекции угла (знаменитая задача о делении произвольного угла на 3 равные части).

Уравнения декартовых координат.

Если центр конхоиды помещён в начале координат, а прямая задана уравнением y + a = 0 в декартовых прямоугольных координатах то уравнение конхоиды имеет вид

Построение.

Построить кривую линию, называемую конхоидой Никомеда, можно так: на листе бумаги проведите прямую AB и вне ее возьмите точку О (полюс). Затем выберите отрезок a, длина которого пусть будет меньше расстояния от O до AB. Далее, через точку О проведите прямые и от точки пересечения каждой из этих прямых с AB откладывайте на ней в обе стороны от AB отрезок a. Каждый раз Вы будете получать две точки искомой кривой. Конхоида Никомеда состоит из двух ветвей, лежащих по разные стороны от AB.

Конхоида определяется таким образом : на плоскости фиксируется прямая L и точка О, и задается произвольное число a .Через точку О проводятся всевозможные прямые, на каждой из которых от точки пересечения с прямой L в обе стороны откладываются отрезки фиксированной длины а = MM '= MM". Вторые концы этих отрезков (M', M") образуют конхоиду.

Задача о трисекции угла с помощью конхоиды по методу Никомеда: Допустим, дан угол АОД, который необходимо разделить на три части. Проведем через точку А прямую L, параллельную ОД. Построим окружность W с центром в точке А и R = a = ОА. Теперь построим конхоиду по прямой L, точке О и числу а - она будет пересекаться с окружностью W в точке C.

Полученный угол СОД = 1/3 АОД.

2. Улитка Паскаля (или Лимакон Паскаля)

Была открыта Этьеном Паскалем ( отцом Блеза Паскаля) и названа другим французом Gilles-Personne Roberval в 1650 году, когда он использовал ее как пример его методов проведения касательных, то есть дифференцирования. Ее название произошло от латинского limax, что значит - улитка.

В 1625 Этьен Паскаль в своей переписке с Мерсенном, у которого частенько собирались за чашкой чая знаменитые геометры, в том числе и Gilles-Personne Roberval, описал метод построения новой кривой, обладающей интересными свойствами ( которую впоследствии назвали Улиткой), и те посоветовали ему опубликовать свои изыскания в "Underweysung der Messungpublished", который пользовался их уважением.

Трисекция угла с помощью улитки Паскаля



Задача о трисекции становится разрешимой в общем случае, если не ограничиваться в геометрических построениях только классическими инстрементами - линейкой и циркулем. Например, Гиппий Эпидский ( IVвек до нашей эры) для трисекции угла пользовался квадратриссой, александрийский математик Никомед ( II век до нашей эры) использовал кривую, названную кривой Никомеда.

Опишем метод деления произвольного угла на три равные части с помощью кривой, названной улиткой Паскаля , в честь французского физика и математика Блеза Паскаля (1623 - 1662). Каждый читатель может легко построить эту кривую самостоятельно.

Для построения улитки Паскаля достаточно нарисовать окружность W произвольного радиуса R = a, выбрать на ней некоторую точку А и начать вращать вокруг точки А луч АС. Если по обе стороны от второй точки пересечения луча АС с окружностью на луче АС откладывать отрезки, равные радиусу исходной окружности ( R = a), то получится два набора точек - М и М'. Улитка Паскаля - геометрическое место точек М и М'. Для завершения построения через полученные точки достаточно провести плавную непрерывную линию.

Пусть требуется разделить на три равные части данный угол KLN. Для этого вычерченная на кальке улитка Паскаля накладывается на угол KLN таким образом, чтобы центр образующей окружности совпал с вершиной угла, а ось улитки АА' - совпала со стороной угла KLN. Точку Д ( точку пересечения угла с улиткой) соединим с точкой А. Тогда угол AДL будет искомым, то есть угол AДL = 1\3 угла KLN.

Доказательство: соединим точку В ( в которой образующая окружность пересекает АД ) с точкой С. Треугольники ABL и LBД - равнобедренные, так как АL = LB = BД = а. Угол BDL = x следовательно, угол BLД = x , таким образом получаем, что угол ABL = 2x, следовательно, угол BAL = 2x.

Отсюда угол KLN = угол Д + угол BAL = x+2x. Получаем : Х = 1\3 угла KLN.

