Алгоритм определения симметричного многочлена. Решение симметричных уравнений

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

С симметрией мы встречаемся повсюду. Понятие симметрии проходит через всю многовековую историю человеческого творчества. Оно встречается уже у истоков человеческого знания; его широко используют все без исключения направления современной науки. Симметрия (от греч. symmetria - соразмерность) - однородность, пропорциональность, гармония, инвариантность структуры материального объекта относительно его преобразований, одинаковость в расположении частей. Это признак полноты и совершенства. Математически строгое представление о симметрии сформировалось сравнительно недавно - в XIX веке. В наиболее простой трактовке определения симметрии выглядит примерно так: симметричным называется такой объект, который можно как-то изменять, получая в результате то же, с чего начали.

Совершенно иной характер носит связь математики с красотой в природе, где с помощью математики красота не создается, как в технике и искусстве, а лишь фокусируется, выражается. Материал на любом уровне организации, будь то минералы, растительный или животный мир, подчиняется строгим законам развития. Сегодня человек способен с помощью им же созданных точнейших приборов проникать царство бесконечно малых величин, где перед ним раскрываются прекрасные формы. В основе строения любой живой формы лежит принцип симметрии. Из прямого наблюдения мы можем вывести законы геометрии и почувствовать их несравненное совершенство .Когда мы хотим нарисовать лист растения или бабочку, то нам приходится учитывать их осевую симметрию Средняя жилка листа и туловище бабочки служит осью симметрии. Центральная симметрия характерна кристаллов, низших животных и цветов. Лишившись элементов симметрии, предмет утрачивает свое совершенство и красоту, т.е. эстетическое понятие. Симметрия отражает степень упорядоченности системы. Законы природы, управляющие неисчерпаемой в своем многообразии картиной явлений, в свою очередь, подчиняются принципам симметрии. Принципы симметрии играют важную роль в физике и математике, химии и биологии, технике и архитектуре, живописи и скульптуре, поэзии и музыке.

В химии, например, молекулы, имеющие симметричное строение, имеют свои особенности в их строении и взаимодействии с другими веществами. В физике же симметрия проявляется в однородности и изотропности(эквивалентность всех направлений) пространства. Это означает, что любой физический прибор - часы, телевизор, телефон - должен работать одинаково в разных точках пространства, если не изменяются окружающие физические условия, но большую часть нашей работы будет занимать явление симметрии в такой науке как алгебра. Нас заинтересовала данная тема, так как школьники, сдавая экзамены, часто встречаются с симметричными алгебраическими уравнениями и системами уравнений, а более подробное рассмотрение этого раздела математики поможет быстрее и легче решать подобные задания.

Цель работы: 1) разработка алгоритма определения симметричного многочлена. 2) разработка алгоритма решения симметричных уравнений, систем уравнений и задач, содержащих симметричные многочлены.

1. Примеры симметрических многочленов

Раскроем книгу В. Б. Лидского, Л. В. Овсянникова, А. Н. Тулайкова и М. И. Шабунина «Задачи по элементарной математике» (М., 1960). Среди наиболее трудных задач на решение систем уравнений высших степеней мы находим там (на стр. 11--12) следующие:

1) xІ + xy + yІ = 4 x + xy + y = 2

2) x + y = a + b xІ + yІ = aІ + bІ

3) xі + yі = 5aі xІy + xyІ = aі

4) x + xІyІ + y = 91 xІ - xy + yІ = 7

5) 2(x + y) = 5xy 8(xі + yі) = 65

6) x + y = 1 x + y = 7

7) (xІ + 1)(yІ + 1) = 10 (x + y)(xy - 1) = 3

8) xІ + yІ = axy x + y = bxІyІ

Все эти системы имеют одно общее свойство - левые части уравнений являются многочленами, в которые x и y входят одинаковым образом.

Именно для таких систем уравнений и применимы излагаемые далее методы решения. Многочлены, в которые x и y входят одинаковым образом, называют симметрическими. Точнее говоря: Многочлен от x и y называют симметрическим, если он не изменяется при замене x на y, а y на x. Многочлен xy + xy - симметрический. Напротив, многочлен x - 3y не является симметрическим: при замене x на y, а y на x он превращается в многочлен y - 3x , который не совпадает с первоначальным. Приведем важнейшие примеры симметрических многочленов.

Как известно из арифметики, сумма двух чисел не меняется при перестановке слагаемых, т. е. x + y = y + x для любых чисел x и y. Это равенство показывает, что многочлен x + y является симметрическим.

Точно так же из закона коммутативности умножения xy = yx следует, что произведение xy является симметрическим многочленом.

