Размещено на http://www.allbest.ru/

Неопределённый интеграл

Пусть на интервале задана функция . Если , где , то функция называется первообразной функцией функции на интервале . Совокупность первообразных , где C - произвольная постоянная, функции , где , называется неопределённым интегралом функции :

.

Основные правила интегрирования:

1) ,

2) ,

3) ,

4) Если , то

при условии, что a,b - постоянные числа, .

Основные методы интегрирования.

Непосредственное интегрирование. Вычисление интегралов, основанное на приведении подынтегрального выражения к табличной форме и использование свойств неопределённого интеграла, называется непосредственным интегрированием.

Интегрирование подстановкой (замена переменной). Суть метода подстановки заключается в том, что в интеграле переменную x заменяют переменной t по формуле , откуда .

Интегрирование по частям . Метод интегрирования по частям рекомендуется использовать для нахождения интегралов от функции , и т. д., где n, k - целые положительные постоянные, а также отыскание некоторых интегралов от функций, содержащих обратные тригонометрические и логарифмические функции.

Определённый интеграл по Риману

интеграл неравенство теорема трапеция

Определение. Если существует конечный предел интегральной суммы при , не зависящей от способа разбиения отрезка на частичные отрезки и выбора промежуточных точек , то этот предел называют определённым интегралом (или интегралом Римана) от функции f(x) на отрезке и обозначают

.

Если , то геометрически определённый интеграл выражает площадь фигуры, ограниченной графиком функции осью Ox и двумя прямыми x=a, x=b. Эта фигура называется криволинейной трапецией.

Суммы Дарбу

Пусть на задана ограниченная функция и пусть - произвольное разбиение.



По определению числа

называются соответственно нижней и верхней интегральными суммами Дарбу f, соответствующими разбиению R. Это вполне определенные числа, зависящие от f и R.

Очевидно, что

Число называется верхним интегралом функции на . тогда существует точная верхняя грань

называемая нижним интегралом функции на .

Теоремы о существовании интеграла от непрерывной и монотонной функции на

Теорема 1. Если функция непрерывна на , то она интегрируема на .

Теорема 2. Функция, определенная на отрезке и монотонная на нем, интегрируема на нем.

Неравенства и теорема о среднем

Теорема 1. Если f и ц интегрируемы и удовлетворяют неравенству f(x)? ц(x) на , то

Теорема 2. Если f интегрируема на , то

где

Теорема 3 (о среднем). Если f и ц интегрируемы на и ц(x)?0, то

где

Следствие. Если в этой теореме f непрерывна на , то найдутся точки такие, что f(x₂)=М, f(x₁)=m и точка такая, что поэтому в случае непрерывной на функции f равенство (3) можно записать в виде

(a? ?b).

Теорема. (Вторая теорема о среднем)

Если функция ц - неотрицательная неубывающая на отрезке , а f - интегрируемая на , то существует точка такая, что

Основные свойства определённого интеграла

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) Если .

6)Если .

7) Если - какая-либо первообразная функции f(x), то справедливо равенство:

которое называется формулой Ньютона-Лейбница.

Приложения определённого интеграла

С помощью определённых интегралов можно вычислить площади различных плоских фигур. Из геометрического смысла определенного интеграла следует, что если то площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y=f(x), осью Ох и прямыми х=а, х=b, может быть вычислена по формуле

причем Если f(x)<0 то и

Следовательно, в этом случае

Площадь криволинейного сектора вычисляется по формуле

Длина дуги кривой определяются формулами



где

Объём тела, заключенного между двумя плоскостями х=а и х=b, в случае, если площадь сечения, проведённая перпендикулярно к оси Ох, есть известная функция от х: S=S(x) вычисляется по формуле

Приближенное вычисление определенных интегралов

Постановка задачи. Пусть требуется вычислить определенный интеграл

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и известна её первообразная F(x), то определенный интеграл от этой функции в пределах от a до b может быть вычислен по формуле Ньютона - Лейбница:



Однако в некоторых случаях невозможно найти первообразную по ряду причин: либо не выражается через элементарные функции, либо выражается достаточно сложно. В этих случаях определенный интеграл вычисляют приближенно.