3. Циклоидальные кривые

Приложим к нижнему краю классной доски линейку (L) и будем катить по ней обруч или круг (картонный или деревянный), прижимая его к линейке и к доске. Если прикрепить к обручу или кругу кусок мела (в точке соприкосновения его с линейкой), то мел будет вычерчивать кривую , называемую циклоидой (что по-гречески значит “кругообразная”). Одному обороту обруча соответствует одна “арка” циклоиды MM'M''N', если обруч будет катиться дальше, то будут получаться еще и еще арки той же циклоиды.(Отрезок MN равен длине обруча.)

Если же точку М взять внутри круга, то получим кривую называемую укороченная циклоида. А если точку М взять вне (снаружи) круга, то имеем

кривую, называемую удлиненная циклоида.

Однако круг можно катить не только по прямой. Возьмем в качестве линии L окружность некоторого радиуса R и будем рассматривать круг, катящийся без скольжения по окружности L с внутренней ее стороны. Отметим на окружности катящегося круга некоторую точку А и проследим ее траекторию, т.е. линию, которую эта точка вычерчивает при качении круга.



Замечательные свойства циклоиды. Среди многих замечательных свойств циклоиды отметим одно, из-за которого она заслужила громко звучащее мудреное название: “брахистохрона”. Это название составлено из двух греческих слов, означающих “кратчайший” и “время” или, говоря по-русски, "кривая кратчайшего спуска". Рассмотрим такой вопрос: какую форму следует придать хорошо отшлифованному металлическому желобу, соединяющему две заданные точки А и В (рис. 1.), чтобы полированный металлический шарик скатывался по этому желобу из точки А в точку В в кратчайшее время? На первый взгляд кажется, что нужно остановиться на прямолинейном желобе, так как только вдоль него шарик пройдет кратчайший путь от А до В. Однако речь идет не о кратчайшем пути, а о кратчайшем времени; время же зависит не только от длины пути, но и от скорости, с которой бежит шарик. Если желоб прогнуть вниз, то его часть, начиная от точки А, будет круче опускаться вниз, чем в случае прямолинейного желоба, и шарик, падая по нему, приобретет скорость большую, чем на участке такой же длины прямолинейного желоба.Но если сделать начальную часть очень крутой и сравнительно длинной, то тогда часть, примыкающая к точке В, будет очень пологой и также сравнительно длинной; первую часть шарик пройдет быстро, вторую очень медленно и шарик может запоздать с приходом в точку В.

кривая радиус декартовый координата трисекция конхоида



Итак, желобу, по-видимому, нужно придавать вогнутую форму, но делать выгиб не слишком значительным.

Итальянский физик и астроном Галилей (1564 - 1642) думал, что желоб кратчайшего времени нужно выгибать по дуге окружности. Но швейцарские математики братья Бернулли около трехсот лет тому назад доказали точным расчетом, что это не так и что желоб нужно выгибать по дуге циклоиды (опрокинутой вниз, рис. 2.).

С тех пор циклоида и заслужила прозвище брахистохроны, а доказательства Бернулли послужили, началом новой отрасли математики - вариационного исчисления. Последнее занимается отысканием вида кривых, для которых та или иная интересующая нас величина достигает своего наименьшего (а в некоторых вопросах - наибольшего) значения.

Существует еще одно (разумеется, не последнее) замечательное свойство циклоиды , из-за которого она получила название: “таутохрона”. Это название составлено из двух греческих слов, означающих “равный” и “время” или, говоря по-русски, "кривая равных времен".

Часы с обычным маятником не могут идти точно. Ведь период колебаний зависит от амплитуды: чем больше амплитуда, тем больше период. Голландскому ученому Кристиану Гюйгенсу задали вопрос : по какой кривой должна двигаться точка, чтобы ее период не зависел от амплитуды (заметим, что в обычном маятнике кривая, по которой движется точка - есть окружность). Искомой кривой оказалась перевернутая циклоида.

Если в форме перевернутой циклоиды изготовить желоб и пустить по нему шарик, то период движения шарика, под действием силы тяжести не будет зависеть от начального положения и амплитуды.

Циклоиды могут иметь самый разнообразный вид. Представим некоторые из них.

1) Если по кругу радиуса R вне его без скольжения катится круг с отмеченной точкой М радиусом r, то точка М описывает кривую, называемую эпициклоидой.

2) Если по кругу радиуса R внутри него без скольжения катится круг с отмеченной точкой М радиусом r, то точка М описывает кривую, называемую гипоциклоидой.

3)

Кардиоида Нефроида Астроида Кривая Штейнера

4. Цепная линия.