Симметрические многочлены x + y и xy являются самыми простыми. Их называют элементарными симметрическими многочленами от x и y. Для них используют специальные обозначения: a = x + y, a = xy.

Кроме а и а, нам будут встречаться так называемые степенные суммы, т. е. многочлены xІ + yІ, xі + yі, …, x + y, … Принято обозначать многочлен x + y через S . Таким образом, S = x + y, S = xІ + yІ, S = xі + yі, S = x + y.

2. Основная теорема о симметрических многочленах от двух переменных

Существует простой прием, позволяющий получать симметрические многочлены. Возьмем любой (вообще говоря, не симметрический) многочлен от а и а и подставим в него вместо а и а их выражения через x и y. Ясно, что при этом мы получим симметрический многочлен от x и y (ведь ни а = x + y, ни a = xy не меняются при перестановке местами x и y, а потому не меняется и весь получившийся многочлен, выражающийся через x + y и xy). Например, из многочлена aі - a a получаем симметрический многочлен (x + y)і - (x + y)xy = xі + 2xyІ + 2xІy + yі. Итак, если взять любой многочлен от а и а и подставить него вместо а и а их выражения через x и y, то получится симметрический многочлен от х и у . Возникает вопрос, является ли этот прием построения симметрических многочленов общим, т. е. можно ли с его помощью получить любой симметрический многочлен?

Рассмотрение примеров делает это предположение вероятным. Например, степенные суммы.

Отсюда получаем теорему: Любой симметрический многочлен от x и y можно представить в виде многочлена от а = х + у и а = ху. Разумеется, даже миллион разобранных примеров не может заменить доказательства -- всегда остается опасность, что найдется миллион первый симметрический многочлен, не выражающийся через а и а. Переходим к доказательству сформулированной теоремы.

Доказательство: Для доказательства этого утверждения достаточно сгруппировать попарно симметричные друг другу слагаемые ах у и ах у , где можно считать что , и вынести за скобку аа = ax у . Тогда в скобках останется степенная сумма, которую мы уже умеем выражать через а и а.

Например

2х у - 3х у - 3 х у + 2х у = = (2х у + 2х у) + ( -3х у - 3х у) = = 2ху(х +у) - 3х у(х +у) = = 2а S - 3а S = 2а (а - 3а а ) - - 3а а = 2а а - 9а а .

Что и требовалось доказать.

3. Практическое применение

Рассмотрим систему

хІ + ху + уІ = 4 х + ху + у = 2

Уравнения этой системы являются симметричными, так как при замене х на у и у на х, уравнения не изменятся, тогда ввдем новые неизвестные а = х + у и а = ху.

Получим:

хІ + ху + уІ = (х + у)І - ху = аІ- а, х + ху + у = а + а.

Таким образом, система свелась к следующей:

аІ - а = 4 а + а = 2

Сложив эти уравнения, получим квадратное уравнение аІ + а - 6 = 0, из которого следует, что а = 2 или а = -3. Так как а + а = 2, то а = 0 или а = 5. Следовательно, первоначальная система свелась к следующим двум системам:

1) х + у = 2 ху = 0

2) х + у = -3 ху = 5

Решая их, находим 4 пары ответов:

1) х = 2 2) х = 0 у = 0 у = 2

Рассмотрим еще один подобный пример:

х + у = 5 х + у = 275

Так как х + у = S = а + 5а а + 5а а , то данную систему можно записать в виде а = 5 а - 5а а + 5а а = 275

Подставляя во второе уравнение системы значение а = 5, получим квадратное уравнение 25а - 625а + 2850 = 0, из которого находим, что а = 19 или а = 6. Тем самым задача свелась к решению систем

1) х + у = 5 ху = 19

2) х + у = 5 ху = 6

Откуда получаем две системы решений:

симметрический многочлен уравнение теорема

1) х = 2 2) х = 3 у = 3 у = 2

Мы уже говорили, что очень часто встречаются системы уравнений, левые части которых симметрично зависят от неизвестных x, y. В этом случае удобно перейти к новым неизвестным а и а . В силу теоремы это всегда возможно. Выгода такой замены неизвестных заключается в том, что степени уравнений после замены уменьшаются (поскольку а = xy является многочленом второй степени от x, y). Иными словами, как правило, решение системы относительно новых неизвестных а и а проще, чем решение первоначальной системы. Например, система в только что рассмотренном примере, имеющая пятую степень, свелась к квадратному уравнению. Также нам хотелось бы рассмотреть другой вид заданий с применением теории о симметрии в математике. Это задачи с параметрами, в условии которых требуется определить значения параметров, обеспечивающих единственность решения. В задачах, содержащих квадратный трехчлен, решение обычно сводится к приравниванию к нулю дискриминанта или рассмотрению возможности выражения квадратного уравнения в линейное. Если же задача не сводится к исследованию количества корней квадратного уравнения, или предстоит рассматривать много вариантов, мы применяем иной подход и строим графики функций, входящих в левую и правую часть уравнения. В данной работе мы рассмотрим еще один способ решения таких задач. Допустим, что ни один из описанных выше приемов не дал результатов. Тогда следует проверить, не является ли анализируемое уравнение или система симметрической, или не входит ли одна или несколько переменных только под знаком четной или нечетной функции. Если четность или симметрия обнаружены, то требование единственности решения позволяет записать дополнительные соотношения для неизвестных задачи. Итак, есть два основных диагностических признака появление которых в задаче, наводит на мысль применить обсуждаемый метод:

1) в условии говорится о единственности решения

2) в уравнении или системе уравнений видна четность или нечетность функции, симметричность неизвестных. Покажем более подробно, как реализуется этот подход.

Задача 1.

Найти все значения параметра а, при которых система уравнений имеет единственное решение

z cos ( x - y ) + ( 2 + xy ) sin ( x +y) - z = 0, xІ + ( y -1 )І + zІ = a + 2x, ( x + y + a sinІ z ) · (( 1 - a ) ln ( 1 - xy) + 1 ) = 0

Решение:

Вид данной системы убеждает нас в бесперспективности попыток анализа ее геометрического образа, также отсутствует квадратный трехчлен, дискриминант которого, можно было бы приравнять к нулю. Это является поводом поискать в задаче симметрию, тем более что в системе присутствую комбинации переменных вида x + y и ху. Вид второго уравнения, а именно, наличие в нем хІ и 2х, «подсказывает» выделить полный квадрат выражения

х - 1: xІ - 2x + 1 - 1 + (y - 1)І + zІ = a,

откуда

(x - 1)І + ( y -1)І + zІ = a +1

Теперь становится ясно, что все три уравнения системы не изменятся, если в них заменить х на у и у на х. Значит, если тройка чисел ( x ; y ; z ) - решение системы, то и ( у ; x ; z ) также является решением. Следовательно, если решение единственно, то эти две тройки должны совпадать, откуда следует условие х = у. Тогда первое уравнение исходной системы принимает вид z + (2 + xІ) sin 2x - z = 0

Откуда находим sin 2x = 0 x = рk , где k Z. 2 Из условия существования логарифма получаем, что ху < 1, поэтому Поскольку k должна принимать целочисленные значения, у этого неравенства есть только одно такое решение: k = 0, а тогда и х = у = 0. Подставляя эти значения х и у во второе уравнение системы, получаем zІ = а - 1.

Опять заметим, что если число z является решением этого уравнения, то и -z также является его решением. Поэтому решение может быть единственным только при z = 0, откуда а = 1. Осталось убедиться, что при а = 1 исходная система действительно имеет единственное решение. Подстановка а = 1 в исходную систему дает

z cos ( x - y ) + ( 2 + xy ) sin ( x +y) - z = 0, ( x - 1)І + ( y -1)І + zІ = 2, x + y + sinІ z = 0.

Эта система равносильна системе

z cos ( x - y ) + ( 2 + xy ) sin ( x +y) - z = 0,

xІ + yІ + zІ + 2 sinІ z = 0,

x + y + sinІ z = 0.

Из второго и третьего уравнений полученной системы находим единственное решение х = у = z = 0, которое удовлетворяет и первому уравнению системы. Других решений при а = 1 быть не может.

Ответ: а =1. Заключение. Итак, изучив теоретический материал, мы разработали:

1) алгоритм определения симметричного многочлена. Многочлен симметричен, если мы можем заменить х на у и у на х, и значения многочлена не изменится.

2) алгоритм решения симметричных систем уравнений. Шаг 1: заменить данную систему уравнений через а и а 1. Шаг 2: решить получившуюся систему уравнений, получив в ответе квадратное уравнение. Шаг 3: решить квадратное уравнение. Данный способ решения заданий очень прост, потому что пользуясь данным методом, мы сокращаем разрядность степеней и сводим всю систему к хорошо знакомому школьникам квадратному уравнению.

Список литературы

1) В. Г. Болтянский, Н.Я. Виленкин «Симметрия в алгебре»

2) В. Б. Лидского, Л. В. Овсянникова, А. Н. Тулайкова и М. И. Шабунина «Задачи по элементарной математике»

3)О.Ю. Черкасов, А.Г. Якушев «Математика: справочник для старшеклассников и поступающих в вузы»

4)Л.С. Сагателова, В.Н Студенецкая «Геометрия: красота и гармония»

Размещено на Allbest.ru