Метод прямоугольников. Пусть требуется вычислить интеграл

где f(x) -непрерывная функция. Для простаты рассуждений ограничимся случаем, когда f(x) . В основе приближенного вычисления определенного интеграла I лежит его геометрический смысл: выражает площадь криволинейной трапеции. Разобьем отрезок [a,b] на n равных частичных отрезков точками k= Длину каждого отрезка назовем шагом разбиения.

На каждом частичном отрезке [x_k: x_{k- 1}] выберем точку и вычислим f( Тогда по определению 9.1

Следовательно,

 (9.15)

Формула (9.15) называется формулой прямоугольников.

Метод трапеций. Сумма площадей «прямолинейных» трапеций приближенно равна площади криволинейной трапеции aАВb, т.е.

где - основания «прямолинейных» трапеций: -их высоты. Таким образом, получена приближенная формула

(9.17)

которая называется формулой трапеций.

Метод параболических трапеций (метод Симпсона)

Просуммировав эти интегралы, получим:

Эта формула называется формулой парабол или формулой Симпсона

Несобственные интегралы. Понятие несобственных интегралов

При введении понятия определенного интеграла как предела интегральной суммы предполагалось, что выполняются следующие условия: 1) пределы интегрирования a и b являются конечными; 2) подынтегральная функция f(x) на отрезке непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода. В этом случае определенные интегралы называются собственными. Если хотя бы одно из указанных условий не выполняются, то интегралы называются несобственными

Определение. Несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом интегрирования от непрерывной функции f(x) на промежутке называется предел I(b) при b

Аналогично определяется несобственный интеграл с бесконечным верхним пределом интегрирования от непрерывной функции f(x) на промежутке

Если пределы в правых частях этих формул (существуют и конечны, то соответствующие несобственные интегралы называются сходящимися, если пределы не существуют или бесконечны, -то расходящимся.

Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами интегрирования от непрерывной функции f(x) на промежутке обозначаемый , предварительно представляют в виде

Тогда по определению

причём этот несобственный интеграл называется сходящимся, если оба предела существуют. Если хотя бы один из пределов не существует или бесконечен, то несобственный интеграл называется расходящимся.

Теорема 1. (признак сравнения)

Если на промежутке определены две неотрицательные функции f(x) и интегрируемые на каждом конечном отрезке причем ,то из сходимости интеграла следует сходимость интеграла , а из расходимости интеграла следует расходимость интеграла .

Теорема 2. (предельный признак сравнения)

Если на промежутке определены две положительные функции f(x) и интегрируемые на любом конечном отрезке и существует конечный предел

то несобственные интегралы и сходятся или расходятся одновременно.

Теорема 3

Если на промежутке функция y=f(x) меняет знак и несобственный интеграл сходится, то сходится также и .

Отметим, что несобственный интеграл называют абсолютно сходящимся, если сходится интеграл

Определение. Несобственным интегралом от функции f(x) , непрерывной на промежутке [a;b] и имеющей бесконечный разрыв в точке x=b, или несобственным интегралом второго рода называется предел интеграла при :

.

Аналогично если функция f(x) имеет бесконечный разрыв в точке х=а, то полагают

Если же функция f(x) имеет разрыв второго рода в некоторой внутренней точке с отрезка [a;b], то пользуясь свойством аддитивности определенного интеграла , данный интеграл представляют в виде суммы двух интегралов:

Теорема 4. (признак сравнения)

Пусть в левой окрестности точки b (точки a) определены две неотрицательные функции f(x) и , причем . Тогда из сходимости несобственного интеграла следует сходимость интеграла , а из расходимости несобственного интеграла следует расходимость интеграла .

Теорема 5.(предельный признак сравнения)

Пусть функции f(x) и ц(x) положительны на промежутке [a; b], b- точка бесконечного разрыва функций f(x) и ц(x) . Тогда если существует конечный предел , то несобственные интегралы и сходятся или расходятся одновременно.

Несобственные интегралы с особенностями в нескольких точках

Пусть (a, b) есть интервал, конечный или бесконечный, и на нем задана функция f такая, что интервал

(1)

имеет особенности только в точках a, b. Это значит, что a = - ? или, если a - конечная точка, то в ее окрестности функция f неограниченна; также b =+? или, если b - конечная точка, то в окрестности ее f неограниченна. Кроме того, функция f интегрируема на любом отрезке [a', b'], где a<a'<b'<b.