Цепная линия - плоская кривая, форму которой принимает гибкая однородная и нерастяжимая тяжелая нить, концы которой закреплены в двух точках (примерно такую форму принимает цепь, телеграфный провод, провисающие под действием силы тяжести). Цепная линия - трансцендентная кривая; ее уравнение у = achx, где chx - гиперболический косинус.



Уравнение в декартовых координатах:

Длина дуги от вершины до произвольной точки M (x; y):

Площадь, ограниченная цепной линией, двумя ее ординатами и осью абсцисс:

Радиус кривизны:

Применения:

Арка. Перевёрнутая цепная линия -- идеальная форма для арок. Однородная арка в форме перевёрнутой цепной линии испытывает только деформации сжатия, но не излома. На арке в Сент-Луисе написана её формула в футах:

. В метрах это

Мосты. Горбатый мост имеет форму, близкую к цепной линии. Стоит заметить, что цепь подвесного моста имеет форму параболы, а не цепной линии. Это связано с тем, что пролёт моста намного тяжелее цепи.

5. Архимедова спираль

Спираль Архимеда - плоская кривая, которую описывает точка, движущаяся равномерно-поступательно от центра 0 по равномерно-вращающемуся радиусу.

Построение архимедовой спирали заданным шагом S - расстояние от центра 0 до точки VIII, выполняется в следующей последовательности:

1.Из центра 0 проводят окружность радиусом, равным шагу S спирали и делят шаг и окружность на несколько равных частей Точки деления нумеруют;

2.Из центра 0 радиусами 01, 02, 03, ... проводят дуги до пересечения с соответствующими радиусами в точках I, II, III, ...;

3.Полученные точки принадлежат спирали Архимеда с заданным шагом S и центром 0.



Уравнение Архимедовой спирали в полярной системе координат записывается так:

де k -- смещение точки M по лучу r, при повороте на угол равный одному радиану. Повороту прямой на 2? соответствует смещение a = |BM| = |MA| = 2k?. Число a -- называется шагом спирали. Уравнение Архимедовой спирали можно переписать так

При вращении луча против часовой стрелки получается правая спираль (синяя линия), при вращении -- по часовой стрелке -- левая спираль (зелёная линия). Обе ветви спирали (правая и левая) описываются одним уравнением. Положительным значениям ? соответствует правая спираль, отрицательным -- левая спираль. Если точка M будет двигаться по прямой UV из отрицательных значений через центр вращения O и далее в положительные значения, вдоль прямой UV, то точка M опишет обе ветви спирали.

Луч OV, проведённый из начальной точки O, пересекает спираль бесконечное число раз -- точки B, M, A и так далее. Расстояния между точками B и M, M и A равны шагу спирали

a = 2k?.

При раскручивании спирали, расстояние от точки O до точки M стремится к бесконечности, при этом шаг спирали остаётся постоянным (конечным), то есть, чем дальше от центра, тем ближе витки спирали, по форме, приближаются к окружности.

Площадь сектора.

, где ? = OC, ?' = OM, .

При ? = 0, ?' = a, ? = 2?, формула даёт площадь фигуры, ограниченной первым витком спирали и отрезком CO:

.

где S'1 -- площадь круга, радиус которого равен шагу спирали -- a. Все эти свойства и уравнения были открыты Архимедом.

Вычисление длины дуги Архимедовой спирали.

Бесконечно малый отрезок дуги dl равен:

где d? -- приращение радиуса ?, при приращении угла ? на d?. Для бесконечно малого приращения угла d?, справедливо:

Поэтому: так как ? = k? и

d? = kd? или , . Длина дуги

L равна интегралу от dl по d? в пределах от 0 до ?

,

6. Лемниската Бернулли

Лемнискамта Бернумлли -- плоская кривая, геометрическое место точек, произведение расстояний от которых до двух заданных точек (фокусов) постоянно и равно квадрату половины расстояния между фокусами.

Лемниската по форме напоминает восьмёрку или символ бесконечности. Её название происходит от греч. ????????? -- лента, повязка. В Древней Греции «лемнискатой» называли бантик, с помощью которого прикрепляли венок к голове победителя на спортивных играх. Эту лемнискату называют в честь швейцарского математика Якоба Бернулли, положившего начало её изучению.

История.

Уравнение лемнискаты впервые опубликовано в статье Curvatura Laminae Elasticae Якоба Бернулли в журнале Acta eruditorum в 1694 году. Бернулли назвал эту кривую lemniscus и он не знал, что четырнадцатью годами ранее Джованни Кассини уже исследовал более общий случай. Квадратуру лемнискаты впервые выполнил Джюлио-Карло Фаньяно (англ.), опубликовав в 1718 году статью Metodo per misurare la lemniscata и положив тем самым начало изучению эллиптических интегралов, продолженное впоследствии Леонардом Эйлером. Некоторые свойства кривой были также исследованы Якобом Штейнером в 1835 году.

