Разность множеств

Размещено на http://www.allbest.ru/

СОДЕРЖАНИЕ

1 Разность множеств

2 Свойства

3 Компьютерные реализации

4 Дополнение множества

4.1 Определение

4.2 Свойства

Литература

1 РАЗНОСТЬ МНОЖЕСТВ

Не следует путать с Симметрическая разность.

Разность двух множеств - это теоретико-множественная операция, результатом которой является множество, в которое входят все элементы первого множества, не входящие во второе множество.

Пусть A и B - два указанных в определении множества, тогда их разность обозначается A ? B или и определяется (на теоретико-множественном языке):

Это множество часто называют дополнением множества B до множества A.

Обычно предполагается, что рассматриваются подмножества одного и того же множества, которое, в этом случае называют универсумом, скажем, X. Тогда можно рассматривать вместе с каждым множеством и его относительное дополнение , при обозначении которого часто опускается значок универсума: ; при этом говорится, что - (просто) дополнение множества (без указания, дополнением до чего является данное множество).

С учётом данного замечания, оказывается, что , то есть дополнение множества B до множества A есть пересечение множества A и дополнения множества B.

Также применяется и операторная запись вида , C_XA или (если опустить универсальное множество) CA.

Операция разности множеств не является по определению симметричной по отношению входящим в ней множествам. Симметричный вариант теоретико-множественной разности двух множеств описывается понятием симметрической разности.

Пусть .

Тогда

Пусть - множество всех вещественных чисел, - множество рациональных чисел, а - множество целых чисел. Тогда - множество всех иррациональных чисел, а - дробных.

2 СВОЙСТВА

Пусть - произвольные множества.

Вычитание множества из самого себя даёт в результате пустое множество:

Свойства пустого множества относительно разности:

Разность двух множеств содержится в уменьшаемом:

Из этой формулы следует, что операция разности не является обратной операции суммы (т.е. объединения).

Разность не пересекается с вычетаемым:

Разность множеств равна пустому множеству тогда, и только тогда, когда уменьшаемое содержится в вычетаемом:

Законы де Моргана в алгебре множеств формулируются следующим образом:

Если и то

Если то для любого C выполняется Это соотношение имеет свой аналог в арифметике: если то для любого c справедливо

3 КОМПЬЮТЕРНЫЕ РЕАЛИЗАЦИИ

В пакете Mathematica операция реализована с помощью функции Complement. В пакете MATLAB она же реализована с помощью функции setdiff.

В языке программирования Pascal (а также в его объектном расширении Object Pascal) операция разности множеств представлена оператором «-», обоими операндами и результатом выполнения которого являются значения типа set.

множество разность свойство

4 ДОПОЛНЕНИЕ МНОЖЕСТВА

4.1 Определение

ЛИТЕРАТУРА

1. Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. - М.: Физматлит, 2004. - 256 с.

2. К. Куратовский, А. Мостовский Теория множеств / Перевод с английского М.И. Кратко под редакцией А.Д. Тайманова. - М.: Мир, 1970. - С.16, 20-22.

3. В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов. Глава 2. Вещественные числа // Математический анализ / Под ред. А.Н. Тихонова. - 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Проспект, 2006. - Т. 1. - С.66. - 672 с. - ISBN 5-482-00445-7.

4. Wikimedia Foundation. 2010.