Размещено на http://www.allbest.ru/

Математичні задачі електроенергетики

1. Побудова та обґрунтування схеми заміщення електричної мережі

1.1 Обґрунтування способу зображення окремих елементів електричної мережі у схемі заміщення

Аналіз умов роботи електричної системи потребує розрахунку її усталеного режиму, метою якого являється визначення таких параметрів режиму, як напругу у вузлах, струми і потужності, що протікають по її окремим елементам. Для виконання таких розрахунків реальної системи ставиться у відповідність так звана схема заміщення, що являє собою сукупність схем заміщення її окремих елементів, з'єднаних між собою в тій же послідовності, що і в реальній схемі.

Окремі елементи електричної системи в розрахунках усталеного режиму визначаються схемами заміщення, що складаються із елементів електричної мережі: джерел напруги і струму, опорів.

Джерела електроенергії можуть бути представлені у вигляді джерела напруги з ЕДС Е і внутрішнім опором Z (рис. 2.1), або у вигляді джерела струму J, значення якого рівно струму усталеного режиму І, причому останній зазвичай зображують так званим визначальним струмом.

Навантаження мають схему заміщення або у вигляді опору Z, або у вигляді джерела струму, рівному взятому з оберненим знаком струму навантаження, або ж у вигляді визначального струму.

1.2 Зображення схеми заміщення у вигляді графа

Для спрощення зображення електричної мережі, та відображення її структури, схему електричної мережі зображають у вигляді графа, граф - це зображення електричної мережі у вигляді вузлів, і віток які з'єднують ці вузли, причому вітки зображуються без зображення опорів.

Якщо у графі можна вибрати шлях, який з'єднує його любі дві вершини, то цей граф називається зв'язаним, якщо ж це неможливо то такий граф називають незв'язаним. Якщо ребра графа мають фіксовані напрямки то такий граф називають направляючим.

Кожне ребро направленого графа має початкову і кінцеву точки.

Дерево це найменший зв'язаний підграфграф, який можна виділити у вихідному графі, яка з'єднує усі вузли графа, та немає замкнених контурів.

Хорди це усі інші вітки які не ввійшли до дерева графа.

У подальших розрахунках усе що відноситься до дерева графа, буде позначатись індексом , а все що стосується хорд графа позначатиметься індексом .

Також у нашому графі можна виділити 1 замкнений контур.

1.3 Обґрунтування та проведення нумерації віток схем заміщення

В нашій схемі вже вказано нумерацію вузлів, тому нам залишилося лише вказати напрямки віток графу, та їх нумерацію.

Напрямки шляхів графу визначаються таким чином: у дереві графу напрямок обирається від вузла балансу до віток, а вітки хорди по напрямку обходу контуру у якому вони знаходяться.

Нумерують вітки таким чином: вітки дерева нумерують по кінцевих вузлах, усі інші вітки нумеруються довільно.

1.4 Визначення та побудова матриці параметрів режиму і параметрів системи для конкретної електричної мережі

Для направленого графа можуть бути визначені:

1 Матриця зєднання віток в вузлах (перша матриця інциденції)

2 Матриця зєднання віток в незалежні контури, які служать для узагальненого аналітичного представлення графа Перша матриця інциденції прямокутна матриця, число рядків якої дорівнює числу вершин графа «n», а число стовпців - числу ребер «m» Вона позначається наступним чином:

M = (m _{i j)} i = 1n j = 1m

Елементи матриці M можуть приймати одне з трьох значень:

m _{i j} = +1, якщо вузол і є початковою вершиною вітки j;

m _{i j} = -1, якщо вузол і є кінцевою вершиною вітки j;

m _{i j} = 0, якщо вузол і не є вершиною вітки j;

Друга матриця інцеденції - це прямокутна матриця, число рядків якої дорівнює числу незалежних контурів графа, «k», а число стовпців - числу віток «m». Вона позначається наступним чином:

N (n _{i j)}, i = 1k, j = 1m.

Елементи матриці N можуть приймати одне з трьох значень:

n _{i j} = + 1, якщо вітка «j» входить в контур «і» і їх напрямки співпадають;

n _{i j} = - 1, якщо вітка «j» входить в контур «і» і їх напрямки не співпадають;

n _{i j} = 0, якщо вітка «j» не входить в контур «і»

Запишемо першу та другу матрицю інциденції для даного графа

Перша матриця інцеденції:



Перша матриця інцеденції для вузла балансу

Перша матриця інцеденції включаючи вузол балансу

Друга матриця інцеденції:

.

2. Складання рівнянь стану електричної мережі та їх розв'язання

2.1 Складання рівнянь стану електричної мережі

електричний матриця рівняння розв'язання

Запишемо вхідні данні для нашої задачі:

Комплексна одиниця

При визначенні визначального струму ставимо знак «-», якщо у вузлі «і» споживач електричної енергії і знак «+», якщо у вузлі знаходиться джерело електричної енергії.

Стовбцева матриця потужності споживачів

Напруга мережі В

Комплекні опори віток мережі:

Ом

Визначальна матриця струмів

Матриця провідностей віток



Матриця коефіцієнтів розподілу визначальних струмів для дерева графа:

2.2 Вибір методу розв'язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь та його опис

Розв`язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь проводимо за допомогою метода Гауса.

2.2.1 Опис методу Гауса

Розв'язання системи «n» лінійних алгебраїчних рівнянь виду: А * Х = В за алгоритмом Гауса складається із двох етапів. На першому етапі вихідна система за «n» однотипних кроків перетворюється таким чином, що матриця коефіцієнтів перетвореної системи стає верхньою трикутною. На другому етапі послідовно визначаються значення невідомих від Хn до Х1.