Уравнения.

Рассмотрим простейший случай: если расстояние между фокусами 2c, расположены они на оси OX, и начало координат делит отрезок между ними пополам, то следующие уравнения задают лемнискату:

в прямоугольных координатах:

Вывод : Проведя несложные преобразования, можно получить явное уравнение:

.

в полярных координатах:

Параметрическое уравнение в прямоугольной системе:

.

Это единственный вариант рациональной параметризации кривой. Уравнение полностью описывает кривую, когда параметр пробегает всю вещественную прямую: от до . При этом, когда параметр стремится к , точка кривой стремится к (0;0) из второй координатной четверти, а когда параметр стремится к , то -- из четвёртой. Распределение точек, которые даёт параметрическое уравнение, при изменении его параметра с фиксированным шагом показано на рисунке.

Вывод уравнения .

Чтобы задать лемнискату по двум произвольным точкам, можно не выводить уравнение заново, а определить преобразование координат, при котором старый (данный) фокусный отрезок переходит в новый, и воздействовать на представленные уравнения этим преобразованием.

Свойства.

Лемниската Бернулли является частным случаем овала Кассини при a = c, синусоидальной спирали с индексом n = 2 и лемнискаты Бута при c = 0, поэтому она наследует некоторые свойства этих кривых.

Свойства от овала Кассини

Лемниската -- кривая четвёртого порядка. Она симметрична относительно двойной точки -- середины отрезка между фокусами. Кривая имеет 2 максимума и 2 минимума. Их координаты:

.

Расстояние от максимума до минимума, находящихся по одну сторону от серединного перпендикуляра отрезка между фокусами равно расстоянию от максимума (или от минимума) до двойной точки. Лемнискату описывает окружность радиуса , поэтому иногда в уравнениях производят эту замену.

Свойства от синусоидальной спирали

Точка, где лемниската пересекает саму себя, называется узловой или двойной точкой. Касательные в двойной точке составляют с отрезком F1 F2 углы , Угол ?, составляемый касательной в произвольной точке кривой с радиус-вектором точки касания равен

.

Касательные в точках пересечения кривой и хорды, проходящей через двойную точку, параллельны друг другу.

Инверсия относительно окружности с центром в двойной точке, переводит леминискату Бернулли в равнобочную гиперболу.

Радиус кривизны лемнискаты есть

7. Декартов лист

Декартов лист -- плоская кривая третьего порядка, удовлетворяющая уравнению в прямоугольной системе x3 + y3 = 3axy. Параметр 3a определяется как диагональ квадрата, сторона которого равна наибольшей хорде петли

.

История. Впервые уравнение кривой исследовал Р. Декарт в 1638 году, однако он построил только петлю в первом координатном угле, где x и y принимают положительные значения. Декарт полагал, что петля симметрично повторяется во всех четырёх координатных четвертях, в виде четырёх лепестков цветка. В то время эта кривая называлась цветком жасмина (англ. jasmine flower, фр. fleur de jasmin). В современном виде эту кривую впервые представил Х. Гюйгенс в 1692 году.

Уравнения.

В прямоугольной системе по определению:

.

В полярной системе:

Параметрическое уравнение в прямоугольной системе:

Часто рассматривают повёрнутую на кривую. Её уравнения выглядят так:

В прямоугольной системе:

Параметрическое:

В полярных координатах

Свойства.

Прямая OA -- ось симметрии, её уравнение: y = x. Точка A называется вершиной, её координаты;Для обеих ветвей существует асимптота UV, её уравнение:

x + y + a = 0.

Исследование кривой.

При y = 0 имеем x = 0 или,или

8. Трактриса

Трактримса (линия влечения) -- (от лат. trahere -- тащить) -- плоская трансцендентная кривая, для которой длина отрезка касательной от точки касания до точки пересечения с фиксированной прямой является постоянной величиной. Такую линию описывает предмет, волочащийся на верёвке длины a за точкой, движущейся по оси абсцисс. Трактриса также является кривой погони.

История.

Открытие и первое исследование трактрисы (1670 год) принадлежит французскому инженеру, врачу и любителю математики Клоду Перро (Claude Perrault), брату знаменитого сказочника. Новая кривая заинтересовала математиков, её свойства выясняли Ньютон (1676), Гюйгенс (1692) и Лейбниц (1693.