Произвольная точка с интервала (a, b) делит его на два частичных интервала (a, с) (с, b).

Интеграл

(2)

имеет единственную особенность (в точке а); интеграл

(3)

также имеет единственную особенность (в точке b). Для интервалов (2) и (3) мы уже знаем, в каком случае они существуют (сходятся) как несобственные интегралы.

По определению, несобственный интеграл (1) существует (сходится) в том и только в том случае, если каждый из интегралов (2) и (3) существует. При этом полагают

Это определение не зависит от с. В самом деле, если a< с< с'<b, то

(4)

где интеграл - собственный, и, аналогично,

(5)

Сложив (4) и (5) и сократив на получим

Ряды. Числовые ряды. Основные понятия

Определение. Пусть дана числовая последовательность .

Выражение вида называется числовым рядом или просто рядом.

При этом числа называются членами ряда, а член с произвольным номером -- общим членом ряда.

Суммы конечного числа членов ряда:

называются частичными суммами ряда. Так как число членов ряда бесконечно, то частичные суммы ряда образуют бесконечную последовательность частичных сумм .

Если все члены ряда положительны, то ряд называется знакоположительным.

Ряд называется сходящимся, если предел последовательности частичных сумм существует и конечен, т.е. , в противном случае говорят, что ряд расходится. При этом называется суммой ряда.

Примеры. 1) Ряд:

,

где - знаменатель геометрической прогрессии, называется рядом геометрической прогрессии.

-частичная сумма ряда геометрической прогрессии равна:

=.

Ряд геометрической прогрессии является сходящимся при (его сумма ) и расходящимся при .

2) .

Здесь й член

.

-частичная сумма ряда

Ряд сходится.

Свойства сходящихся рядов

1. Если ряд (1) сходится и его сумма равна , то и ряд (2) , где с - некоторое число, также сходится, и его сумма равна .

2. (1), (3) , (4)

а) Если ряды (1) и (3) сходятся и их суммы соответственно равны и , то и (4) ряд сходится и его сумма равна .

б) Если один из рядов (1), (3) сходятся, а другой расходятся, то (4) ряд расходится.

в) Если ряды (1) и (3) расходятся, то (4) ряд может быть сходящимся или расходящимся.

3. Если сходится ряд

то сходится и ряд

(6)

и обратно, если сходится (6) ряд, то сходится и (1) ряд.

Другими словами, на сходимость ряда не влияет отбрасывание любого конечного числа его первых членов.

Таким образом, установлено, что сходящиеся ряды можно умножать на число, почленно складывать и вычитать так же, как и конечные суммы.

Необходимое условие сходимости ряда

При рассмотрении рядов возникают две задачи: 1) исследовать ряд на сходимость и 2) зная, что ряд сходится, найти его сумму. Будем решать в основном первую задачу, имеющую теоретический характер. Приведем необходимое условие сходимости рядов.

Теорема 1. Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю, т.е.

Только невыполнение необходимого условия сходимости позволяет делать определённый вывод, а его выполнение, как в данном случае , не позволяет судить о сходимости.

Числовой ряд:

называется гармоническим рядом. Гармонический ряд расходится.

С помощю теремы 1 иногда удается установить расходимость рассматриваемого ряда: если то ряд расходится.

Теорема 2 (критерий Коши). Для того чтобы, ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы для любого существовал такой номер , что при любом и для любого натурального выполнялось неравенство

Пример. Рассмотрим гармонический ряд

Здесь й член и , но ряд расходится.

Действительно, для любого имеем

(1)

т.е. для любого при и неравенство (1) не выполняется.

Ряды с неотрицательными членами. Достаточные условия сходимости ряда

Перейдем теперь к рассмотрению некоторых достаточных условий сходимости рядов с неотрицательными членами.

Теорема 3. Для того чтобы, ряд с неотрицательными членами сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность частичных сумм этого ряда была ограничена.

Это значит, что последовательность его частичных сумм имеет предел. Всякая сходящаяся последовательность является ограниченной.

Установим ряд признаков, позволяющих сделать вывод о сходимости (расходимости) рассматриваемого ряда.

