Определение матрицы
Определение матрицы интенсивностей переходов по графу. Непрерывная цепь Маркова и распределение вероятностей. Алгебраические уравнения для финальных вероятностных состояний. Произведение всех интенсивностей, их значение при решении примеров и задач.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 09.02.2012 |
| Размер файла | 500,3 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Определение матрицы
1. Определение матрицы
По данному графу определить матрицу интенсивностей переходов, выяснить характер состояний согласно классификации
Решение:
Одним из самых удобных способов является задание графа с помощью матрицы интенсивностей переходов. Задан граф G, имеющий 4 вершины S1 S2 S3 S4 и 7 рёбер а1 а2 а3 а4 а4 а5 а6 а5. Построим матрицу 4 х 4.
Для ориентированного графа в строке, соответствующей начальной вершине дуги, ставим соответствующее число (заданное значение интенсивности) а в строке, соответствующей конечной вершине, ставим 0.
|
S1 |
S2 |
S3 |
S4 |
||
|
S1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
S2 |
4 |
0 |
2 |
1 |
|
|
S3 |
1 |
5 |
0 |
2 |
|
|
S4 |
0 |
3 |
0 |
0 |
2. Задана матрица А
Интенсивностей переходов непрерывной цепи Маркова. Построить граф состояний и охарактеризовать их согласно классификации.
Составить систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний и решить её.
Найти предельное распределение вероятностей. В качестве начального распределения вероятностей взять вектор Р(0) = (1, 0, 0).
Решение:
Построим граф:
Составим систему уравнений Колмогорова. Будем придерживаться следующих правил:
В левой части каждого уравнения стоит производная вероятности состояния, а правая часть содержит столько членов, сколько стрелок связано с данным состоянием. Если стрелка направлена из состояния, соответствующий член имеет знак минус, если в состояние - знак плюс. Каждый член равен произведению плотности вероятности перехода, соответствующей данной стрелке, умноженной на вероятность того состояния, из которого исходит стрелка.
Согласно матрице прехода:
Ищем решение в виде р1 = б1 елt, р2 = б2 елt, р3 = б3 елt.
Характеристическое уравнение:
= 0.
Или 3 + 7л2 +12л = 0.
л(л2 + 7л + 12) = 0.
Это уравнение имеет корни: л1 = 0; л2 = -3; л3 = -4.
Система для определения б1, б2, б3 выглядит так:
Подставим в него:
л = 0, получаем
Откуда = .
л = - 3, получаем
Откуда = 4.
л = - 4, получаем
Откуда = .
Общее решение системы:
Или
Или
Для начального распределения вероятности - Р(1, 0, 0):
Находим постоянные С1, С2, С3:
Д = = -1/2 + 1/4 - 1 = - 5/4.
Д1 = = -1/2 + 1/4 = -1/4. Следовательно, С1 = 1/5
Д2 = = 1. Следовательно, С2 = - 4/5
Д = = 1/2. Следовательно, С3 = - 2/5
Окончательно получаем:
1. По графу состояний записать систему уравнений Колмогорова и найти предельное распределение вероятностей.
Решение:
Рассмотрим граф:
алгебраический матрица граф вероятность
Пользуясь графом составим и решим алгебраические уравнения для финальных вероятностей состояний.
Для первого состояния:
р0 л01 = р1 л10.
Для второго состояния:
р1 л12 = р2 л21.
Для третьего состояния:
р2 л23 = р3 л32.
Получаем систему:
Подставим численные значения:
Учтём, что
р0 + р1 + р2 + р3 = 1 (*)
Решим эту систему:
р1 = р0 = р0.
р2 = р1 = р0 = р0 = р0.
р3 = р2 = р0 = р0 = р0.
В числителе стоит произведение всех интенсивностей, стоящих у стрелок, ведущих слева направо, а в знаменателе - произведение всех интенсивностей, стоящих у стрелок, ведущих справа налево.
Получим, подставляя в уравнение (*):
р0 (1 + + + ) = 1
р0 = (1 + + + )-1.
р0 = (1 + 7/4 + 21/8 + 105/56)-1 = 56/406 = 0,1379.
Получаем распределение вероятностей:
р1 = = 0,2414.
р2 = = 0,3621.
р3 = = 0,2586.
Контроль:
Урi = 0,1379 + 0,2414 + 0,3621 + 0,2586 = 1.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Цепь Маркова как простой случай последовательности случайных событий, области ее применения. Теорема о предельных вероятностях в цепи Маркова, формула равенства Маркова. Примеры для типичной и однородной цепи Маркова, для нахождения матрицы перехода.
курсовая работа [126,8 K], добавлен 20.04.2011Понятие обратной матрицы. Пошаговое определение обратной матрицы: проверка существования квадратной и обратной матрицы, расчет определителя и алгебраического дополнения, получение единичной матрицы. Пример расчета обратной матрицы согласно алгоритма.
презентация [54,8 K], добавлен 21.09.2013Основные операции над матрицами и их свойства. Произведение матриц или перемножение матриц. Блочные матрицы. Понятие определителя. Панель инструментов Матрицы. Транспонирование. Умножение. Определитель квадратной матрицы. Модуль вектора.
реферат [109,2 K], добавлен 06.04.2003Понятие и типы матриц. Определители (детерминанты) квадратной матрицы и их свойства. Алгебраические действия над матрицами. Теоремы Лапласа и аннулирования. Понятие и свойства обратной матрицы, алгоритм ее построения. Единственность обратной матрицы.
курс лекций [336,5 K], добавлен 27.05.2010Определение матрицы, характеристика основных ее видов. Правила транспонирования матриц. Элементы матрицы-произведения. Свойства определителей, примеры нахождения. Формулировка и следствие теоремы о ранге матрицы. Доказательство теоремы Кронекера-Капелли.
реферат [60,2 K], добавлен 17.06.2014Вид в матричной форме, определитель матрицы, алгебраического дополнения и всех элементов матрицы, транспоная матрица. Метод Крамера, правило Крамера — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с определителем основной матрицы.
задача [93,5 K], добавлен 08.11.2010Изучение понятий, действий (сумма, разность, произведение), свойств квадратной матрицы. Определение и признаки ранга матрицы. Анализ методов окаймляющих миноров и преобразований. Расчет системы линейных уравнений согласно методам Крамера и матричному.
реферат [178,9 K], добавлен 01.02.2010Определение алгебраического дополнения элемента определителя, матрицы, ее размера и видов. Неоднородная система линейных алгебраических уравнений. Решение системы уравнений методом Крамера. Скалярные и векторные величины, их примеры, разложение вектора.
контрольная работа [239,4 K], добавлен 19.06.2009Понятие, типы и алгебра матриц. Определители квадратной матрицы и их свойства, теоремы Лапласа и аннулирования. Понятие обратной матрицы и ее единственность, алгоритм построения и свойства. Определение единичной матрицы только для квадратных матриц.
реферат [296,6 K], добавлен 12.06.2010Понятие равных матриц, их суммы и произведения. Нахождение элемента матрицы, свойства ее произведения. Расположение вне главной диагонали элементов квадратной матрицы. Понятие обратной матрицы, матричные уравнения. Теорема о базисном миноре, ранг матрицы.
реферат [105,3 K], добавлен 21.08.2009