Уравнения.

Параметрическое описание:

,

Уравнение в декартовых координатах:

Свойства.

Площадь, ограниченная трактрисой и ее асимптотой



Длина дуги, от точки (0 ; a) до произвольной точки трактрисы:

Радиус кривизны:

Поверхность вращения трактрисы вокруг своей асимптоты (оси x), является псевдосферой.

Эволюта (огибающая нормалей):

(цепная линия)

При трактриса имеет отрезок касательной постоянной длины, равный а.

9. Логарифмическая спираль

Логарифмимческая спирамль или изогональная спираль -- особый вид спирали, часто встречающийся в природе. Логарифмическая спираль была впервые описана Декартом и позже интенсивно исследована Бернулли, который называл её Spira mirabilis, «удивительная спираль».



Уравнения.

В полярных координатах кривая может быть записана как либо

что объясняет название «логарифмическая».

В параметрической форме может быть записана как

где a, b -- действительные числа.

Свойства.

Угол, составляемый касательной в произвольной точке логарифмической спирали с радиус-вектором точки касания, постоянный и зависит лишь от параметра b. В терминах дифференциальной геометрии это может быть записано как

.Производная функции пропорциональна параметру b. Другими словами, он определяет, насколько плотно и в каком направлении закручивается спираль. В предельном случае, когда



спираль вырождается в окружность радиуса a. Наоборот, когда b стремится к бесконечности спираль стремится к прямой линии. Угол, дополняющий до 90°, называется наклоном спирали.

Размер витков логарифмической спирали постепенно увеличивается, но их форма остаётся неизменной. Возможно, в результате этого свойства, логарифмическая спираль появляется в определённых растущих формах, подобных раковинам моллюсков и шляпкам подсолнечников.

Забавные факты.

Якоб Бернулли хотел, чтобы на его могиле была выгравирована логарифмическая спираль, но вместо этого по ошибке на его надгробие поместили Архимедову спираль. Тем не менее, надпись на латыни, выгравированная согласно завещанию вокруг спирали, «EADEM MUTATA RESURGO» («изменённая, я вновь воскресаю»), свидетельствует о том, что имеется в виду именно логарифмическая спираль, которая обладает замечательным свойством восстанавливать свою форму после различных преобразований.

10. Верзьера Аньези

Верзьемра (верзиемра) Аньемзи (иногда ломкон Аньемзи) -- плоская кривая, геометрическое место точек M, для которых выполняется соотношение где OA -- диаметр окружности, BC -- полухорда этой окружности, перпендикулярная OA. Своё название верзьера Аньези получила в честь итальянского математика Марии Гаэтаны Аньези, исследовавшей эту кривую.

Уравнения.

O = (0,0), A = (0,a)

В прямоугольной системе координат:

,где - угол между OA и OC.

В полярной системе уравнение верзьеры достаточно сложное: чтобы найти его необходимо решить кубическое уравнение:

.

Однако полученная формула будет слишком сложной и громоздкой, чтобы иметь какое-либо практическое значение.

Свойства.

Верзьера -- кривая третьего порядка.

Диаметр OA единственная ось симметрии кривой.

Кривая имеет один максимум -- A(0;a) и две точки перегиба --

В окрестности вершины A верзьера приближается к окружности диаметра OA. В точке A происходит касание, и кривая совпадает с окружностью. Это показывает величина радиуса кривизны в точке A:



Площадь под графиком S = ?a2. Она вычисляется интегрированием уравнения по всему R.

Объём тела вращения верзьеры вокруг своей асимптоты (оси OX)

Построение.

Строится окружность диаметра a и касательная к ней. На касательной выбирается система отсчёта с началом в точке касания. Строится прямая через выбранную точку касательной и точку окружности, противоположную точке касания. Эта прямая пересекает окружность в некоторой точке. Через эту точку строится прямая, параллельная касательной. Точка верзьеры лежит на пересечении этой прямой и перпендикуляра к касательной в выбранной точке.

Вывод

Выполняя данный реферат, я познакомилась с новыми для себя кривыми и их интересными названиями, а также с создателями этих кривых. Я узнала, что многие из них встречаются в нашей жизни очень часто, тесно переплетаясь между математикой и обыденностью, что само по себе необыкновенно и увлекательно. Например, я бы никогда не узнала, что улитка Паскаля-это не биологический подвид, а кривая. В заключение хотелось бы сказать, что такая связь между математическими замечательными кривыми и нашей жизнью говорит о ценности первых.

Размещено на Allbest.ru