Теорема 4 (признаки сравнения). Если для членов рядов справедливо неравенство , то

1) из сходимости ряда следует сходимость ряда ;

2) из расходимости ряда следует расхождение ряда

3) если существует конечный, отличный от нуля предел отношения общих членов этих рядов то оба ряда сходятся или расходится одновременно.

Теорема 5 (признак сходимости Даламбера)

Пусть для ряда , существует предел Тогда:

1) при ряд сходится; 2) при ряд расходится.

Теорема 6 (признак сходимости Коши)

Пусть для ряда , существует предел Тогда:

1) при ряд сходится; 2) при ряд расходится.

Теорема 7 (интегральный признак сходимости Коши).

Пусть члены ряда , и не возрастают, т.е. , и пусть непрерывная и невозрастающая функция, такая что Тогда справедливы следующие утверждения:

1) если несобственный интеграл сходится, то сходится и ряд

2) если несобственный интеграл расходится, то расходится и ряд

Например, гармонический ряд:

расходится, так как .

Знакочередующиеся ряды

До сих пор мы рассматривали ряды с неотрицательными членами. Ряды с неположительными членами отличаются от соответствующих рядов с неотрицательными членами только множителем (-1), поэтому вопрос об их сходимости решается аналогично.

Перейдем теперь к рассмотрению знакочередующихся рядов, члены которых имеют чередующиеся знаки. Для удобства будем считать, что первый член такого ряда положителен. Тогда знакочередующийся ряд можно записать в виде:

, где .

Для знакочередующихся рядов имеет место следующий достаточный признак сходимости.

Признак Лейбница

Теорема 8. Если в знакочередующемся ряде члены таковы, что

,

то ряд сходится, его сумма положительна и не превосходит первого члена.

Пример.

,

а) ; б)

Члены ряда удовлетворяют условиям теоремы 8, и поэтому он сходится.

Абсолютная и условная сходимость рядов

Рассмотрим теперь ряды с членами произвольных знаков. Такие ряды называются знакопеременными рядами.

Возьмем какой-нибудь знакопеременный ряд

,

где числа могут быть как положительными, так и отрицательными, причем расположение положительных и отрицательных членов в ряде произвольно.

Определение. Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд составленный из абсолютных величин его членов:

Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если он сходится, но ряд составленный из абсолютных величин его членов расходится.

Теорема 9. Если знакопеременный ряд

таков, что ряд, составленный из абсолютных величин его членов

сходится, то и данный знакопеременный ряд также сходится.

Пример. Исследовать на сходимость знакопеременный ряд

Решение. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин его членов и сходящийся ряд . Так как , то по признаку сравнения ряд сходится. Тогда, согласно теореме 9, данный ряд абсолютно сходится.

Функциональные последовательности и ряды. Основные понятия

Ряд вида

, (2)

членами которого являются функции u_n(x), называется функциональным.

Каждому значению соответствует числовой ряд Этот числовой ряд может быть сходящимся или расходящимся.

Если ряд сходится, то x₀ называется точкой сходимости функционального ряда (2).

Множество всех точек сходимости функционального ряда называется его областью сходимости. Обозначим ее через D . Очевидно, что .Если множество D пусто, то ряд (2) расходится в каждый точке множества X .

Конечная сумма

называется -ой частичной суммой ряда (2), а функция , определенная в области D , - суммой ряда (2) .

Функция , определенная в области D и задаваемая формулой

,

называется n - м остатком ряда. Очевидно, что если .

Сходимость функционального ряда в каждой точке называется поточечной сходимостью.

Функциональный ряд (2) называется абсолютно сходящимся на множестве , если в каждой точке этого множества сходится ряд .

Так как из абсолютной сходимости ряда в точке следует его сходимость, то .

Определение. Функциональный ряд (2) называется равномерно сходящимся в области D к функции , если для любого существует номер , не зависящий от , такой, что

.

Теорема 10 (признак Вейерштрасса).

Если члены ряда (2) удовлетворяет неравенствам

и ряд , сходится, то функциональный ряд (2) сходится равномерно в области D.

Теорема 11 (о непрерывности суммы функционального ряда). Если на множестве D функциональный ряд (2) с непрерывными членами сходится равномерно, то его сумма непрерывна на D.