Послідовність операцій, які виконуються при прямому ході наступна:

а₁₁ х₁ + а₁₂ х₂ +… + а_1n х_n = в₁

а₂₁ х₁ + а₂₂ х₂ +… + а_2n х_n = в₂

…………………………………………………

а_n1 х₁ + аn₂ х₂ +… + а_mn х_n = в_n

перше рівняння ділиться на а₁₁. Далі х1 виключається із всіх послідовно рівнянь (і=2…n) шляхом множення першого рівняння кожний раз на аі1 і вирахування із і-го рівняння. В результаті цих операцій отримується система рівнянь із матрицею коефіцієнтів:

………………………………………….

, де

Виконання операцій першого кроку потребують, щоб а11 не дорівнював нулю.

Другий крок полягає у виключенні х₂ із рівнянь 3…n, які отримали в першому кроці системи шляхом аналогічних операцій при використанні в якості ведучого елемента а_nn (1).

В результаті система приводиться до вигляду А(2) * Х = В(2)

Третій і наступні етапи виконуються аналогічно. Формули для розрахунку коефіцієнтів системи рівнянь на довільному кроці записуються так:

На останньому кроці (k = n) визначають .

В результаті перетворень матриці коефіцієнтів А вихідна система рівнянь перетвориться у верхню трикутну:

………………………………………………………

2.3 Розрахунок та аналіз результатів. Перевірка на відповідність виконання I і II закону Кірхгофа

Матриця контурних опорів:

Ом

Для знаходження контурних струмів запишемо розширену матрицю коефіцієнтів розподілу визначальних струмів для дерева графа:



Також запишемо частину контурного рівняння у вигляді константи:

Запишемо матрицю контурних струмів:

А

Згідно визначення хорд графа запишемо

.

А матрицю струмів у вітках дерева графа:

А.

Тоді матриця струмів у вітках графа:

А.

І спади напруг віток схеми такі:

В

Запишемо матрицю вузлових напруг мережі:

В

В

Напруга джерела буде такою:



В.

2.3.1 Перевірка отриманих результатів за законами Кірхгофа

Перший закон Кірхгофа:

0

0

Другий закон Кірхгофа:

0

0.

3. Розрахунок потоків потужності на дільницях електричної мережі, сумарних втрат активної і реактивної потужності, найбільшого значення втрат напруги у мережі

3.1 Перевірка на відповідність балансу активної та реактивної потужностей у вузлах схеми

Тут проводяться розрахунки по визначенню потоків потужності у вітках схеми, а також сумарних втрат активної та реактивної потужностей.

Визначення матриці повної потужності у вітках схеми проводиться у відповідності з виразом:

де - матриця повної потужності у вітках схеми, розміру (n m); m - кількість віток схеми;

Знак «» позначає складання повних матриць, що включають у себе також вузол балансу;

Знак «Д» - позначає діагональну матрицю;

U_YД - діагональна матриця лінійних напруг вузлів, що включає вузол балансу

В

M - перша матриця інциденцій, що включає і вузол балансу;

- діагональна матриця спряжених значень струмів у вітках схеми:

А.

Тоді визначимо матрицю повної потужності у вітках схеми:

ВА

Для того, щоб отримати потужність центру живлення треба додати всі елементи останнього рядка матриці S_B.

ВА

Втрати потужності у вітках визначаються як сума значень по стовпцях матриці .

ВА

Отримані результати розрахунків необхідно перевірити у відповідності із співвідношенням:

ВА

ВА

де - загальна потужність центру живлення, МВА;

- загальна потужність електричних навантажень електричної системи.



Баланс потужностей при виконанні першого кола розрахунків не співпадає на відносно велику величину похибки . Це пов'язано з тим, що початкове визначення величини визначальних струмів J_i базувалось на використанні в формулі номінальної напруги мережі U_H. Вказане значення напруги U_H значно відрізняється від дійсного значення напруги у вузлах. Тому необхідно зробити повторне коло розрахунків і скористатись замість U_H знайденими значеннями напруги вузлів.

3.1.1 Друга ітерація

Запишемо струми у вітках враховуючи попередні розрахунки:

А

Також запишемо частину контурного рівняння у вигляді константи:

Запишемо матрицю контурних струмів:

А

Згідно визначення хорд графа запишемо .

А мадрицю струмів у вітках дерева графа:

А.

Тоді матриця струмів у вітках графа:

А.

І спади напруг віток схеми такі:

В

Запишемо матрицю вузлових напруг мережі:



В

В

Перевірка отриманих результатів за законами Кірхгофа:

Перший закон Кірхгофа:

0

0

Другий закон Кірхгофа:

0

0

Діагональна матриця вузлових напруг:



Діагональна матриця струмів у вітках (комплексно спряжених):

Матриця повної потужності у вітках схеми:

Для того, щоб отримати потужність центру живлення треба додати всі елементи останнього рядка матриці S_B.



Втрати потужності у вітках визначаються як сума значень по стовпцях матриці .

Отримані результати розрахунків необхідно перевірити у відповідності із співвідношенням:

.

Література

1. Расчеты и анализ режимов сетей. Под ред. В.А. Веникова. М., «Энергия», 1994.

2. Электрические системы. Математические задачи электроэнергетики. Под ред. В.А. Веникова. М., Высшая школа, 2001.

3. Перхач В.С. Математичні задачі електроенергетики. - Львів: Вища школа, 2005

4. Курков С.О. Положення про виконання курсових проектів і робіт у ВДТУ. Вінниця, ВДТУ. 2008.

Размещено на Allbest.ru