Теорема 12 (о почленном интегрировании функционального ряда). Если функциональный ряд (2) с непрерывными членами сходится к функции равномерно на отрезке, то его можно почленно интегрировать на любом отрезке и справедливо равенство

,

причем ряд сходится равномерно на отрезке .

Теорема 13 (о почленном дифференцировании функционального анализа ряда).

Если ряд (2) на отрезке

1) сходится к функции ;

2) функции непрерывно дифференцируемы на , т.е. непрерывны на ;

3) равномерно сходится на ,

то ряд можно почленно дифференцировать в любой точке промежутка , т.е справедливо равенство

Степенные ряды

Определение. Ряд вида

где - действительные числа, членами которого являются степенные функции , называется степенным рядом по степеням , называются коэффициентами степенного ряда.

При получаем степенной ряд по степеням x

. (3).

Придавая различные числовые значения, будем получать различные числовые ряды, которые могут оказаться сходящимися или расходящимися. Множество тех значений , при которых степенной ряд сходится, называется областью его сходимости. Это множество всегда не пусто, так как любой степенной ряд сходится при .

Очевидно, что частичная сумма степенного ряда

является функцией переменной . Поэтому и сумма ряда также является некоторой функцией переменной , определенной в области сходимости ряда:

.

Теорема 14 (теорема Абеля). (Абель Нильс Хенрик (1802--1829) -- норвежский математик).

1) Если степенной ряд (3) сходится при , то он сходится, и притом абсолютно, для всех , удовлетворяющих условию ;

2) если степенной ряд (3) расходится при , то он расходится для всех , удовлетворяющих условию .

Следствие. Если в точке степенной ряд (3) расходится, то он расходится во всех точках x, таких, что .

Из теоремы Абеля и следствия вытекает, что если степенной ряд (3) сходится хотя бы в одной точке , то всегда существует число , такое, что степенной ряд сходится (абсолютно ) для всех и расходится для всех . При ряд (3) может быть как сходящимся, так и расходящимся.

Неотрицательное число , такое, что степенной ряд (3) сходится в и расходится при , называют радиусом сходимости, а интервал - интервалом сходимости степенного ряда (3).

Если ряд (3) сходится только в точке , то ; если же он сходится для всех то .

Итак, всякий степенной ряд имеет свой радиус сходимости . При ряд может либо сходиться, либо расходиться. Этот вопрос решается для каждого конкретного ряда.

Для нахождения радиуса сходимости степенного ряда используют признака Даламбера и Коши.

Если существует предел , то . Следовательно,

Если и по признаку Коши при ряд сходится абсолютно, а при расходится. Следовательно,

Свойства степенных рядов

Пусть функция является суммой степенного ряда

,

интервал сходимости которого .

Теорема 15. Если радиус сходимости степенного ряда (3) отличен от нуля, то его сумма S(x) непрерывна на интервале сходимости .

Теорема 16. Операции почленного дифференцирования и интегрирования на любом промежутке степенного ряда не изменяют его радиуса сходимости.

Теорема 17 . Если радиус сходимости степенного ряда (3) отличен от нуля, то степенной ряд можно почленно дифференцировать на интервале сходимости и для его суммы S(x) справедливо равенство

Теорема 18. Если функция на интервале разлагается в степенной ряд, то она интегрируема в интервале и интеграл от нее может быть вычислен почленным интегрированием степенного ряда, т.е., если , то:

+

++ ... ++....

Следствие. Степенной ряд (3) можно почленно интегрировать любое число раз в интервале .

Теорема 19. Если функция на интервале разлагается в степенной ряд:

,

то это разложение единственно.

Пусть функция бесконечное число раз дифференцируема в точке , тогда в окрестности этой точки функция раскладывается в степенной ряд:

,

называемый рядом Тейлора.

При функция разлагается в степенной ряд:

,

называемый рядом Маклорена.

Теорема 20. Для того чтобы ряд Маклорена сходился на и имел своей суммой функцию, необходимо и достаточно, чтобы на остаточный член формулы Маклорена стремился к нулю при , т.е. для любого .

Рассмотрим разложения в ряд Маклорена некоторых элементарных функций:

;

;

;

Примеры.

1)

.

2)

3) .

Размещено на Allbest.ru